黑龙江省大庆市东风中学2023-2024学年高二上学期开学考试数学试卷(含答案)

大庆市东风中学2023-2024学年高二上学期开学考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．( )
A. B. C. D.
2．如果,是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( )
A.与 B.与
C.与 D.与
3．已知，，则等于( )
A. B. C. D.
4．下列说法正确的是( )
A.棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面
B.有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C.如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥
D.如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体
5．在中，P为线段AB上的一点，，且，则( )
A., B.， C.， D.，
6．已知圆锥的侧面展开图为一个面积为的半圆，则该圆锥的高为( )
A. B.1 C. D.
7．若m,n是两条不同的直线，,,是三个不同的平面，则下列为真命题的是( )
A.若,，则 B.若,，则
C.若，，则 D.若，，则
8．已知函数，将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，然后再向左平移个单位长度，所得的图象关于y轴对称，则的值可能为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．非零复数z满足，则复数z在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
10．已知平面，，两两垂直，直线a，b，c满足，，，则直线a，b，c可能满足以下哪种关系( )
A.两两平行 B.两两相交 C.两两异面 D.两两垂直
11．已知向量，，，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是( )
A.－2 B. C.1 D.－1
12．在棱长为2的正方体中，与交于点O，则( )
A.若E,F分别是,的中点，平面与平面的交线为l，则
B.平面
C.与平面所成的角为
D.三棱锥的体积为
三、填空题
13．已知函数，先将其图像上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），再将所得图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，则________.
14．如图所示的是的直观图，其中，则的周长为.
15．已知向量,,若,则________.
16．在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角的余弦值为________.
四、解答题
17．已知复数.
（1）求；
（2）若，求实数a，b的值.
18．（1）已知，，求；
（2）已知，，求，.
19．如图所示多面体中，底面是边长为3的正方形，平面，，，M是上一点，.
(1)求证：平面;
(2)求此多面体的体积.
20．已知函数.
(1)求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
(2)求函数f（x）在区间上的最大值和最小值.
21．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，M，N分别为，的中点.
(1)求证：；
(2)求与平面所成的角.
22．2022年北京冬奥会的成功举办激发了人们对冰雪运动的热情.如图是某滑雪场的横截面示意图，雪道分为，两部分，小明同学在C点测得雪道的坡度，在A点测得B点的俯角.若雪道长为270m，雪道长为260m.
(1)求该滑雪场的高度h；
(2)据了解，该滑雪场要用两种不同的造雪设备来满足对于雪量和雪质的不同要求，其中甲设备每小时造雪量比乙设备少，且甲设备造雪所用的时间与乙设备造雪所用的时间相等.求甲、乙两种设备每小时的造雪量.
参考答案
1．答案：B
解析：由题意可得：.
故选：B.
2．答案：D
解析：由，为不共线向量，可知与，与，与必不共线，都可作为平面向量的基底，
而，故与共线，不能作为该平面所有向量的基底.
故选:D.
3．答案：D
解析：因为，，
所以，，
由同角三角函数的关系，得.
因此.
故选：D.
4．答案：D
解析：选项A，例如六棱柱的相对侧面也互相平行，故A错误；
选项B，其余各面的边延长后不一定交于一点，故B错误；
选项C，当棱锥的各个侧面共顶点的角的角度之和是时，各侧面构成平面图形，故这个棱锥不可能为六棱锥，故C错误；
选项D，若每个侧面都是长方形，则说明侧棱与底面垂直，又底面也是长方形，符合长方体的定义，故D正确.
故选：D
5．答案：A
解析：,
所以，，
故选：A
6．答案：D
解析：设圆锥的母线长为l，圆锥的底面半径为r，
由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，
则，解得,，
则圆锥的高.
故选：D.
7．答案：C
解析：对于选项A,当且仅当平面,的交线的时，命题才成立，即原命题不成立；
对于选项B，若,，则直线m,n可能异面，可能平行还可能相交，所以原命题为假命题；
对于选项C，由,，可得平面内一定存在直线与直线m平行，进而得出该直线垂直于平面，所以原命题为真命题；
对于选项D，若,，则平面与平面相交或垂直，所以原命题为假命题，故应选C.
8．答案：A
解析：由题意可知，
，
将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，可得的图象，
然后再向左平移个单位长度，可得的图象，
因为所得的图象关于y轴对称，为偶函数，
所以，解得，
取，得.无论k取任何整数，无法得到B、C、D的值.
故选：A.
9．答案：AC
解析：由题意，设，故，
故，，即复数，在复平面内对应的点位于第一或第三象限的角平分线上.
故选：AC
10．答案：BCD
解析：如图1，可得a，b，c可能两两垂直；
如图2，可得a，b，c可能两两相交；
如图3，可得a，b，c可能两两异面；
如图4，设,,.
若直线a，b，c中有两条平行，不妨设，由，，，
而，若，又，则，
与与相交于O矛盾，所以与不平行，即a，b，c不可能两两平行.
故选：BCD.
11．答案：ABD
解析：因为，
.
假设A，B，C三点共线，则，即.所以只要，则A，B，C三点即可构成三角形.
故选：ABD.
12．答案：ABD
解析：E，F分别是，的中点，
，，
四边形为平行四边形，，
又平面，平面，
平面，又平面，平面平面，
，，故A正确；
因为正方形，与交于点O，所以，
又平面，平面，
所以，，平面，
平面，故B正确；
因为平面，与平面所成角为，
因为，，故C错误；
因为，故D正确.
故选：ABD.
13．答案：
解析：函数图像上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变）得的图像；
再将所得图像向右平移个单位长度得的图像，所以.
故答案为：
14．答案：
解析：在直观图中，，，则，
故为等腰直角三角形，所以，，
故原图形中，，，
故的周长为.
故答案为：.
15．答案：5
解析：,,,
,即,
,
则,
,
则.
故答案为:5.
16．答案：/
解析：如图，连接，
因为是正方体，平面，平面，则，
正方形中，P为的中点，所以，
平面，，所以平面.
又平面，所以.
连接，由且，四边形则为平行四边形，
则有，所以为直线与所成的角.
设正方体的棱长为2，则在中，，，
，所以.
故答案为：.
17．答案：（1）；
（2），.
解析：（1），；
（2），
.
18．答案：（1）；
（2），.
解析：（1）因为，，
所以.
（2）由，得，，
，
.
19．答案：(1)证明见解析；
(2)
解析：（1）证明：过点M作，交于点N，则,,
因为，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以.又平面,平面，
所以平面.
（2）因为平面,平面，所以，因为,，平面,所以平面.
所以，即
，
即此多面体的体积为
20．答案：(1)最小正周期为，单调递增区间为；
(2)最大值为，最小值为.
解析：（1）
，
函数f（x）的最小正周期为，
令，，则，，
函数f（x）的单调递增区间为，.
（2），，
则，，
函数的最大值为，最小值为.
21．答案：(1)证明见解析；
(2)
解析：（1）如图，以A为坐标原点，，，分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
设，则，，，，，，有，，
因为，所以
（2），,
设平面的一个法向量为，
则，取，则，，∴
，
设与平面所成的角为，，，∴
即与平面所成的角.
22．答案：(1)235m；
(2)甲种设备每小时的造雪量是，乙种设备每小时的造雪量是.
解析：（1）过B作，过A作，两直线交于F，过B作垂直地面交地面于E，如图：
根据题知，.
BC的坡度，.
设，则，，，
解得（负值已舍去），，
所以，该滑雪场的高度h为235m.
（2）设甲种设备每小时的造雪量是，则乙种设备每小时的造雪量是，
根据题意得：，解得，
经检验，是原分式方程的解，也符合题意，.
所以，甲种设备每小时的造雪量是，乙种设备每小时的造雪量是.