15.1 分式的基本概念与性质 培优训练（含答案）2024-2025学年人教版八年级数学上册
文档属性
| 名称 | 15.1 分式的基本概念与性质 培优训练（含答案）2024-2025学年人教版八年级数学上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 180.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-08-20 07:44:27 | ||
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文档简介
15.1 分式的基本概念与性质
一、课标导航
课标内容 课标要求 目标层次
分式的概念 了解分式的概念，能确定分式有意义的条件 ★
能确定使分式的值为零的条件 ★★
分式的性质 理解分式的基本性质，并能进行简单的变形 ★
能用分式的性质进行通分和约分 ★★
二、核心纲要
1.分式的概念
一般地，如果 A、B表示两个整式，并且 B 中含有字母( 0)，那么式子 叫做分式.
注：在理解分式的概念时，注意以下四点
(1)分式的分母中必须含有字母；
(2)分式的分母的值不为0；
(3)分式是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开；
(4)判断分式时需要看最初形式.
2.有理式
整式与分式统称为有理式.
3.分式有意义的条件
两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0；
当分母为 0时，分式无意义.
4.分式的值
(1)分式的值为零：必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”.
即 且 B≠0.
(2)分式的值为1：满足分式的分子与分母相等，且分式的分母不能为零.
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即
(3)分式的值为-1：满足分式的分子与分母互为相反数，且分式的分母不能为零.
即
(4)分式的值为正：满足分式的分子与分母同号.
即 或
(5)分式的值为负：满足分式的分子与分母异号.
即 或
5.分式的基本性质
分式的分子与分母同时乘以(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变.
即：
注：①在运用分式的基本性质时，前提条件是m≠0；
②强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的整式；
6.约分
(1)概念：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分.
(2)步骤:
①如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约去；
②分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去.
(3)公因式的确定：系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母中的相同字母，指数取次数低的，即为它们的公因式.
7.最简分式
一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式.约分时，一般将一个分式化为最简分式.
8.通分
(1)概念：把几个异分母分式分别化为与原分式值相等的同分母分式，叫做分式的通分.
(2)步骤
①求出所有分式分母的最简公分母；
②将所有分式的分母变为最简公分母.同时各分式按照分母所扩大的倍数，相应扩大各自的分子.
(3)最简公分母的确定：系数取各分母系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂及单独字母的幂的乘积.
本节重点讲解：四个定义，一个性质，一种求值，一个条件.
三、全能突破
基础演练
1.在3x,0, 中，是整式的有 ；是分式的有 .
2.当x 时,分式 有意义；当x的值为 时，分式 的值为1.
3.如果分式 的值为0，那么x 的值是( ).
A.0 B.5 C.—5 D.±5
4.(1)分式 的值为正数的条件是( ).
A. x<2 B. x<2且x≠-1 C.-12
(2)使分式 的值是负数的x的取值范围是( ).
C. x<0 D.不能确定
5.(1)把分式 中的x，y都扩大2倍，则分式的值( ).
A.不变 B.扩大2倍 C.扩大 4 倍 D.缩小2 倍
(2)把分式 中的x，y都扩大2倍，则分式的值( ).
A.不变 B.扩大2倍 C.扩大 4 倍 D.缩小 2 倍
(3)不改变分式 的值，把分子、分母中各项系数化为整数，结果是( ).
6.下列各式中正确的是( ).
7.下列分式中，最简分式有( ).
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
8.将下列分式约分：
9.将下列式子进行通分：
和 和 和 和
能力提升
10.下列说法正确的是( ).
不是分式 B.无论x取何值，分式 总有意义
C.分式 的值可以等于零 是分式
11.已知当x=-2时,分式 无意义，当x=4时，此分式的值为0，则a+b的值等于( ).
A. -6 B.-2 C.6 D.2
12.下列结论：①无论 a 取何值， 都有意义；②a=--1时，分式 的值为0；③若 的值为负，则x的取值范围是：x<--1;④若 有意义，则x的取值范围是x≠-2且x≠0，其中正确的是( ).
A.①③④ B.①②③ C.①③ D.①④
13.若 表示一个整数，则整数a的值可以取( ).
A.1 个 B.2个 C.3个 D.4个
14.下列各式计算正确的是( ).
15.化简 的结果是( ).
16.已知 则 的值为( ).
A B C D
17.已知式子 当x 时，分式无意义，当x 时，分式的值为0.
18.当分式 与分式 的值相等时，x须满足 .
19.若分式 不论x取何实数总有意义，则m的取值范围为 .
20.有一个分式，三位同学分别说出了它的一些特点.甲：分式的值不可能为0；乙：分式有意义时，x的取值范围是x≠±1；丙：当x=-2时，分式的值为1.请你写出一个满足上述全部特点的分式： .
21.瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据 …中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥秘的大门.请你尝试用含 n的式子表示巴尔末公式 .
22.已知 m 取哪些值时：
(1)y的值是正数.(2)y的值是负数.(3)y的值是零.(4)分式无意义.
23.要使分 有意义，x的取值范围满足( )
A. x=0 B. x≠0 C. x>0 D. x<0
24.使分式 无意义的x的值是( ).
25.观察下面的图形(每一个正方形的边长均为1)和相应的等式，探究其中的规律：
……
(1)写出第五个等式，并在下边给出的五个正方形上画出与之对应的图示.
(2)猜想并写出与第n个图形相对应的等式.
巅峰突破
26.要使分式 没有意义，则a的值为 .
27.若分式 则x= .
28.化简
基础演练
2.≠-5;-2; 3. B; 4.(1)B; (2)B
5.(1)A;(2)A;(3)D; 6. C; 7. C
9.略
能力提升
10. B; 11. D; 12. C; 13. D; 14. C;
15. B; 16. C; 17.=1或-1;=8;
18. x≠±1; 19. m>4
20.答案不唯一，例如：
n为正整数)
22.(1)m>-1且m≠2;(2)m<-1;(3)m=-1;(4)m=2.
中考链接
23. B; 24. B
对应的图形如下：
巅峰突破
26.0或 27.4
28.原式
一、课标导航
课标内容 课标要求 目标层次
分式的概念 了解分式的概念，能确定分式有意义的条件 ★
能确定使分式的值为零的条件 ★★
分式的性质 理解分式的基本性质，并能进行简单的变形 ★
能用分式的性质进行通分和约分 ★★
二、核心纲要
1.分式的概念
一般地，如果 A、B表示两个整式，并且 B 中含有字母( 0)，那么式子 叫做分式.
注：在理解分式的概念时，注意以下四点
(1)分式的分母中必须含有字母；
(2)分式的分母的值不为0；
(3)分式是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开；
(4)判断分式时需要看最初形式.
2.有理式
整式与分式统称为有理式.
3.分式有意义的条件
两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0；
当分母为 0时，分式无意义.
4.分式的值
(1)分式的值为零：必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”.
即 且 B≠0.
(2)分式的值为1：满足分式的分子与分母相等，且分式的分母不能为零.
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即
(3)分式的值为-1：满足分式的分子与分母互为相反数，且分式的分母不能为零.
即
(4)分式的值为正：满足分式的分子与分母同号.
即 或
(5)分式的值为负：满足分式的分子与分母异号.
即 或
5.分式的基本性质
分式的分子与分母同时乘以(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变.
即：
注：①在运用分式的基本性质时，前提条件是m≠0；
②强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的整式；
6.约分
(1)概念：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分.
(2)步骤:
①如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约去；
②分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去.
(3)公因式的确定：系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母中的相同字母，指数取次数低的，即为它们的公因式.
7.最简分式
一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式.约分时，一般将一个分式化为最简分式.
8.通分
(1)概念：把几个异分母分式分别化为与原分式值相等的同分母分式，叫做分式的通分.
(2)步骤
①求出所有分式分母的最简公分母；
②将所有分式的分母变为最简公分母.同时各分式按照分母所扩大的倍数，相应扩大各自的分子.
(3)最简公分母的确定：系数取各分母系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂及单独字母的幂的乘积.
本节重点讲解：四个定义，一个性质，一种求值，一个条件.
三、全能突破
基础演练
1.在3x,0, 中，是整式的有 ；是分式的有 .
2.当x 时,分式 有意义；当x的值为 时，分式 的值为1.
3.如果分式 的值为0，那么x 的值是( ).
A.0 B.5 C.—5 D.±5
4.(1)分式 的值为正数的条件是( ).
A. x<2 B. x<2且x≠-1 C.-1
(2)使分式 的值是负数的x的取值范围是( ).
C. x<0 D.不能确定
5.(1)把分式 中的x，y都扩大2倍，则分式的值( ).
A.不变 B.扩大2倍 C.扩大 4 倍 D.缩小2 倍
(2)把分式 中的x，y都扩大2倍，则分式的值( ).
A.不变 B.扩大2倍 C.扩大 4 倍 D.缩小 2 倍
(3)不改变分式 的值，把分子、分母中各项系数化为整数，结果是( ).
6.下列各式中正确的是( ).
7.下列分式中，最简分式有( ).
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
8.将下列分式约分：
9.将下列式子进行通分：
和 和 和 和
能力提升
10.下列说法正确的是( ).
不是分式 B.无论x取何值，分式 总有意义
C.分式 的值可以等于零 是分式
11.已知当x=-2时,分式 无意义，当x=4时，此分式的值为0，则a+b的值等于( ).
A. -6 B.-2 C.6 D.2
12.下列结论：①无论 a 取何值， 都有意义；②a=--1时，分式 的值为0；③若 的值为负，则x的取值范围是：x<--1;④若 有意义，则x的取值范围是x≠-2且x≠0，其中正确的是( ).
A.①③④ B.①②③ C.①③ D.①④
13.若 表示一个整数，则整数a的值可以取( ).
A.1 个 B.2个 C.3个 D.4个
14.下列各式计算正确的是( ).
15.化简 的结果是( ).
16.已知 则 的值为( ).
A B C D
17.已知式子 当x 时，分式无意义，当x 时，分式的值为0.
18.当分式 与分式 的值相等时，x须满足 .
19.若分式 不论x取何实数总有意义，则m的取值范围为 .
20.有一个分式，三位同学分别说出了它的一些特点.甲：分式的值不可能为0；乙：分式有意义时，x的取值范围是x≠±1；丙：当x=-2时，分式的值为1.请你写出一个满足上述全部特点的分式： .
21.瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据 …中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥秘的大门.请你尝试用含 n的式子表示巴尔末公式 .
22.已知 m 取哪些值时：
(1)y的值是正数.(2)y的值是负数.(3)y的值是零.(4)分式无意义.
23.要使分 有意义，x的取值范围满足( )
A. x=0 B. x≠0 C. x>0 D. x<0
24.使分式 无意义的x的值是( ).
25.观察下面的图形(每一个正方形的边长均为1)和相应的等式，探究其中的规律：
……
(1)写出第五个等式，并在下边给出的五个正方形上画出与之对应的图示.
(2)猜想并写出与第n个图形相对应的等式.
巅峰突破
26.要使分式 没有意义，则a的值为 .
27.若分式 则x= .
28.化简
基础演练
2.≠-5;-2; 3. B; 4.(1)B; (2)B
5.(1)A;(2)A;(3)D; 6. C; 7. C
9.略
能力提升
10. B; 11. D; 12. C; 13. D; 14. C;
15. B; 16. C; 17.=1或-1;=8;
18. x≠±1; 19. m>4
20.答案不唯一，例如：
n为正整数)
22.(1)m>-1且m≠2;(2)m<-1;(3)m=-1;(4)m=2.
中考链接
23. B; 24. B
对应的图形如下：
巅峰突破
26.0或 27.4
28.原式