11.1与三角形有关的线段 培优训练（含答案）2024-2025学年人教版八年级数学上册

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第十一章三 角 形
11.1与三角形有关的线段
一、课标导航
课标内容 课标要求 目标层次
三角形的边 了解三角形及有关的概念，掌握它们的文字表述、符号语言表述及图形表述方法 ★
掌握三角形三边关系的性质 ★★
三角形三条重要的线段 理解三角形的高线、中线和角平分线的概念及画法 ★★
三角形的分类 了解三角形的分类 ★
三角形的稳定性 了解三角形的稳定性 ★
二、核心纲要
1.三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
2.三角形的分类
(1)三角形按边分类
(2)三角形按角分类
3.三角形的三边关系定理及其应用
(1)三角形的三边关系定理：三角形的任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边.
(2)三角形的三边关系定理的应用
①判断给定的三条线段能否围成三角形；②已知两边确定第三边的长或周长的取值范围；
③化简代数式；④证明线段间的不等关系.
4.三角形的三条重要的线段
(1)从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高.
(2)连接一个顶点和它所对的边的中点的线段叫做三角形的中线.
(3)三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
5.三线交点位置
(1)锐角三角形三条高线的交点在三角形内部，直角三角形三条高线的交点是直角三角形的直角顶点，钝角三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部.交点叫做三角形的垂心.
(2)三角形的三条中线都在三角形内部，它们交于一点，且交点在三角形内部.交点叫做三角形的重心.
(3)三角形的三条角平分线都在三角形内，并且交于一点.交点叫做三角形的内心.
6.三角形具有稳定性
7.整数边三角形
(1)边长都是整数的三角形称为整数边三角形.
(2)若整数a、b、c是三角形的三边,且a≥b≥c,则 (当且仅当a=b=c时等号成立)
8.数学方法
(1)几何问题代数化(转化).
(2)分类讨论.
9.几何模型
模型 图形 结论 证明思路
“飞镖”模型 AB+AC>BD+DC (此结论在解答题中需证明) 延长 BD 交 AC 于点 E,在△ABE和△CDE中利用三角形三边关系即可得出结论
“8”字模型 AD+BC>AB+DC (此结论在解答题中需证明) 在△AOB 和△COD 中,利用三角形三边关系即可
本节重点讲解：一个分类，一个性质(三角形的三边关系)，两个方法，两个模型，五个概念(三角形，三角形的高线、中线和角平分线，整数边三角形).
三、全能突破
基础演练
1.(1)下列各组线段能组成一个三角形的是( ).
A.3cm,3cm,6cm B.2cm,3cm,6cm
C.5cm,8cm,12cm D.4cm,7cm,11cm
(2)下列各组数都表示线段的长度，试判断以这些线段为边能组成三角形的是( ).
A. a,a-3,3(a>3) B. a,a+4,a+6(a>0)
C. a,b,a+b(a>0,b>0) D. a+1,a+1,2a(a>0)
2.如图11-1-1所示，为估计池塘岸边A、B两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点 O,测得OA=15米,OB=10米,A、B间的距离不可能是( ).
A.5 米 B.10米
C.15 米 D.20 米
3.三角形三条高线的交点恰好是这个三角形的顶点，则这个三角形是( ).
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.均有可能
4.若一个三角形的两边长分别为5 和7，则周长l的取值范围是 ；若x为最长边，则x的取值范围是 .
5.设三角形三边之长分别为3，8，2a--1，则a的取值范围为 .
6.如图11-1-2所示，一扇窗户打开后，用窗钩 BC 可将其固定，这里所运用的几何原 理是 .
7.一个等腰三角形的两边长分别为4和5，则它的周长为 .
8.如图11-1-3所示,已知△ABC,按下列要求作图:
(1)作△ABC角平分线AD;
(2)作△ABC的中线BE;
(3)作△ABC中AD 边上的高BF.
9.(1)已知a、b、c是△ABC的三边,且满足( ，试判断△ABC的形状.
(2)若△ABC的三边a、b、c满足(a-b)(b-c)(c-a)=0,试判断△ABC的形状.
能力提升
10.如图11-1-4所示,在△ABC中,AD⊥BC,以 AD为高的三角形有( )个.
A.3 B.4
C.5 D.6
11.已知a、b、c为△ABC的三边,化简:|a+b--c|+|b--c-a|--|c--a--b| = .
12.已知等腰三角形的周长是8，边长为整数，则腰长是 .
13.一个三角形的周长是偶数，其中的两条边是4 和2012，则满足上述条件的三角形的个数是 个.
14.将长为15cm的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边，则不同的截法有 种.
15.已知五条线段长分别为3、5、7、9、11，若每次以其中三条线段为边组成三角形，则最多可构成互不相同的三角形 个.
16.在△ABC中,AB=AC,AC 上的中线BD 把三角形的周长分为21 和 12 两部分,则三角形各边长为
17.如图11-1-5 所示,已知△ABC的三边长均为整数, 的周长为奇数.
(1)若 AC=8,BC=2,求AB的长;
(2)若AC--BC=5,求 AB的最小值;
(3)若A(-2,1),B(6,1),在第一、三象限角平分线上是否存在点 P,使△ABP 的面积为16 若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由.
18.如图11-1-6所示,一个四边形的四边长分别为AB=8,BC=6,CD=4,AD=5,它的形状是不稳定的,求 AC 和 BD 的取值范围.
19.如图11-1-7所示,在四边形ABCD 中,对角线AC、BD相交于点O,点E在△ABC的内部,连接EB,EC,
说明:(1)AB+CD(2)AB+AC>EB+EC;
(3)若AB=6,AC=7,BC=11,求EB+EC的取值范围.
20.已知,点 O 在△ABC 内部,连接 OA、OB、OC,说明: AB+AC+BC.
21.已知三角形三边长分别为2，x，13，若x为正整数，则这样的三角形的个数为( ).
A.2 B.3 C.5 D.13
22.有一组互不全等的三角形，它们的边长均为整数，每个三角形有两条边的长分别为5和7.
(1)请写出其中一个三角形的第三边的长；(2)设组中最多有 n个三角形，求n的值.
巅峰突破
23.加油站 A 和商店B 在马路MN 的同一侧(如图 11-1-8 所示),点 A 到直线MN 的距离大于点B 到直线MN 的距离，AB=7 米，一个行人 P在马路MN 上行走，问：当P 到A 的距离与P 到B 的距离之差最大时，这个差等于 米.
24.不等边△ABC的两条高长度分别为 4 和12，若第三条高的长也是整数，试求它的长
基础演练
1.(1)C;(2)D; 2. A; 3. B
4.146.三角形具有稳定性. 7.13或14. 8.图略
9.∵(a-c) +(b-c) +(c-a) =0,且(a-c) ≥0,(b-c) ≥0,(c-a) ≥0,
∴a=b,b=c,a=c.∴a=b=c.
∴△ABC是等边三角形.
(2)∵(a-b)(b-c)(c-a)=0,
∴a-b=0或b-c=0或c-a=0.
∴a=b或b=c或a=c.
∴△ABC是等腰三角形.
能力提升
10. D. 11. a-b+c. 12.3. 13.3. 14.7. 15.7.
16.14,14和5.
17.(1)由三角形的三边关系知,AC-BC又∵△ABC的周长为奇数,而 AC、BC为偶数,
∴AB为奇数.∴AB=7或AB=9.
(2)∵AC-BC=5,∴AC+BC是奇数.
又∵△ABC的周长为奇数，∴AB为偶数.
∵AB>AC-BC=5,∴AB的最小值为6.
(3)存在.由A(-2,1),B(6,1)两点坐标可知:AB∥x轴,且AB=6-(-2)=8.
设点 P到AB的距离为h，
∴P点纵坐标为5或-3.
∵P点在第一、三象限角平分线上，
∴P点坐标为(5,5)或(-3,-3).
18.如下图所示,连接AC,在△ABC中,AB-BC在△ADC中,AD-DC由①,②得:2连接 BD,同理可证:319.(1)在△ABO中,AB(2)如下图所示,延长BE交AC 于点F,∵在△ABF中,AB+AF>BF=BE+FE,①在△CEF中,FE+FC>EC, ②由①+②得:
∴AB+(AF+FC)+FE>BE+EC+FE.即AB+AC>EB+EC.
(3)由(2)可知,EB+EC<13在△EBC中,EB+EC>BC,且BC=11,∴1120.在△AOB中,OA+OB>AB, ①在△BOC中,OC+OB>BC, ②在△AOC中,OC+OA>AC, ③
①+②+③得:2(OA+OB+OC)>AB+BC+AC,即
由“飞镖”模型得:OA+OBOC+OBOC+OA④+⑤+⑥得:2(OA+OB+OC)<2(AB+BC+AC),即OA+OB+OC∴ (AB+BC+AC)中考链接
B; 22.(1)略;(2)9
巅峰突破
23.7.
【提示】A、B、P在同一直线上，P到A的距离与 P 到B 的距离之差最大.即这个差就是AB 的长.
24.设△ABC的面积为S,第三条高为h,则△ABC的三边长可表示为：
有三角形的三边关系得：
∴3∵h是正整数,∴h=4或5.
当h=4时 则此三角形为等腰三角形，不符合题意.∴h=5.