15.3分式方程及应用 培优训练（含答案）2024-2025学年人教版八年级数学上册

15.3分式方程及应用
一、课标导航
课标内容 课标要求 目标层次
分式方程及其解法 了解分式方程的概念 ★
会解可化为一元一次方程的分式方程 ★★
会对分式方程的解进行检验 ★★
会运用分式方程解决简单的实际问题 ★★★
二、核心纲要
1.分式方程
分母中含有未知数的方程叫分式方程.
2.解分式方程的基本思想
把分式方程转化为整式方程.
3.解分式方程的一般步骤
(1)在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.
(2)解这个整式方程.
(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去，但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验.
4.分式方程无解的原因
(1)将分式方程化为整式方程后，整式方程无解.
(2)解出的整式方程的根是增根
5.用换元法解分式方程的一般步骤
(1)设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式.
(2)解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值.
(3)把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值.
(4)检验作答，要检验求得的解是否为原方程的根，是否符合题意.
本节重点讲解：一个概念，一个解法，一个应用(列分式方程解应用题)
三、全能突破
基础演练
1.下列各式中，不是分式方程的是( ).
2.分式方程 的解是( ).
A. x=±2 B. x=2 C. x=-2 D.无解
3.关于x的方程 化为整式方程后，会产生一个解使得原分式方程的最简公分母为0，则k的值为( ).
A.3 B.0 C.±3 D.无法确定
4.一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100 千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少 设江水的流速为x千米/时，则可列方程( ).
5.一辆汽车往返于相距 akm的甲、乙两地，去时每小时行 mkm，返回时每小时行nkm，则往返一次所用的时间是 h.
6.解方程.
7.给出一个实际问题，使得根据题意列出的方程是：
8.某商场有一部自动扶梯以匀速度v 运行，人上楼梯的步行平均速度为v ，若物体由扶梯从一层到二层的时间为t，则人带着物体由一层到二层由扶梯走着上去的时间为 .(人与物体的质量忽略不计)
能力提升
9.关于x的方程 无解，则m的值是( ).
B.0 C.1 D.2
10.若方程 无解，则m的值为( ).
B. -1 B.-1或 C.3 D.-1 或3
11.若关于x的方程 有解，则必须满足条件( ).
A. c≠d B. c≠-d D. a≠b,c≠-d
12.设关于x的分式方程 有无穷多个解，则a 的值有( ).
A.0个 B.1个 C.2个 D.无穷多个
13.关于x的方程 的解是正数，则a的取值范围是( ).
A. a>-1 B. a>-1且a≠0 C. a<-1 D. a<-1且a≠-2
14.当a= 时,关于x的方程 的解是x=1.
15.解下列分式方程：
16.若ab≠0,且有种运算 根据上述运算解方程
17.先阅读下面的材料，然后解答问题.通过计算，发现方程：
的解为
的解为
的解为
…
(1)观察上述方程的解，猜想关于x的方程 的解是 .
(2)根据上面的规律，猜想关于x的方程 的解是 .
(3)类似地，关于x的方程 的解是 .
(4)请利用上述规律求关于x的方程 的解.
18.甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做1天后，再由两队合作2天就完成了全部工程.已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的· ，求甲、乙两队单独完成各需多少天
19.轮船在一次航行中顺流航行80千米，逆流航行42千米，共用了7小时；在另一次航行中，用相同的时间，顺流航行40千米，逆流航行70千米.求这艘轮船在静水中的速度和水流速度.
20.京通公交快速通道开通后，为响应市政府“绿色出行”的号召，家住通州新城的小王上班由自驾车改为乘坐公交车，已知小王家距上班地点18千米，他用乘公交车的方式平均每小时行驶的路程比他用自驾车的方式平均每小时行驶的路程的2倍还多9千米，他从家出发到达上班地点，乘公交车方式所用时间是自驾车方式所用时间的- .小王用自驾车方式上班平均每小时行驶多少千米
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21.某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多.从开始检票到等候检票的队伍消失，若同时开5个检票口则需30分钟，若同时开6个检票口则需20分钟.如果要使队伍 10分钟消失，那么需同时开几个检票口
22.观察分析下列方程: 请利用它们所蕴含的规律，求关于x的方程 (n为正整数)的根，你的答案是： .
23.若分式方程: 有增根，则
24.解方程:
25.据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用.已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，若一年滞尘1000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550毫克所需的国槐树叶的片数相同，求一片国槐树叶一年的平均滞尘量.
巅峰突破
26.方程组 的解是( ).
已知2a-3x+1=0,3b-2x-16=0,且a≤4基础演练
1. D; 2. B; 3. A ; 4. A ;
(2)方程无解.
7.略;
能力提升
9. C;10. B;11. D;12. B;13. D; 14.
(4)原方程变形为
当a-b=0时，原方程的解是除0以外的任意实数，当a-b≠0时,x= ab.
经检验：x= ab是原方程的解.
(5)y=8
则原方程化为：
则.x-1=a-1或
经检验： 是原方程的解.
18.设乙队单独完成需x天，则甲队单独完成 x天
由题意，得
即 解得x=6.
经检验：x=6是原方程的根.
当x=6时,
答：甲、乙两队单独完成分别需4 天，6天.
19.设船在静水中的速度为 x 千米/小时，水流速度为y千米/小时
由题意，得 解得：
经检验： 是原方程组的解.
答：水流速度为 3 千米/小时，船在静水中的速度为17 千米/小时.
20.设小王用自驾车方式上班平均每小时行驶x千米.
依题意，得 解得x=27.
经检验：：x=27是原方程的解，且符合题意.
答：小王用自驾车方式上班平均每小时行驶27千米.
21.设开始检票之前人数为 1，每分钟来人x，共需要同时开 y个检票口；
由(1)得到 代入(2)得到y=9(个).
经检验 是原方程的解.
答：需同时开9个检票口.
中考链接
22. x=n+3或x=n+4; 23.1; 24. x
25.设一片国槐树叶一年平均滞尘量为x毫克，则一片银杏树叶一年平均滞尘量为(2x-4)毫克.
由题意得： 整理,得:x=22
经检验:x=22.
答：一片国槐树叶一年平均滞尘量为22毫克.
巅峰突破
C
27.由2a-3x+1=0可得
由3b-2x-16=0可得
解不等式①得,x≤3,
解不等式②得,x>-2,
所以不等式组的解集为-2解方程,得x=4.
∵--2∴x的取值范围里没有分式方程的解.