12.3角平分线的性质及应用 培优训练（含答案）2024-2025学年人教版八年级数学上册

12.3角平分线的性质及应用
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课标内容 课标要求 目标层次
角平分线的性质 掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质 掌握角平分线的判定及角平分线的画法 ★
熟练运用角的平分线的性质解决问题
二、核心纲要
1.角平分线的性质定理
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
如下左图所示：∵OC平分.
注：考查点到线的距离相等时，可以考虑角平分线的性质.
2.角平分线的判定定理
到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
如下中图所示:∵CD⊥OA,CE⊥OB,CD=CE,∴OC平分
注：用来证明一条线是一个角的平分线.
3.角平分线的画法
如下右图所示，已知：
求作： 的平分线.
作法：(1)以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA 于点M，交OB 于点 N.
(2)分别以M、N为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在∠ 的内部交于点C.
(3)作射线OC.∴射线OC 即为所求.
4.三角形的角平分线
三角形的三个内角的角平分线交于一点，且到三边的距离相等.
5.与角平分线有关的辅助线模型
(1)在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.(点垂线，垂两边，线等全等都出现)
如下左图所示,过点C作CD⊥OA,CE⊥OB,则CD=CE,△OCD≌△OCE.
(2)在角两边截取相等的线段，构造全等三角形.(角分线，分两边，对称全等要记全)
如下中图所示:在OA、OB上分别截取OD=OE,连接CD、CE,则.
(3)角平分线+垂线，全等必出现.
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如下右图所示：延长 DC交OB 于点E，则
本节重点讲解：两个定理，两个作法(角平分线的作法和与角平分线有关的辅助线).
三、全能突破
基础演练
1.如图12-3-1所示,OA 是∠BAC的平分线,OM⊥AC 于点M,ON⊥AB 于点 N,若 ON=8cm,则OM长为( ).
A.4cm B.5cm C.6cm D.8cm
2.如图12-3-2 所示,OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为A、B.下列结论中不一定成立的是( ).
A. PA=PB B. PO平分∠APB C. OA=OB D. AB垂直平分OP
3.如图12-3-3所示,AD是△ABC的角平分线,且AB:AC=3: 2,则△ABD与△ACD 的面积之比为( ).
A.3:2 B.9:4 C.2:3 D.4:9
4.如图12-3-4 所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD是∠ABC 的平分线,交 AC于点D,若CD=n,AB=m,则△ABD的面积是 .
5.如图12-3-5 所示,BD 是∠ABC的平分线,AB=CB,点 P 在BD 的延长线上,PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别是点 M、N,求证:PM=PN.
6.已知,如图12-3-6 所示,在四边形ABCD中,BC>AB,AD=DC,DF⊥BC,BD 平分∠ABC.
(1)求证:∠BAD+∠BCD=180°.
(2)若DF=3,BF=6,求四边形ABCD的面积.
7.如图12-3-7 所示,D、E、F分别是△ABC的三边上的点,( 和△DBF的面积相等,求证:AD 平分∠BAC.
能力提升
8.如图12-3-8所示,∠AOB和一条定长线段a,在∠AOB内找一点P,使点P到OA、OB 的距离都等于a,作法如下:(1)作OB的垂线NH,使NH=a,点H为垂足;(2)过点N作NM∥OB;(3)作∠AOB的平分线OP,与 NM交于点P;(4)点 P 即为所求.其中(3)的依据是( ).
A.平行线之间的距离处处相等
B.到角的两边距离相等的点在角的平分线上
C.角的平分线上的点到角的两边的距离相等
D.到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
9.如图 12-3-9 所示,在△ABC 中,P、Q分别是 BC、AC 上的点,作 PR⊥AB,PS⊥AC,垂足分别是R、S.若AQ=PQ,PR=PS,QD⊥AP,下列结论:①AS=AR;②AP平分∠BAC;③△BRP≌△CSP;④PQ∥AR.其中正确的是( ).
A.①③ B.②③
C.①②④ D.①②③④
10.如图12-3-10所示，直线 l ，l ，l 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( )处.
A.1 B.2 C.3 D.4
11.如图12-3-11所示,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,AD平分∠BAC,BE⊥AD交AC 的延长线于F,E为垂足.则结论:①AD=BF;②CF=CD;③AC+CD=AB;④BE=CF;⑤BF=2BE,其中正确结论的个数是( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
12.如图12-3-12所示,已知AB∥CD,∠CAB、∠ACD 的平分线交于点O,OE⊥AC,且OE=2,则两平行线AB、CD 间的距离等于 .
13.(1)如图12-3-13 所示,△ABC 的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40,三条角平分线将△ABC 分为三个三角形，则S△ABO : S△BCO : S△CAO等于 .
(2)如图12-3-14所示,已知△ABC的周长是18cm,OB、OC 分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC 于点D,若△ABC的面积为 45cm ,则OD= .
14.如图12-3-15 所示,∠B=∠C=90°,M是BC 的中点,AM平分∠DAB,求证:DM平分∠ADC.
15.如图12-3-16 所示，在河中有座水文观测台O，它到河岸以及河上大桥AB的距离相等，一水文数据记录员站在台上，发现桥上有辆漂亮的彩车，从桥头 A 走到桥头B，问记录员的视线转过多大角度
16.如图12-3-17 所示,在△ABC 中,PB、PC分别是△ABC的外角的平分线,求证:∠1=∠2.
17.已知:如图12-3-18所示,在△ABC和△DCE中,BC=AC,DC=EC,∠ACB=∠DCE,B、C、E三点在一条直线上,A、B、C、D、E、F、G、O为“公交停靠点”,甲公共汽车从 A 站出发,按照A、F、G、E、C、F的顺序达到F站，乙公共汽车从 B站出发，按照B、O、F、D、G、C、F的顺序达到F 站，
(1)如果甲、乙两公共汽车分别从A、B站出发，在各站耽误的时间相同，两车的速度也相同，试问那一辆公共汽车先到达指定站点 为什么
(2)求证:①∠AFB=∠DCE;②CF平分∠BFE.
18.如图12-3-19所示,在△ABC中,BD是∠ABC的平分线,AD⊥BD,垂足为点D,
(1)求证:∠2=∠1+∠C;
(2)若ED∥BC,∠ABD=28°,求∠ADE的度数.
19.如图12-3-20所示,在△ABC中,AB>AC,∠1=∠2,P为AD 上任意一点.求证:AB-AC>PB-PC.
20.如图12-3-21所示,在△ABC中,AD是∠BAC的外角平分线,P是AD上异于点 A的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由.
21.如图12-3-22所示,OP 平分∠MON,PA⊥ON 于点A,点 Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则 PQ的最小值为( ).
A.1 B.2
C.3 D.4
22.八(1)班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角(如图12-3-23所示).
设计了如下方案：
(Ⅰ)∠AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点 P 介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合,即 PM=PN,过角尺顶点 P 的射线OP 就是∠AOB的平分线.
(Ⅱ)∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，将角尺的直角顶点P 介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN,过角尺顶点 P 的射线OP 就是∠AOB的平分线.
(1)方案(Ⅰ)、方案(Ⅱ)是否可行 若可行，请证明；若不可行，请说明理由.
(2)在方案(Ⅰ)PM=PN的情况下,继续移动角尺,同时使 PM⊥OA,PN⊥OB.此方案是否可行 请说明理由.
巅峰突破
23.如图12-3-24 所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=60°,∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交于E点,则∠AEB=( ).
A.50° B.45°
C.40° D.35°
如图12-3-25 所示,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,D是AC上一点,且AE垂直BD 的延长线于E, 求证:BD是∠ABC的平分线.
1. D; 2. D; 3. A; 4 m
5.∵BD是∠ABC的平分线,
∴∠1=∠2.
证明△ABD≌△CBD.∴∠BDA=∠BDC.∴∠3=∠4.
∵PM⊥AD,PN⊥CD,∴PM=PN.
6.(1)过点 D 作DE⊥AB,垂足为 E.
∵BD平分∠ABC,DF⊥BC,
∴DE=DF.
证明Rt△ADE≌Rt△CDF.∴∠BCD=∠EAD.
∵∠BAD+∠EAD=180°,
∴∠BAD+∠BCD=180°.
(2)由(1)可知,Rt△ADE≌Rt△CDF,DE=DF.易证:Rt△BDE≌Rt△BDF.
2S△BDF.
∵DF=3,BF=6,
7.过点 D分别作 DG⊥AB,DH⊥AC,垂足为G、H.
∵△DCE 和△DBF的面积相等,
∵CE=BF,∴DG=DH.
∴点 D在∠BAC的平分线上.
∴AD平分∠BAC.
能力提升
8. C;9. C;10. D;11. D;12.4;13.(1)2:3:4;(2)5cm
14.过点 M作ME⊥AD于点E,
∵∠B=∠C=90°,∴MB⊥AB,MC⊥CD.
∵AM平分∠DAB,ME⊥AD,MB⊥AB,
∴EM=BM.
∵M是BC 的中点,∴CM=BM.∴CM=EM.
∵MC⊥CD,ME⊥AD,∴DM平分∠ADC.
15.如下图所示,连接OA、OB,过点O作OG⊥AB,
OF⊥BD,OE⊥AC,
由题意得:OE=OG=OF.
∴AO平分∠CAG,BO平分∠ABD.
∵AC//DB.∴∠CAB+∠DBA=180°.
∵∠AOB+∠OBA+∠OAB=180°,
∴记录员的视线转过的角度为90°.
16.过点 P 作 PE⊥AB于点 E,PG⊥AC 于点G,PF⊥BC于点 F.
∵点 P 在∠EBC的平分线上,PE⊥AB,PF⊥BC,
∴PE=PF.同理可证:PF=PG.∴PG=PE,
又∵PE⊥AB,PG⊥AC,
∴PA是∠BAC的平分线.∴∠1=∠2.
17.(1)甲、乙两公共汽车同时到达指定站点.
∵∠ACB=∠DCE,∴∠BCD=∠ACE.
证明△BCD≌△ACE.∴AE=BD.
∵甲走的路程为:AF+FG+GE+EC+CF=AE+EC+CF,乙走的路程为：
BO+OF+FD+DG+GC+CF=BD+DC+CF,
∴AE+EC+CF=BD+DC+CF.
∴两辆公共汽车同时到达指定站.
(2)①∵△BCD≌△ACE,∴∠CBD=∠CAE.
∵∠CAE+∠AOF+∠AFO=∠CBD+∠BCO+∠BOC=180°,∠BOC=∠AOD,
∴∠AFO=∠ACB.
∵∠ACB=∠DCE,∴∠AFB=∠DCE.
②如下图所示,过点 C作CM⊥BD,CH⊥AE,
∵△BCD≌△ACE,∴S△BCD=S△ACE.
∵AE=BD,∴CM=CH.
∵CM⊥BD,CH⊥AE,∴CF平分∠BFE.
18.(1)证明:延长 AD 交BC 于点F,
∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠FBD.
∵AD⊥BD,∴∠ADB=∠FDB=90°.
证明△ABD≌△FBD.∴∠2=∠DFB.
又∵∠DFB=∠1+∠C.∴∠2=∠1+∠C.
(2)由(1)可知:△ABD≌△FBD,
∴∠2=∠AFB.
∵∠ABD=28°,∠ADB=90°,
∴∠AFB=62°.∴∠AFC=118°.
∵ED∥BC,∴∠ADE=∠AFC=118°.
19.如下图所示,在AB上截取AN=AC,连接PN,证明△APN≌△APC.∴PN=PC.
∵在△BPN中,BN>PB-PN..
∵AB-AN=BN,∴AB-AC>PB-PC.
20. PB+PC>AB+AC.
证明:如下图所示,延长 BA 至点 E,使 AE=AC,连接PE,
∵AD是∠BAC的外角平分线,
∴∠EAP=∠CAP.
证明△EAP≌△CAP.∴EP=CP.
在△PBE中,PB+PE>BE.
∵BE=AB+AE,AE=AC,∴PB+PC>AB+AC.
中考链接
21. B
22.(1)方案(Ⅰ)不可行.缺少证明三角形全等的条件.
方案(Ⅱ)可行，证明略.
(2)当∠AOB是直角时，此方案可行.
∵四边形内角和为 360°,又若 PM⊥OA,PN⊥OB,∠OMP=∠ONP=90°,∠MPN=90°,
∴∠AOB=90°.
∵PM⊥OA,PN⊥OB,PM=PN,
∴OP为∠AOB的平分线.
当∠AOB不为直角时，此方案不可行.
巅峰突破
23. B 【提示】如下图所示,过点 E作ED⊥BC,EH⊥AB,EF⊥AC,
∵BE、CE是角平分线,
∴ED=EH,ED=EF.∴EH=EF.
∵EH⊥AB,EF⊥AC,
∴AE 是∠BAF的角平分线.
∵∠CAB=60°,∴∠CBA=30°,∠BAE=60°.
∴∠ABE=75°.∴∠AEB=45°.
24.如下图所示，延长AE和BC 相交于点F，
∵∠ACB=90°,∴∠CBD+∠CDB=90°.
∵BE⊥AE,∴∠AEB=90°.
∴∠EAD+∠ADE=90°.
∴∠EAD+∠ADE=∠CBD+∠BDC.
∵∠ADE=∠BDC,∴∠EAD=∠CBD.
先证:Rt△ACF≌Rt△BCD.∴AF=BD.
再证:Rt△BEA≌Rt△BEF.∴∠ABE=∠FBE.
即 BD是∠ABC的平分线.