9.1 分层随机抽样 教学设计 高中数学人教A版（2019）必修 第二册

《分层随机抽样》教学设计
一、教学目标与核心素养
1. 了解分层随机抽样的特点、适用范围及必要性；
2. 通过实例，掌握各层样本量比例分配的方法，掌握分层随机抽样的样本均值，培养数学运算素养；
3. 在简单实际情境中，能根据实际问题的特点，设计恰当的抽样方法解决问题，培养数学建模素养；
4. 通过经历分层随机抽样收集数据、分析数据的过程，感受样本的随机性，提升数据分析素养.
二、教学重点、难点
教学重点：分层随机抽样的概念及特点，分层随机抽样的样本均值；
教学难点：分层随机抽样中，样本均值估计总体均值的证明．
三、教学方法：
本节课运用启发引导和讲练结合的教学方法.
四、教学过程设计
下面我就如何运用上述教学方法和教学手段开展教学过程作详细的分析：
（一）复习回顾，导入新课
教师利用多媒体带领学生复习上一节课的学习内容并提出问题：
上一节课讲到树人中学高一年级712名学生，为调查其平均身高，用简单随机抽样的方法，从高一年级学生中，抽取一个样本量为50的样本，计算得样本均值为162.72cm，为考查简单随机抽样的估计效果，从该校医务室得到高一年级学生的所有数据，计算得高一年级学生的平均身高为165.0cm.为什么样本平均数大幅度地偏离了总体平均数？
学生观察多媒体展示的样本身高变量值的表格，学生基本上能观察出：样本中的个体有大量的矮个子，“极端”样本导致估计出现较大误差，接下来教师提出几个问题：
1.为什么运用简单随机抽样获取的样本中，会出现“极端”样本？
2.在样本量相同且样本量不大时，你认为总体中个体差异的大小对估计效果有什么影响？
3.哪些因素影响了高一学生的身高？年龄、性别或其他因素？据此对学生分组，可以使得同组学生身高差异较小.
4.样本量在男生、女生中如何分配？比例分配或等额分配？
引导学生逐个回答以上问题，然后教师回顾概括以上的抽样方法：（1）把高一学生分为男生、女生两个有明显差异的组（子总体），组内差异较小，组间差异较大；（2）在每一个组中，分别进行简单随机抽样；（3）把两个组中抽取的样本汇总，作为总样本，这就是“分层随机抽样”．
【复习回顾之后，利用几个问题引导学生思考作答，并进行概括，从而引入新课】
（二）探索求知，得出结论
教师由前面的提问总结，引出分层随机抽样的定义：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层.同时指出分层随机抽样的适用范围（总体中个体差异较大）和目的（减少“极端”样本的出现），并提问：能否总结分层随机抽样的一般步骤？
学生基本上能归纳出其一般步骤：
（1）分层：根据实际情况，将总体分成互不相交的层；
（2）定量：利用比例分配的方法，计算各层抽取的个体数；
（3）抽样：在各层中，用简单随机抽样方法抽取个体，最后合在一起作为总样本.
【从问题入手，引导学生从特殊到一般，观察发现并分析总结，最终形成分层随机抽样的概念，培养学生的抽象概括的能力】
运用上面所讲的方法及时进行巩固练习：
为了调查教师对统计软件的了解程度，某市采用分层随机抽样的方法，从A、B、C三所学校抽取60名教师进行调查，已知A、B、C三所学校分别有180、270、90名教师，如果样本按比例分配，求A、B、C学校分别应抽取的教师人数．
教师让学生思考并动手计算，同时巡视一周，辅导个别学生后让学生回答，老师总结或纠正，并表扬、鼓励大胆发言的学生．
【强调比例分配，并推导出各层样本量的计算方法，既巩固了概念，又让学生真正参与到课堂教学中，使其能够主动学习，增加学习的成就感，激发学习的热情】
回到一开始，树人中学的例子：用比例分配的分层随机抽样方法，得到树人中学高一年级样本量为50（男生23人，女生27人）的样本数据，男生平均身高为170.6cm，女生平均身高为160.6cm，其中高一年级学生中男生326人，女生386人，提问：能否估计高一年级学生的平均身高？
教师要求学生动笔计算，并巡视一周，观察学生的答案，学生应该会有两种答案（若没有两种，则写出学生的一种答案后，给出另一种答案，要求学生思考是否正确，有何区别？）：
（1）直接估计高一年级学生平均身高.
（2）计算总样本平均数，由此估计高一年级学生平均身高为165.2cm.
教师根据学生的答案提问：两个数值相等，即可以用总样本平均数估计高一年级学生的平均身高，这是巧合还是说一般情况下都是成立的呢？分层随机抽样中，是否可以直接用样本平均数估计总体平均数？为什么？
在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n.我们用表示第1层各个个体的变量值，用表示第1层样本的各个个体的变量值；用表示第2层各个个体的变量值，用表示第2层样本的各个个体的变量值，
则第1层的总体平均数和样本平均数分别为
第2层的总体平均数和样本平均数分别为
总体平均数和样本平均数分别为
由于用第1层的样本平均数可以估计第1层的总体平均数，用第2层的样本平均数可以估计第2层的总体平均数，因此我们可以用
估计总体平均数．
在比例分配的分层随机抽样中，
可得
因此，在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数估计总体平均数．
【从特殊到一般，引导学生观察发现再到猜想证明，用严谨的推导过程告诉学生：分层随机抽样中，为什么可以直接用样本平均数估计总体平均数，增强学生逻辑推理能力，也让学生感受数学的严谨与魅力，激发学生学习兴趣】
（三）例题讲解，配套练习
例1：在下面的问题中，选择合适的抽样方法抽取样本．
（1）在某厂生产的20辆汽车中抽取4辆进行质量检验；
（2）已知学校教职工中，不到35岁的有80人，35到49岁的有70人，50岁以上的有50人，为了解学校教职工的身体健康状况，从中抽取20人进行调查．
例2：某集团有甲、乙、丙三个分公司，甲公司有员工500名，乙公司有员工800名，丙公司有员工300名．为了了解集团员工对企业改革的态度，用分层随机抽样抽取若干名员工进行访谈．若样本按比例分配，甲公司抽取了10名员工，求乙公司和丙公司抽取的员工数．
例3：比例分配的分层随机抽样中，总体分为2层，第1层的样本量为20，样本平均数为3，第2层的样本量为30，样本平均数为8，请估计该总体的平均数．
【通过3个例题，巩固本节课所学知识：分层随机抽样的概念和特点；比例分配的特点；计算分层随机抽样的平均数．简单的例题迅速回顾、巩固知识点，并增强学生学习成就感】
巩固练习:
某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加其中一组．在参加活动的职工中，青年人占42. 5%，中年人占47. 5%，老年人占10%. 登山组的职工占参加活动总人数的，且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%. 为了了解各组不同年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本．试确定：
(1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；
(2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数
【巩固练习选取练习册中的综合性习题，考查学生阅读理解、综合分析、数学运算等能力，在讲解并复习完本节课知识点后，一道综合习题可及时检验学生学习成果，也可以起到深化巩固的作用】
（四）回顾整理，归纳小结
师生一起小结本节课所学的知识要点：
1．什么是分层随机抽样，其有什么特点？和简单随机抽样有什么区别与联系？
2．比例分配的三个特点？
3. 分层随机抽样中，如何估计总体均值？
（五）布置作业
必做题：课本第页，习题9.1第5、6题
选做题：课本第页，习题9.1第7题
五、板书设计
课题：9.1.2分层随机抽样
1.分层随机抽样概念、特点 2.比例分配 3.分层随机抽样样本均值 样本均值估计总体均值 证明： （教师板书证明过程） 多媒体