12.1 -12.2全等三角形的性质和判定 培优训练（含答案）2024-2025学年人教版八年级数学上册

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12.1 -12.2全等三角形的性质和判定
一、课标导航
课标内容 课标要求 目标层次
全等三角形 了解全等三角形的概念；理解全等三角形对应边、对应角的概念；能准确辨认全等三角形的对应元素 ★★
全等三角形的性质 掌握全等三角形的性质，会利用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题 ★★
全等三角形的判定 理解和掌握全等三角形判定方法，能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等 ★★
二、核心纲要
1.基本概念
(1)全等形：能够完全重合的两个图形叫全等形.
(2)全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
(3)对应顶点、对应边、对应角：把两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角.如下图所示：A与 B 与 C 与 是对应顶点；AB 与 AC与 BC与 是对应边； 与 与 与 是对应角.
2.表示符号
“≌”；如右图所示，
注：书写全等三角形时要求对应顶点写在对应位置上.
3.要想正确地表示两个三角形全等，找对应边和对应角是关键，常用的方法有
(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边.
(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角.
(3)有公共边的，公共边是对应边.
(4)有公共角的，公共角是对应角.
(5)有对顶角的，对顶角是对应角.
(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角).
4. 全等三角形的性质
(1)全等三角形对应边相等.
(2)全等三角形对应角相等.
(3)全等三角形的周长、面积相等.
(4)全等三角形对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等.(此结论在证明中不能直接用)
5.全等三角形的判定
(1)一般三角形全等判定方法
①三边对应相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS”)；
②两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS”)；
③两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”)；
④两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”).
(2)直角三角形全等判定方法
①特殊方法：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”)；
②一般方法:SAS,ASA,AAS.
注：切记“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；判定两个三角形全等必不可少的条件至少有一条边对应相等.
6.判定三角形全等的基本思路(“题目中找，图形中看”)
找夹角→SAS
(1)已知两边找直角→HL
找另一边→SSS
找两角的夹边→ASA
(3)已知两角 找任意一边→AAS
7.全等三角形的图形有以下几种典型形式
(1)平移全等型
(2)对称全等型(3)旋转全等型
本节重点讲解：一个概念，一个思路，三类图形，四个性质，五个判定.
三、全能突破
基础演练
1.如图12-1-1所示,将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转45°后得到△A'OB',若∠AOB=15°,则∠AOB′的度数是( ).
A.20° B.30°
C.35° D.40°
2.如图12-1-2所示，给出下列四组条件：
①AB=DE,BC=EF,AC=DF;
②AB=DE,∠B=∠E,BC=EF;
③∠B=∠E,BC=EF,∠C=∠F;
④AB=DE,AC=DF,∠B=∠E.
其中,能使△ABC≌△DEF的条件共有( ).
A.1 组 B.2组
C.3组 D.4 组
3.如图12-1-3所示,AB=CD,AD=CB,AC、BD相交于点O,图中有( )对全等三角形.
A.2 B.3
C.4 D.5
4.如图12-1-4所示,△ABC 绕点A 旋转180°得到△AED,
(1)则DE与BC 的位置关系是 ，数量关系是 ；
(2)若S△ABC=24,则 S△ADE= ;
(3)若AC=2,BC=4,△ADE的周长为偶数,则AE的长为 .
5.如图12-1-5所示,AB=CD,OA=OC,OB=OD,OP 是∠BOD 的平分线,求证:∠AOP=∠COP.
6.如图12-1-6所示,点A、C、B、D在同一条直线上,BE∥DF,∠A=∠F,AB=FD.求证:AE=FC.
7.如图12-1-7 所示,AB∥ED,点F、点C在AD上,BC∥EF,AB=DE,求证:AF=DC.
8.如图12-1-8所示,AE⊥AB,BC⊥AB,AE=BA,ED=AC.求证:ED⊥AC.
9.如图12-1-9所示,给出五个等量关系:①AD=BC,②AC=BD,③CE=DE,④∠D=∠C,⑤∠DAB=∠CBA.请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论(只需写出一种情况)，并加以证明.
已知：
求证：
证明：
能力提升
10.如图12-1-10所示,将Rt△ABC(其中∠B=34°,∠C=90°)绕 A点按顺时针方向旋转到△AB C 的位置,使得点 C、A、 在同一条直线上，那么旋转角最小等于( )
A.56° B.68°
C.124° D.180°
11.如果△ABC 的三边长分别为3,5,7,△DEF 的三边长分别为3,3x--2,2x--1，若这两个三角形全等，则x等于( ).
B.3 C.3或 D.4
12.如图12-1-11 所示,△ABC是不等边三角形,DE=BC,以 D、E 为两个顶点画位置不同的三角形,使
所画的三角形与 全等，这样的三角形最多可画出( )个.
A.2 B.4
C.6 D.8
13.如图12-1-12所示,△ABE和 是 分别沿着AB,AC边翻折形成的，若 ,则∠EFC的度数为 .
14.如图12-1-13所示,点A在DE 上,点 F 在AB上,且AC=CE,AB=3,∠1=∠2=∠3,则DE的长为 .
15.如图12-1-14所示,已知AC与BD相交于点E,AE=AB-1,AE=DC,AD=BE,∠ADC=∠DEC,则 CE的长为 .
16.如图12-1-15所示,AD为△ABC的高,E为AC 上一点,BE 交AD 于点 F,且BF=AC,FD=CD.求证:BF⊥AC;
17.如图12-1-16所示,已知AE⊥AB,AF⊥AC,AE=AB,AF=AC,求证:(1)EC=BF;(2)EC⊥BF.
18.在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线l经过顶点 C,过A、B两点分别作l 的垂线AE、BF,垂足分别为E、F.
(1)如图12-1-17(a)所示,当直线l不与底边AB 相交时,求证:EF=AE+BF.
(2)当直线l绕点C 旋转到图12-1-17(b)的位置时,猜想 EF、AE、BF 之间的关系,并证明.
(3)当直线l绕点 C 旋转到图12-1-17(c)的位置时,猜想 EF、AE、BF 之间的关系,直接写出结论.
19.(1)如图12-1-18 所示,BD、CE是 的高，点P 在BD 的延长线上，( ,点Q在CE 上,QC ,探究 PA 与 AQ 之间的关系;
(2)若把(1)中的 改为钝角三角形， 是钝角，其他条件不变，上述结论是否成立 画出图形并证明你的结论.
20.如图12-1-19所示,点E、A、C在同一条直线上,AB∥CD,AB=CE,AC=CD.求证:BC=ED.
21.如图12-1-20所示,AF=DC,BC∥EF,请只补充一个条件,使得△ABC≌△DEF,并说明理由.
22.如图12-1-21所示,在 Rt△ABC中,∠BAC=90°,AC=2AB，点D是AC 的中点，将一块锐角为 45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC.试猜想线段 BE和EC 的数量及位置关系，并证明你的猜想.
巅峰突破
23.如图12-1-22所示,在△ABC中,E、D分别是边AB、AC上的点,BD、CE 交于点F,AF的延长线交 BC 于点 H,若∠1=∠2,AE=AD,则图中全等三角形共有( )对.
A.4 B.5
C.6 D.7
24.若两个三角形的两边和其中一边上的高对应相等，则这两个三角形第三边所对的角的关系是 .
25.在△ABC中,高AD和BE 所在直线相交于点F,且BF=AC,则∠ABC的度数为 .
基础演练
1. B; 2. C; 3c
4.(1)平行,相等(或DE∥BC,DE=BC);
(2)24;(3)4.
5.在△AOB和△COD 中,
∴△AOB≌△COD(SSS).
∴∠AOB=∠COD.
∵OP是∠BOD的平分线,∴∠BOP=∠DOP.
∴∠AOB+∠BOP=∠COD+DOP.
∴∠AOP=∠COP.
6.∵BE∥DF,∴∠ABE=∠D.
在△ABE和△FDC中,
∴△ABE≌△FDC(ASA).∴AE=FC.
7.∵AB∥ED,BC∥EF,
∴∠A=∠D,∠BCA=∠EFC.
在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(AAS).
∴AC=DF.∴AC-FC=DF-CF.
即AF=DC.
8.∵AE⊥AB,BC⊥AB,
∴∠EAD=∠ABC=90°.
在 Rt△EAD和 Rt△ABC中,
∴Rt△EAD≌Rt△ABC(HL).
∴∠CAB=∠DEA.
∵∠CAB+∠EAF=90°,∴∠DEA+∠EAF=90°.
∴∠EFA=90°.∴ED⊥AC.
9.如图所示,AD=BC,BD=AC,
求证:∠D=∠C.
证明:在△ABD和△BAC中,
∴△ABD≌△BAC(SSS).
∴∠D=∠C.
注：此题答案不唯一，其他情况请读者自行研究.
能力提升
10. C; 11. B; 12. B; 13.84°; 14.3; 15.1
16.∵AD⊥BC,∴∠BDF=∠ADC=90°.
在 Rt△BDF 和 Rt△ADC中,
∴Rt△BDF≌Rt△ADC(HL).
∴∠1=∠2.
∵∠2+∠C=90°,∴∠1+∠C=90°.
∴∠BEC=90°.∴BF⊥AC.
17.(1)∵AE⊥AB,AF⊥AC,
∴∠EAB=∠FAC=90°.
∴∠EAB+∠BAC=∠FAC+∠BAC.
即∠EAC=∠BAF.
在△EAC和△BAF中,
∴△EAC≌△BAF(SAS).∴EC=BF.
(2)由(1)可知:∠AFB=∠ACE,∠FAC=90°.
∴∠1+∠AFB=90°.
∵∠1=∠2,∴∠2+∠ACE=90°.
∴∠FMC=90°.∴EC⊥BF.
18.(1)∵AE⊥l,BF⊥l,∴∠AEC=∠CFB=90°,∠1+∠2=90°.
∵∠ACB=90°,∴∠2+∠3=90°.∴∠1=∠3.
∵在△ACE和△CBF中,
∴△ACE≌△CBF(AAS).
∴AE=CF,CE=BF.
∵EF=CE+CF,∴EF=AE+BF.
(2)EF=AE-BF,理由如下:
∵AE⊥l,BF⊥l,
∴∠AEC=∠CFB=90°,∠1+∠2=90°.
∵∠ACB=90°,∴∠2+∠3=90°.
∴∠1=∠3.
∵在△ACE和△CBF中,
∴△ACE≌△CBF(AAS).
∴AE=CF,CE=BF.
∵EF=CF-CE,∴EF=AE-BF.
(3)EF=BF-AE.
19.(1)∵BD⊥AC,CE⊥AB,
∴∠1+∠CAB=90°,∠2+∠CAB=90°.
∴∠1=∠2.
在△QCA 和△ABP中,
∴△QCA≌△ABP(SAS).
∴AQ=PA,∠QAC=∠P.
∵∠PDA=90°,∴∠P+∠PAD=90°.
∴∠QAC+∠PAD=90°.
即∠PAQ=90°.∴AP⊥AQ.
即AP=AQ,AP⊥AQ.
(2)上述结论仍然成立.
如下图所示,∵BD⊥AC,CE⊥AB,
∴∠1+∠CAE=90°,∠3+∠DAB=90°.
∵∠DAB=∠CAE,∴∠1=∠3.
在△QCA 和△ABP中,
∴△QCA≌△ABP(SAS).
∴PA=AQ,∠QAC=∠P.
∵∠PDA=90°,∴∠P+∠2=90°.
∴∠QAC+∠2=90°.∴∠PAQ=90°.
∴PA⊥AQ.即 PA=AQ,PA⊥AQ.
注：在一个图形中，有多个垂直关系时，常用“同角或等角的余角相等”来证明角相等.
中考链接
20.答案略
21.补充条件:EF=BC,可使得△ABC≌△DEF.理由如下:
∵AF=DC,∴AF+FC=DC+FC,
即:AC=DF,
∵BC∥EF,∴∠EFD=∠BCA.
在△EFD和△BCA中,
∴△EFD≌△BCA(SAS).
注：此题答案不唯一.
22. BE=EC,BE⊥EC
∵AC=2AB,点 D是AC的中点,
∴AB=AD=CD.
∵∠EAD=∠EDA=45°,∠BAC=90°,
∴∠EAB=∠EDC=135°.
在△EAB和△EDC中,
∴△EAB≌△EDC(SAS).
∴∠AEB=∠DEC,EB=EC.
∵∠AEB+∠BED=90°,
∴∠BED+∠DEC=90°.
∴∠BEC=90°.∴BE=EC,BE⊥EC.
巅峰突破
23. D
24.相等或互补
25.45°或135°.