22.2 二次函数与一元二次方程 课件(共30张PPT)【人教九上数学精简课堂课件】

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人教版九（上）数学精简课堂课件
第二十二章 二次函数
22.2 二次函数与一元二次方程
随堂演练
获取新知
情景导入
例题讲解
知识回顾
课堂小结
知识回顾
一元二次方程根的判别式：
式子b -4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母Δ表示.
(1)当Δ>0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根.
(2)当Δ=0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根.
(3)当Δ<0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根.
获取新知
问题: 如图以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系
h=20t-5t2
知识点一：二次函数与一元二次方程的关系
考虑以下问题：
（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？
（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？
（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？
（4）球从飞出到落地需要用多少时间？
所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t 的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中h的值；否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h的值．
分析：由于球的飞行高度h与飞行时间t 的关系是二次函数
h=20t－5t2
（1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？
∴当球飞行1s或3s时，它的高度为15m.
解：解方程 15=20t-5t2,
t2-4t+3=0,
t1=1,t2=3.
O
h
t
15
1
3
你能结合上图，指出为什么在两个时间球的高度为15m吗？
（2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？
O
h
t
20
2
解方程：
20=20t-5t2,
t2-4t+4=0,
t1=t2=2.
当球飞行2s时，它的高度为20m.
你能结合图形指出为什么只在一个时间球的高度为20m吗？
20m
解方程：
20.5=20t-5t2,
t2-4t+4.1=0,
因为(-4)2-4×4.1<0,
所以方程无解.
即球的飞行高度达不到20.5m.
（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？
O
h
t
20.5
你能结合图形指出为什么球不能达到20.5m的高度
（4）球从飞出到落地要用多少时间？
O
h
t
0=20t-5t2,
t2-4t=0,
t1=0，t2=4.
当球飞行0 s和4 s时，它的高度为0 m.
即0 s时小球从地面飞出，4 s时小球落回地面，小球从飞出到落地要用4 s.
h=20t-5t2
从上面可以看出，二次函数与一元二次方程关系密切．
一般地，我们可以利用二次函数y=ax2+bx+c 深入讨论一元二次方程ax2+bx+c=0.
例如，已知二次函数y = －x 2＋4x 的值为3，求自变量x的值，
可以解一元二次方程－x 2＋4x=3
（即x 2－4x+3=0）．
反过来，解方程x 2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x 2－4x+3 的值为0，求自变量x的值．
例题讲解
例1 如图，小明在扔铅球时，铅球沿抛物线
运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.
（1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？
（2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？
（3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？
解 ： （1）由抛物线的表达式得
即
解得
即当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始
位置的水平距离是1m或5m.
（1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？
（2）铅球离地面的高度能否达到2.5 m，它离初始位置的水平距离是多少？
解：由抛物线的表达式得
即
解得
即当铅球离地面的高度为2.5m时，它离初始位
置的水平距离是3m.
解：由抛物线的表达式得
即
因为Δ=（-6）2-4×1×14＜0 ，
所以方程无实根.
所以铅球离地面的高度不能达到3 m.
（3）铅球离地面的高度能否达到3 m？为什么？
思考
观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？
（1）y=x2+x-2；
（2）y=x2-6x+9；
（3）y=x2-x+1.
获取新知
知识点二：利用二次函数深入讨论一元二次方程
观察图象，完成下表：
抛物线与x轴公共点个数 公共点 横坐标 相应的一元二次
方程的根
y = x2＋x－2
y = x2－6x＋9
y = x2－x＋1
0个
1个
2个
无解
0
x1=x2=3
-2, 1
x1=-2,x2=1
1
x
y
O
y = x2－6x＋9
y = x2－x＋1
y = x2＋x－2
无
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 b2-4ac
有两个交点
有两个不相等的实数根
b2-4ac > 0
有一个交点
有两个相等的实数根
b2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系
知识要点
例2 已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．
求证：此抛物线与x轴总有交点．
证明：∵m≠0，
∴Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2.
∵(m－2)2≥0，
∴Δ≥0，
∴此抛物线与x轴总有交点.
例题讲解
例3 利用二次函数图象估计方程x2-2x-2=0的根（结果保留小数点后一位）
解：画出函数y＝x2－2x－2的图象(如图)，它与x轴的公共点的横坐标大约是－0.7，2.7.
所以方程x2－2x－2＝0的实数根为
x1≈－0.7，x2≈2.7.
知识点三：利用二次函数求一元二次方程的近似解
获取新知
利用计算器探索两根的近似值，过程如下：
x 2 3
y -2 1
当自变量取2和3之间的某个数时，函数值为0，精度|2-3|=1>0.1.
x 2.5 3
y -0.75 1
当自变量取2.5和3之间的某个数时，函数值为0，精度|2.5-3|=0.5>0.1.
x 2.5 2.75
y -0.75 0.0625
当自变量取2.5和2.75之间的某个数时，函数值为0，精度|2.5-2.75|=0.25>0.1.
x 2.625 2.75
y -0.36 0.0625
当自变量取2.625和2.75之间的某个数时，函数值为0，精度|2.625-2.75|=0.125>0.1.
当自变量取2.6875和2.75之间的某个数时，函数值为0，
精度|2.6875-2.75|=0.0625<0.1.
x 2.6875 2.75
y -0.15 0.0625
我们可以将2.6875作为根的一个近似值.
(1)用描点法作二次函数 y=ax2+bx+c的图象；
(2)观察估计二次函数的图象与x轴的交点的横坐标；
(可将单位长度十等分,借助计算器确定其近似值);
利用图象法求一元二次方程的近似根
(3)确定方程ax2+bx+c=0的近似根
（两个函数值异号）
(4)判断两个自变量的精度是否满足要求
（两个函数值异号）
否
是
(5)写出结果
知识要点
1.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点,则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况是 (　　)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.无实数根
D.无法确定
A
随堂演练
2.如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，图象上有两点分别为A(2.18，－0.51)，B(2.68，0.54)，则方程ax2＋bx＋c＝0的一个根可能是(　　)
A．2.18 B．2.68 C．－0.51 D．2.45
D
3.(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则方程ax2＋bx＋c＝0的解是_______，_______；
(2)∵方程x2＋3x＋2＝0的解是______，______，
∴抛物线y＝x2＋3x＋2与x轴的交点坐标是_______和________．
x1=-3
x2 =1
x1=-1
x2=-2
(-1,0)
(-2,0)
4.已知抛物线y＝x2－6x＋m－1，
当m_____时，抛物线与x轴有两个交点；
当m_____时，抛物线与x轴有唯一交点；
当m_____时，抛物线与x轴没有交点．
<10
=10
>10
课堂小结
二次函数与一元二次方程
二次函数与一元二次方程的关系
y=ax2+bx+c(a ≠0)当y取定值时就成了一元二次方程；ax2+bx+c=0(a ≠0) 右边换成y时就成了二次函数.
二次函数与一元二次方程根的情况
二次函数与x轴的交点个数
判别式 的符号
一元二次方程根的情况
谢谢
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