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东北三省六校2024-2025学年高一第一次月考—数学
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合、集合，则（ ）。
A、 B、 C、 D、
2．“”是“且”的（ ）。
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件
3．设、，则与的大小关系是（ ）。
A、 B、 C、 D、无法确定
4．不等式的最小整数解为（ ）。
A、 B、 C、 D、
5．已知集合、集合，，则的值可以是（ ）。
A、 B、 C、 D、
6．已知且，则的最小值为（ ）。
A、 B、 C、 D、
7．关于的不等式的解集为，那么不等式的解集为（ ）。
A、 B、 C、 D、
8．设正实数、、满足，则当取得最小值时，的最大值为（ ）。
A、 B、 C、 D、
二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分。
9．下列命题中是真命题的是（ ）。
A、“”是“”的充分不必要条件
B、命题“，都有”的否定是“，使得”
C、不等式成立的一个充分不必要条件是或
D、当时，方程组有无穷多解
10．下列说法中，正确的有（ ）。
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A、的最小值是
B、的最小值是
C、若，则
D、若，则
11．已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ）。
A、若，则且
B、若，则关于的不等式的解集也为
C、若，则关于的不等式的解集为
D、若，且，则的最小值为
三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。
13．命题“若，则”的否定为 。（用文字表达）
13．若关于的不等式的解集为，则实数的值为 。
14．已知：；：；：关于的不等式（），若是的必要不充分条件，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围为 。
四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分分）已知集合、集合（）。
（1）若，求实数的取值范围；
（2）设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围。
16．（本小题满分分）已知命题：，，命题：，。
（1）若命题和命题有且只有一个为假命题，求实数的取值范围；
（2）若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围。
17．（本小题满分分）已知实数、满足：。
（1）求和的最大值；
（2）求的最小值和最大值。
18．（本小题满分分）根据要求完成下列问题：
（1）已知，集合、集合、集合，则同时满足且的实数、是否存在？若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由；
（2）已知，命题：和是方程的两个实根，不等式对任意实数恒成立；命题：不等式有解；若命题是真命题，命题是假命题，求实数的取值范围。
19．（本小题满分分）根据要求完成下列问题：
（1）若、、。
①求证：；
②求证：；
③在（2）中的不等式中，能否找到一个代数式，满足所求式？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由。
（2）设，求证：成立的充要条件是。绝密★启用并使用完毕前
东北三省六校2024-2025学年高一第一次月考—数学
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合、集合，则（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】∵、，
∴，故选B。
2．“”是“且”的（ ）。
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若时，推不出且，充分性不成立，
若且，能推出，必要性成立，
∴“”是“且”的必要不充分条件，故选B。
3．设、，则与的大小关系是（ ）。
A、 B、 C、 D、无法确定
【答案】C
【解析】∵、，
∴，∴，故选C。
4．不等式的最小整数解为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】原不等式可化为或或，解得，
∴最小整数解是，故选C。
5．已知集合、集合，，则的值可以是（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】集合、集合，
∴，∵，结合选项可得，故选B。
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6．已知且，则的最小值为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【解析】∵且，∴，，∴，∴，
则令，
当时，单调递增，∴当时，取得最小值为，
即的最小值为，当且仅当、时取最小值，故选A。
7．关于的不等式的解集为，那么不等式的解集为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】∵关于的不等式的解集为，∴、，
∴可化为，即，
∴，∴，解得，故选C。
8．设正实数、、满足，则当取得最小值时，的最大值为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】由已知得，
当且仅当，即时等号成立，
则，∴，
当时，取最大值为，故选D。
点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正：各项均为正；二定：积或和为定值；三相等：等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误。
二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分。
9．下列命题中是真命题的是（ ）。
A、“”是“”的充分不必要条件
B、命题“，都有”的否定是“，使得”
C、不等式成立的一个充分不必要条件是或
D、当时，方程组有无穷多解
【答案】ACD
【解析】A选项，“”可以推出“”，而“”推出或，
∴“”是“”的充分不必要条件，对，
B选项，命题“，都有”的否定是“，使得”，错，
C选项，不等式成立，即或，
∴不等式成立的一个充分不必要条件是或，对，
D选项，当时，方程组等价于，
即两条直线重合，∴方程组有无穷多解，对，
故选ACD。
10．下列说法中，正确的有（ ）。
A、的最小值是 B、的最小值是
C、若，则 D、若，则
【答案】CD
【解析】A选项，当时，，错，
B选项，，当且仅当，即时取等号，不可能，错，
C选项，由得，
即，当且仅当时取等号，对，
D选项，由得、、，
∴，当且仅当时取等号，对，
故选CD。
11．已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ）。
A、若，则且
B、若，则关于的不等式的解集也为
C、若，则关于的不等式的解集为
D、若，且，则的最小值为
【答案】ACD
【解析】A选项，若，即一元二次不等式无解，∴且，对，
B选项，令（），则、、，
∴可化为，
当时，可化为，其解集为，
当时，可化为，其解集不等于，错，
C选项，若，则且和是一元二次方程的两根，
∴、，∴、，
∴关于的不等式可化为，
可化为，∵，∴，∴，∴或，
即不等式的解集为，对，
D选项，∵，∴且，∴，
∵，∴，令，则，
∴，
当且仅当，则时，等号成立，∴的最小值为，对，
故选ACD。
三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。
13．命题“若，则”的否定为 。（用文字表达）
【答案】若，则或。
【解析】原命题的形式为“若则”，则命题的否定的形式为“若则”，
∴命题的否定为：若，则或。
13．若关于的不等式的解集为，则实数的值为 。
【答案】
【解析】不等式等价于不等式，
令，解得、、，
∵不等式的解集为，∴且，解得。
点睛：本题考查分式不等式的解法，考查逻辑思维能力和计算能力，考查转化思想，属于常考题。
14．已知：；：；：关于的不等式（），若是的必要不充分条件，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围为 。
【答案】
【解析】由解得：，由解得：，
（1）当，由解得：，
若是的必要不充分条件，则，则①，
且是的充分不必要条件，则，则②，
由①②得：；
（2）当时，由解得：，若是的必要不充分条件，
不成立，也不成立，不存在值，
（3）当时，由解得：为，不成立，不存在值，
综上所述，，即实数的取值范围为。
四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分分）已知集合、集合（）。
（1）若，求实数的取值范围；
（2）设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围。
【解析】（1）由题意可知， 2分
又，当时，，解得，
当时，，或，解得，
综上所述，实数的取值范围为； 6分
（2）∵命题是命题的必要不充分条件，∴集合是集合的真子集， 8分
当时，，解得， 9分
当时，（等号不能同时成立），解得， 12分
综上所述，实数的取值范围为。 13分
16．（本小题满分分）已知命题：，，命题：，。
（1）若命题和命题有且只有一个为假命题，求实数的取值范围；
（2）若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围。
【解析】（1）若命题为真命题，即，，∴，∴， 2分
若命题为真命题，即，，∴，解得， 4分
命题和命题有且只有一个为假命题，
当命题为假、命题为真时，，解得，
当命题为真、命题为假时，，无解，
∴，即实数的取值范围为； 8分
（2）若命题和命题都为假命题，则，即， 10分
∵命题和命题至少有一个为真命题，∴或，
即实数的取值范围为。 15分
17．（本小题满分分）已知实数、满足：。
（1）求和的最大值；
（2）求的最小值和最大值。
【解析】（1）∵，∴，
∵，∴，∴，
当且仅当、或、时等号成立，∴的最大值为， 4分
∵，∴，
∵，∴，∴，
∴，当且仅当、时等号成立，∴的最大值为； 7分
（2）∵，∴，
∵，∴，即，
当且仅当、或、时等号成立，∴的最小值为， 11分
又，∴，即，
当且仅当、或、时等号成立，
∴的最大值为。 15分
点睛：本题考查基本不等式在求最值中的应用，在使用基本不等式的过程，注意根据所求解的目标代数式进行合理的配凑，本题属于中档题。
18．（本小题满分分）根据要求完成下列问题：
（1）已知，集合、集合、集合，则同时满足且的实数、是否存在？若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由；
（2）已知，命题：和是方程的两个实根，不等式对任意实数恒成立；命题：不等式有解；若命题是真命题，命题是假命题，求实数的取值范围。
【解析】（1）， 1分
∵，∴或或，
若，则，的值不存在，
若，则，，
若，则，的值不存在，
综上所述，， 4分
∵，∴或或或，
若，则，，
若，则，的值不存在，
若，则，的值不存在，
若，则，
综上所述，或， 7分
∴存在、的值，当、或、时，满足、； 8分
（2）∵、是方程的两个实根，∴、，
∴，∴当时，，
由不等式对任意实数恒成立可得：，
即，解得或，
∴命题为真命题时，， 12分
命题：不等式有解，
当时，原不等式一定有解，
当时，只需，解得，
不等式有解时，又命题是假命题，∴， 16分
∴命题是真命题且命题是假命题时，实数的取值范围为。 17分
19．（本小题满分分）根据要求完成下列问题：
（1）若、、。
①求证：；
②求证：；
③在（2）中的不等式中，能否找到一个代数式，满足所求式？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由。
（2）设，求证：成立的充要条件是。
【解析】（1）①∵，且、，∴，∴； 2分
②∵，∴，
又∵，∴，∴，∴， 4分
∵、，∴，
又由（1）可知，∴，∴； 6分
③∵，，
∴或（只要写出其中一个即可）； 8分
（2）证明：①充分性：如果，则有和两种情况， 9分
当时，当时，则、，∴等式成立，
当时，则、，∴等式成立，
∴当时，等式成立， 11分
当时，即、或、，
当、时，、，∴等式成立，
当、时，、，∴等式成立，
∴当时，等式成立， 13分
∴当时，成立， 14分
②必要性：若且，则，
即，∴，∴， 16分
综上所述，是等式成立的充要条件。 17分
