14.3因式分解 培优训练（含答案）2024-2025学年人教版八年级数学上册

14.3 因 式 分 解
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课标内容 课标要求 目标层次
因式分解 了解因式分解的意义及其与整式乘法之间的关系 ★
会用提公因式法、公式法进行因式分解 ★★
能运用因式分解的知识进行代数式的变形，解决相关问题
二、核心纲要
1.因式分解
(1)定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式.
(2)因式分解与整式乘法互为逆变形
式中m可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式.
(3)注意事项
①若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止；
②结果一定是乘积的形式；
③每一个因式都是整式；
④相同的因式的积要写成幂的形式.
(4)在分解因式时，结果的形式要求
①没有大括号和中括号；
②每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解；
③单项式因式写在多项式因式的前面；
④每个因式第一项系数一般不为负数；
⑤形式相同的因式写成幂的形式.
2.因式分解的常用方法及步骤
(1)提取公因式法
如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面.
确定公因式的方法
系数——取多项式各项系数的最大公约数；
字母(或多项式因式)——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂.
(2)公式法
①平方差公式：(
公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反；
(b)每一项都可以化成某个数或式的平方形式；
(c)右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积.
②完全平方公式：
(a)左边相当于一个二次三项式；
(b)左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式；
(c)左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负；
(d)右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定.
③立方和差公式：
欧拉公式：a
特别地:①当a+b+c=0时,有。
②当c=0时，欧拉公式变为两数立方和公式.
(3)十字相乘法
一个二次三项式 若可以分解，则一定可以写成 的形式，它的系数可以写成“×”，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解系数a、b、c，使得：a ( b).
若 不是一个平方数，那么二次三项式 就不能在有理数范围内分解.
(4)分组分解法
将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法.
(5)分解因式的一般步骤
一看有无公因式，二看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适.
3.因式分解的高端方法
(1)拆项、添项法
将多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项(或几项)，使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解.
注：用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种.
(2)配方法
对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法.属于拆项、补项法的一种特殊情况.也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形.
(3)换元法
对于某些比较复杂的代数式看做一个整体，用一个字母来代替，从而简化原代数式，最后将原代数式代入.
(4)主元法
在分解一个含有多个字母的多项式时，选择一个字母作为主要元素，其他的字母当做已知数，将多项式按照选定的字母按照降幂排列，然后进行恰当的分组进行分解.
(5)双十字相乘法
双十字相乘法用于对 型多项式的分解因式.
条件：
即：
则 )
本节重点讲解：一个定义，九个方法，一个步骤
三、全能突破
基础演练
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1.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为( ).
2.(1)下列各式能用完全平方式进行分解因式的是( ).
(2)下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( ).
3.若 是一个完全平方式，则k 的值为(
A.6 B.±6
4.用适当的方法分解下列因式：
(n为正整数)
).
C.12 D.±12
5.用十字相乘法分解下列因式：
能力提升
6.把 分解因式的结果是( ).
A.(a-b)(a+2)(b+2)
C.(a-b)(a+b)+2
7.已知x为有理数，则多项式 的值( ).
A.一定是负数 B.不可能为正数
C.一定为正数 D.可能为零、正、负数
8.在实数范围内分解因式
9.请你写一个能先提公因式、再运用公式来分解因式的三项式，并写出分解因式的结果 .
10.用简便方法计算：
11.请分解下列因式：
12.已知a、b、c满足. 求 的值.
13.设x为正整数，试判断10+5x+x(x+2)是质数还是合数，请说明理由.
14.化简:1 且当 时，求原式的值.
15.已知多项式 有一个因式是 2x+1，求m的值.
16.已知: 且 ac+ bd=0,求 ab+ cd的值.
17.观察下列各式：
……
(1)分解因式：x --1= .
(2)根据规律可得 (其中n为正整数).
(3)计算:
18.(1)若a,b,c是三角形的三条边,求证:
(2)在 中，三边分别为a、b、c，且满足 试探究 的形状.
(3)在 中，三边分别为a、b、c，且满足 试探究 的形状.
19.(1)分解因式:(
(2)求证：多项式( 的值一定是非负数.
20.分解因式:.
21.分解因式:
22.若实数x、y、z满足( 则下列式子一定成立的是( ).
A. x+y+z=0 B. x+y-2z=0 C. y+z-2x=0
23.已知P=3xy--8x+1,Q=x--2xy--2,当x≠0时, 恒成立，则y的值为 .
巅峰突破
24.已知等腰三角形ABC的三边长a、b、c均为整数，且满足( ，则这样的三角形共有 个.
25.(1)分解因式:
(2)分解因式：
分解因式：
基础演练
1. C; 2.(1)D;(2)D; 3. D
5.(1)(x-6)(x-1);(2)(y-5)(y+3);
(3)(x-2)(3x-5);(4)(a-3b)(a+2b);
(5)(4x+3y)(3x-5y);
(6)(x+y-5)(x+y+2)
能力提升
6. B; 7. B;
9.答案不唯一，如
10.(1)45.8;(2)-20.
11.(1)(a-b)(a+c);(2)(x+y) (x-y);
(3)(a-b+c)
(4)原式 x+1)=(x-1)(x +x+1)(x -x+1)
(5)( mx-m+3)(x-1);
(6)[(2-k)x-k](x-1)=(2x- kx-k)(x-1)
(8)原式:
2)
12.∵a-b=8,∴a=b+8.∴b(b+8)+c +16=0.则(b+4) +c =0,∴b=-4,c=0,a=4.∴2a+b+c=4.
13.原式=(x+2)(5+x)
∵x+2,5+x都是大于1的自然数,
∴(x+2)(5+x)是合数.
14.原式=(1+x)(1+x)+x(1+x) +…+x(1+x)2012 12
……
=(1+x)2013
∴当x=-2时,原式=-1
15.根据已知条件，设 则：
由此可得 解得
16. ab+ cd=ab×1+cd×1
= bc( ac+ bd)+ ad( bd+ ac)
=( ac+ bd)( bc+ ad)
∵ac+ bd=0,∴原式=0.
(2)x"-1;(3)原式=3 -1;
∵a、b、c是三角形三边,
∴a+b+c>0且a∴(a+b+c)(a-b-c)<0.
即
3
e
∵( 0,
∴a-b=0,b-c=0,a-c=0.∴a=b=c.
∴△ABC是等边三角形.
(3)原式
=(b-c)[a(a-b)-c(a-b)]
=(b-c)(a-b)(a-c)=0
∴b=c或b=a或a=c.
∴△ABC是等腰三角形.
19.(1)原式
设 ，则
∴原式：
=(x+2)(x-2)(x-3)(x-7)+100
=(x+2)(x-7)(x-2)(x-3)+100
设 则
原式
∵无论 y取何值，总有(
的值一定是非负数.
20.解法1:拆项
原式
解法2：添项
原式
=x(x+1)(x-4)+4(x+1)
中考链接
21. x(x-6)(x+2);22. D;23.2
巅峰突破
24.3
25.(1)设. ,则原式=(a+b) -4ab=
(2)故可设 则 4=A+B.
故原式=4AB-(A+B) =-A -B +2AB=-(A-B)
26.以x为主元
解：原式
)
=(x-5y+2)(x+2y-1)
基础演练
1. C; 2.(1)D;(2)D; 3. D
5.(1)(x-6)(x-1);(2)(y-5)(y+3);
(3)(x-2)(3x-5);(4)(a-3b)(a+2b);
(5)(4x+3y)(3x-5y);
(6)(x+y-5)(x+y+2)
能力提升
6. B; 7. B;
9.答案不唯一，如
10.(1)45.8;(2)-20.
11.(1)(a-b)(a+c);(2)(x+y) (x-y);
(3)(a-b+c)
(4)原式 x+1)=(x-1)(x +x+1)(x -x+1)
(5)( mx-m+3)(x-1);
(6)[(2-k)x-k](x-1)=(2x- kx-k)(x-1)
(8)原式:
2)
12.∵a-b=8,∴a=b+8.∴b(b+8)+c +16=0.则(b+4) +c =0,∴b=-4,c=0,a=4.∴2a+b+c=4.
13.原式=(x+2)(5+x)
∵x+2,5+x都是大于1的自然数,
∴(x+2)(5+x)是合数.
14.原式=(1+x)(1+x)+x(1+x) +…+x(1+x)2012 12
……
=(1+x)2013
∴当x=-2时,原式=-1
15.根据已知条件，设 则：
由此可得 解得
16. ab+ cd=ab×1+cd×1
= bc( ac+ bd)+ ad( bd+ ac)
=( ac+ bd)( bc+ ad)
∵ac+ bd=0,∴原式=0.
(2)x"-1;(3)原式=3 -1;
∵a、b、c是三角形三边,
∴a+b+c>0且a∴(a+b+c)(a-b-c)<0.
即
3
e
∵( 0,
∴a-b=0,b-c=0,a-c=0.∴a=b=c.
∴△ABC是等边三角形.
(3)原式
=(b-c)[a(a-b)-c(a-b)]
=(b-c)(a-b)(a-c)=0
∴b=c或b=a或a=c.
∴△ABC是等腰三角形.
19.(1)原式
设 ，则
∴原式：
=(x+2)(x-2)(x-3)(x-7)+100
=(x+2)(x-7)(x-2)(x-3)+100
设 则
原式
∵无论 y取何值，总有(
的值一定是非负数.
20.解法1:拆项
原式
解法2：添项
原式
=x(x+1)(x-4)+4(x+1)
中考链接
21. x(x-6)(x+2);22. D;23.2
巅峰突破
24.3
25.(1)设. ,则原式=(a+b) -4ab=
(2)故可设 则 4=A+B.
故原式=4AB-(A+B) =-A -B +2AB=-(A-B)
26.以x为主元
解：原式
)
=(x-5y+2)(x+2y-1)