2023-2024学年第二学期期末考试试卷
高一数学
（考试时间120分钟 满分150分）
注意：1.答题前在试卷和答题卡上填写好自己的姓名、班级、考场、座位号等信息。
2.请按照要求将正确答案填写在答题卡内。
3.试卷整洁，字迹清晰。
第 I 卷（选择题)
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．已知集合，集合，则集合（ ）
A． B． C． D．
2．一个样本容量为600的频数分布表不小心被损坏了一部分．若样本中数据在内的频率为0.75，则样本中的数据在内的个数为（ ）
A．225 B．295 C．235 D．305
3．已知函数，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
4．已知或，，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知向量，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数的最小正周期为，则的图象的一个对称中心为（ ）
A． B． C． D．
8．函数的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、多选题（每小题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对部分得分，有选错得0分）
9．若复数，则下列说法正确的是（ ）
A．在复平面内对应的点在第四象限 B．的虚部为
C． D．的共轭复数
10．以下说法正确的有（ ）
A．实数 是成立的充要条件
B．不等式对恒成立
C．命题“”的否定是“”
D．若，则的最小值是4
11．四棱台中，底面，是直线上的两个动点，两个底面是正方形，，，，，则下列叙述正确的是（ ）
中小学教育资源及组卷应用平台
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
A．侧棱的长是
B．侧面是直角梯形
C．该棱台的全面积是
D．三棱锥的体积是定值
第 II 卷（非选择题)
三、填空题（共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12．已知扇形的圆心角为，半径为2厘米，则扇形面积是 平方厘米
13．已知单位向量与的夹角为，则向量与的夹角为 ．
14．已知，，且，则的最小值是 ；当取得最小值时，的最小值是 ．
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（13分）已知函数．
（1）求的值；
（2）求证：是定值．
16．（15分）已知函数.
(1)求函数的定义域；
(2)求的值.
17．（15分）在中，内角，，的对边分别为，，，．
（1）求角的大小：
（2）求的最大值．
18．（17分）如图，在正方体中，是的中点．
(1)求证：平面；
(2)若，求点到平面的距离.
19．（17分）在疫情防护知识竞赛中，对某校的2000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，，60分以下视为不及格.观察图形中的信息，回答下列问题：
(1)求分数内的频率，并计算本次竞赛中不及格考生的人数；
(2)从频率分布直方图中，分别估计本次竞赛成绩的众数和中位数．高中数学2024年06月17日
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，集合，则集合（ ）
A． B． C． D．
2．一个样本容量为600的频数分布表不小心被损坏了一部分．若样本中数据在内的频率为0.75，则样本中的数据在内的个数为（ ）
A．225 B．295 C．235 D．305
3．已知函数，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
4．已知或，，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知向量，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数的最小正周期为，则的图象的一个对称中心为（ ）
A． B． C． D．
8．函数的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、多选题
9．若复数，则下列说法正确的是（ ）
A．在复平面内对应的点在第四象限 B．的虚部为
C． D．的共轭复数
10．以下说法正确的有（ ）
A．实数 是成立的充要条件
B．不等式对恒成立
C．命题“”的否定是“”
D．若，则的最小值是4
11．四棱台中，底面，是直线上的两个动点，两个底面是正方形，，，，，则下列叙述正确的是（ ）
A．侧棱的长是
中小学教育资源及组卷应用平台
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
B．侧面是直角梯形
C．该棱台的全面积是
D．三棱锥的体积是定值
三、填空题
12．已知扇形的圆心角为，半径为2厘米，则扇形面积是 平方厘米
13．已知单位向量与的夹角为，则向量与的夹角为 ．
14．已知，，且，则的最小值是 ；当取得最小值时，的最小值是 ．
四、解答题
15．已知函数．
（1）求的值；
（2）求证：是定值．
16．已知函数.
(1)求函数的定义域；
(2)求的值.
17．在中，内角，，的对边分别为，，，．
（1）求角的大小：
（2）求的最大值．
18．如图，在正方体中，是的中点．
(1)求证：平面；
(2)若，求点到平面的距离.
19．在疫情防护知识竞赛中，对某校的2000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，，60分以下视为不及格.观察图形中的信息，回答下列问题：
(1)求分数内的频率，并计算本次竞赛中不及格考生的人数；
(2)从频率分布直方图中，分别估计本次竞赛成绩的众数和中位数.
参考答案：
1．D
【分析】直接利用并集的定义运算.
【详解】集合， ，则集合.
故选：D
2．C
【分析】根据题设条件求出数据在内的频数，去掉内的频数即得.
【详解】因为数据在内的频率为0.75，所以数据在内的频数为，
故样本中数据在内的个数为．
故选：C.
3．C
【分析】分析函数的奇偶性，单调性，利用单调性解不等式即可.
【详解】因为，
当时，，当时，
当时，，
故满足，所以为奇函数，
又当时，的对称轴为，
即在上是增函数，，
所以在上是增函数，
令，求得或（舍），
所以不等式，可得，
解得，
故选：C.
4．D
【分析】令，，依题意可得，即可求出参数的取值范围.
【详解】因为或，，
令，，
因为是的充分不必要条件，所以，
所以.
故选：D
5．C
【分析】利用角的变换，再结合诱导公式，即可求解.
【详解】.
故选：C
6．B
【分析】首先求出， ，再根据投影向量的定义计算可得.
【详解】因为，，所以， ，
所以在上的投影向量为.
故选：B
7．D
【分析】利用辅助角公式得到，根据余弦函数的周期得到，再求出其对称中心的通式，最后对每个选项验证即可.
【详解】由题意得，由题可知，所以.
令，得，
所以的图象的对称中心为，所以点符合.
故选：D.
8．D
【分析】按分段讨论，结合函数单调性、零点存在性定理及数形结合求解即得.
【详解】函数的定义域为，
当时，，显然函数在上都单调递减，
因此函数在上单调递减，而，
则函数在上有唯一零点；
当时，，显然，
因此函数在区间上至少各有一个零点，
当时，由，得，
则在上的零点即为函数的图象与直线的交点横坐标，
在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图，
观察图象知，函数的图象与直线有两个交点，即有两个解，
所以函数的零点个数为3.
故选：D
9．AD
【分析】利用复数的几何意义判断A；求出复数的虚部判断B；求出复数的平方判断C；求出共轭复数判断D作答.
【详解】对于A，复数在复平面内对应的点在第四象限，A正确；
对于B，的虚部为，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，的共轭复数，D正确.
故选：AD
10．BC
【分析】对于A,D，结合特殊值法，即可求解，对于B，结合作差法，即可求解，对于C，结合命题否定的定义，即可求解．
【详解】对于A，当时，显然成立，故A错误，
对于B，＝，当且仅当时，等号成立，
故不等式对a，b∈R恒成立，故B正确，
对于C，“”的否定是“”，故C正确，
对于D，令，满足，但，故D错误．
故选：BC．
11．ABD
【分析】利用四棱台的结构特征，结合线面垂直的判定、性质逐项推理计算得解.
【详解】四棱台中，平面，平面，则，
对于A，，，A正确；
对于B，，则，而，平面，
于是平面，又平面，因此，又，
从而侧面是直角梯形，B正确；
对于C，由选项B，同理得四边形是直角梯形，，
棱台的全面积
，C错误；
对于D，由选项B知，为定值，由，平面，
平面，则平面，于是点与点到平面的距离相等，
在四棱台中，点到平面的距离是定值，因此三棱锥的体积是定值，D正确.
故选：ABD
12．/
【分析】由扇形的面积公式计算即可.
【详解】由题意可得，
所以扇形面积是平方厘米.
故答案为：.
13．/
【分析】利用平面向量运算法则计算出与的数量积，接着求出两个向量的模长，从而求解出夹角的余弦值，求出夹角.
【详解】因为单位向量与的夹角为，
所以，
所以，
，故，
，故，
所以，
又，
所以向量与的夹角为.
故答案为：
14． 8
【分析】根据给定条件，利用基本不等式、二次函数分别求出最小值即得.
【详解】由，，得，则，当且仅当时取等号，
所以当时，取得最小值8；
当时，，，当且仅当时取等号，
所以时，取得最小值.
故答案为：8；
15．（1）1，1；（2）证明见解析.
【解析】（1）根据函数解析式代入即可求解.
（2）根据解析式，代入整理即可求解.
【详解】（1）因为，
所以，
．
（2），是定值．
16．(1)
(2)1
【分析】（1）令，求出定义域；
（2）代入，结合诱导公式求值即可.
【详解】（1）令 ，
解得：，
所以函数的定义域是；
（2）由题知，
所以.
17．（1） （2）1
【分析】（1）将题干条件变形为，结合余弦定理可求出角B的余弦值，进而求出角B的值；（2）由（1）可知，所以，用代替角C，化简，结合角A的范围即可求出最大值.
【详解】解：（1），，即，又，.
（2）由（1）可知，所以，则=
，则，
所以当时，即时，有最大值为1.
【点睛】本题考查余弦定理解三角形，考查两角和公式的应用，考查学生的计算能力和转化
能力，属于基础题.
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据正方体的性质得到，即可得证；
（2）利用等体积法求出点到平面的距离.
【详解】（1）在正方体中，且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面.
（2）设正方体的棱长为，则，解得，
所以，，
所以，
设点到平面的距离为，则，即，
即，解得，
即点到平面的距离为.
19．(1)分数内的频率为，不及格考生的人数为：（人）
(2)众数为75分，中位数为分
【分析】（1）根据频率和为1，可求分数在内的频率；用“样本容量频率”可得不及格考生的人数；
（2）用频率最大的区间的中间数据估计众数，根据中位数的概念求中位数.
【详解】（1）由频率分布直方图得：，
解得，所以分数内的频率为.
本次竞赛中不及格考生的人数为：（人）.
（2）由题意得：因为成绩在的频率最大，又，所以众数为75分；
设中位数为，则，解得，所以中位数为分.
