用函数观点看一元二次方程培优训练（含答案）2024-2025学年人教版八年级数学上册

用函数观点看一元二次方程
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用函数观点看 一元二次方程 理解二次函数与一元二次方程的关系 ★
会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解
掌握抛物线与x轴的交点与一元二次方程两根之间的联系
二、核心纲要
1.二次函数与一元二次方程的关系
△=b -4ac 二次函数y=ax + bx+c(a>0) 一元二次方程ax + bx+c=0(a≠0)根的情况
图 像 与x轴的交点情况
△>0 与x 轴有两个不同的交点(x ，0),(x ,0) 方程有两个不相等的实根x , =-b± /z /μ -4ac
△=0 与x轴有且只有一个交点 方程有两个相等的实根x =x =-b/2a
Δ<0 与x轴没有交点 方程无实数根
2.二次函数 的图像与不等式的关系
△=b -4ac 图像 函数值 y的情况
△>0 当a>0时,若xx ,则y>0; 若x=x 或x=x ,则y=0;若x 当a<0时,若x 0; 若x=x 或x=x ,则y=0;若xx ,则y<0
△=0 当a>0时,若x=x . ,则y=0;若x≠x . ,则 y≠0
当a<0时,若x=x1.2,则y=0;若x≠x .2,则y≠0
△<0 当a>0时，图像落在x轴的上方，无论x为任何实数时，y恒正
当a<0时，图像落在x轴的下方，无论x为任何实数时，y恒负
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3.直线 与抛物线 的交点
联立 与 消去 y，得到一元二次方程
①当此方程的判别式大于0，直线与抛物线有两个交点.
②当此方程的判别式等于0，直线与抛物线有一个交点.
③当此方程的判别式小于0，直线与抛物线没有交点.
4.利用二次函数图像求一元二次方程的近似解
对于二次函数 ，当x的值分别为 时，y的值分别为 若y 与.y 异号，则在. 与 之间必存在一个数. ，使得它对应的y的值为0，因此一元二次方程 有一个根. 在 与 之间，即
5.数学思想
(1)方程思想；(2)函数思想.
本节重点讲解：一个交点，一个近似解，两个关系，两个思想.
三、全能突破
基础演练
1.二次函数 的图像与x轴交点的横坐标是( ).
A.3和-4 B.-3和4 C.3 和 4 D.-3和-4
2.已知二次函数 的图像如图 22-2-1所示，那么一元二次方程 的根是( ).
3.已知函数 的图像如图22-2-2所示，根据其中提供的信息，可求得使y≥1成立的x的取值范围是( ).
A.-1≤x≤3 B.-3≤x≤1 C.x≥-3 D.x≤-1或x≥3
4.函数 的图像与x轴有交点，则k的取值范围是 .
5.当k为何值时，函数 的图像与直线.
(1)只有一个公共点；(2)有两个公共点；(3)没有公共点.
6.已知关于x的函数 中，满足
(1)求证：此函数图像与x轴总有交点.
(2)当关于z的方程 有增根时，求上述函数图像与x轴的交点坐标.
7.已知抛物线
(1)它与x轴的交点的坐标为 .
(2)在坐标系中利用描点法画出它的图像.
(3)将该抛物线在x轴下方的部分(不包含与x轴的交点)记为G，若直线y=x+b与G 只有一个公共点，则b的取值范围是 .
能力提升
8.已知二次函数 的最低点的纵坐标为-3，那么关于x的方程 的根的情况是( ).
A.无实根 B.有两个相等实数根
C.有两个异号实数根 D.有两个同号不等实数根
9.二次函数 ,a,b,c是常数)中，自变量x与函数y的对应值如下表：
x -1 — 0 1 2 3
y —2 — 1 7/ 2 7/4 1 — —2
则一元二次方程ax + bx+c=0(a≠0,a,b,c是常数)的两个根x ，x 的取值范围是( ).
10.(1)若对任意的实数x，函数 的值恒为正，则( ).
A. a<0 B. a>4 C. a<0或a>4 D.0(2)若对任意的实数x，二次三项式 的值恒为负数，则a 的取值范围是( ).
11.若p,q(pA. p12.已知函数 则使y=k成立的x 值恰好有三个，则k的值为( ).
A.0 B.1 C.2 D.3
13.已知点 A(m,0)是抛物线 与x轴的一个交点，则代数式 的值是 .
14.若抛物线 的系数a、b、c满足 则这条抛物线与x轴的交点坐标为 .
15.已知二次函数 与 x轴交点的横坐标为 则对于下列结论：①当x=-2时,y=1;②当. 时,y>0;③方程. 有两个不相等的实数根 其中所有正确的结论是 (只需填写序号).
16.若实数a、b满足( 则 的最小值为 .
17.已知，二次函数 的图像如图 22-2-3所示.
(1)若二次函数的对称轴方程为x=1，求二次函数的解析式.
(2)若一元二次方程 有实数根，请你构造恰当的函数，根据图像直接写出q的最大值.
18.已知二次函数 的图像与x轴交于点( 和 且
(1)求 x 的值.
(2)求代数式 的值.
19.已知抛物线 经过点
(1)求n-m的值.
(2)若此抛物线的顶点为(p，q)，用含m的式子分别表示p和q，并求 p与q之间的函数关系式.
(3)若一次函数 且对于任意的实数x，都有 直接写出m的取值范围.
20.已知：抛物线 过点 A(3,4).
(1)求抛物线的解析式.
(2)将抛物线 在直线y= 1下方的部分沿直线 l 翻折，图像其余的部分保持不变，得到的新函数图像记为G.点M(m，y )在图像G上，且.
①求m的取值范围；
②若点 也在图像G上，且满足. 恒成立，则k的取值范围为 .
21.请阅读下面材料：
若A(x ,y ),B(x ,y )是抛物线 上不同的两点，证明：直线 为此抛物线的对称轴.
有一种方法证明如下：
证明:∵ A(x ,y ),B(x ,y )是抛物线 上不同的两点，
且
①--②得
又∵ 抛物线 的对称轴为 直线 为此抛物线的对称轴.
(1)反之，如果M(x ,y ),N(x ,y )是抛物线 上不同的两点，直线 为该抛物线的对称轴，那么自变量取x ，x 时函数值相等吗 写出你的猜想，并参考上述方法写出证明过程.
(2)利用以上结论解答下面问题：已知二次函数 当x=4时的函数值与x=2007 时的函数值相等，求 x=2012时的函数值.
22.已知关于x的一元二次方程 有实数根，k为正整数.
(1)求 k 的值.
(2)当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数 的图像向下平移8 个单位，求平移后的函数解析式.
(3)在(2)的条件下，将平移后的二次函数的图像在x轴下方的部分沿x轴翻折，图像的其余部分保持不变，得到一个新的图像.请你结合这个新的图像回答：当直线 与此图像有两个公共点时，直接写出b的取值范围.
23.已知关于x的方程
(1)求证：无论m取任何实数时，方程总有实数根.
(2)求证：抛物线 总过x轴上的一个定点.
(3)若关于x的二次函数 的图像关于 y轴对称
①求这个二次函数的解析式；
②已知一次函数 证明：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值 均成立.
(4)在(3)的条件下，若二次函数 的图像经过点( ，且在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值 均成立.求二次函数 的解析式.
24.对于每个非零自然数n，抛物线 与 x轴交于 An、B,,两点，以AnBn表示这两点间的距离，则. 的值是( ).
25.函数 与y=x的图像如图22-2-4所示,有以下结论:①b -4c>0;②b+c+1=0;③3b+c+6=0;④当1A.1 B.2
C.3 D.4
26.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 (m≠0)与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B.
(1)求点 A、B的坐标.
(2)设直线l与直线AB 关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的解析式.
(3)若该抛物线在-2巅峰突破
27.若方程 的一个根大于1，另一个根小于1，则p+q的值为( ).
A.不大于1 B.大于1 C. 小于1 D.不小于1
28.已知二次函数 (其中a是正整数)的图像经过点 A(--1,4),点 B(2,1),并且与x轴有两个不同的交点，则b+c的最大值为 .
基础演练
1. A 2. C 3. D 4. k≤3
5.(1)k=-1;(2)k>-1;(3)k<-1.
6.(1)当k=2时,函数为y=-2x+3,图像与x轴有交点.
当k≠2时,△=4(k-1) -4(k-2)(k+1)=-4k+12.
当k≤3时，△≥0，此时抛物线与x轴有交点.
因此,k≤3时,函数. 的图像与x轴总有交点.
(2)关于z的方程去分母得:z-2=k+2z-6,k=4-z.
由于原分式方程有增根，其增根必为z=3.这时k=1.
这时函数为 它与 x轴的交点是(--2,0)和(2,0).
7.(1)它与x轴的交点的坐标为(-1,0),(3,0);
(2)图像略
(3)b的取值范围是-3≤b<1或
能力提升
8. D 9. C 10.(1)D (2)C 11. A 12. D 13.2015
14.(-1,0),(3,0) 15.①③④ 16.2
(2)3.
18.(1)∵二次函数 的图像与x轴交于点(x ,0)和(x ,0),
∴令.y=0,即
解得x=1或
(2)由 得
∴原式=
19.(1)∵抛物线 经过点(-1,3m+
(3)m的取值范围为 且 m≠0.
(2)①当y=0时,x -x-2=0.∴x=-1或2.∴抛物线与x轴交于点A(-1,0),B(2,0).
当y=-2时, )或1.∴抛物线与直线y=-2交于点 C(0,-2), D(1,-2).
∴C、D关于直线y=-1的对称点 C'(0,0),D'(1,0).
∴根据图像可得-1≤m≤0或1≤m≤2.
②k的取值范围为k≥4或k≤-4.
21.(1)结论:自变量取x ,x 时函数值相等.
证明:∵ M(x ,y ),N(x ,y )为抛物线 上不同的两点，
由题意得 且x ≠x .
①-②,得
∵直线 是抛物线 的对称轴，
,即y =y .
(2)∵ 二次函数 当x=4时的函数值与x= 2007时的函数值相等，
∴由阅读材料可知二次函数 的对称轴为直线
∴二次函数的解析式为
由(1)知,当x = 2012的函数值与x=-1时的函数值相等.
∵当x =-1时的函数值为(--1) -2011×(-1)-1=2011,∴当x = 2012时的函数值为 2011.
22.(1)由题意得,△=16-8(k-1)≥0.∴k≤3.∵k为正整数,∴k=1,2,3.
(2)当k=1时,方程 有一个根为零；当k=2时，方程 无整数根；
当k=3时，方程 有两个非零的整数根.
综上所述，k=3符合题意.
当k=3时，二次函数为 把它的图像向下平移8个单位得到的函数解析式为
或
23.(1)分两种情况:
当m=0时,原方程化为3x-3=0,解得x=1.
∴当m=0，原方程有实数根.
当m≠0时，原方程为关于x的一元二次方程，
∴原方程有两个实数根.
综上所述，m取任何实数时，方程总有实数根.
(2)令y=0,则 解得:x =
∴抛物线 总过x轴上的一个定点为(1，0)，如下图所示.
(3)①∵关于x的二次函数 3的图像关于y轴对称，∴对称轴为x=0
∴3(m-1)=0.∴m=1.∴抛物线的解析式为
(当且仅当x=1时，等号成立).
(4)由②知,当x=1时,y =y =0.∴y 、y 的图像都经过(1,0).
∵对于x的同一个值， 的图像必经过(1，0).
又‘ 经过(-5,0),∴y =a(x-1)(x+
设 2)x+(2-5a).
∵对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值 y ≥y ≥y 均成立,∴y —y ≥0,
又根据y 、y 的图像可得 a>0,
∴(3a-1) ≤0.而(3a-1) ≥0.只有3a-1=0,解得a= . 抛物线的解析式为
中考链接
24. D 25. B
26.(1)A(0,-2) B(1,0).
(2)∵点A(0,-2),B(1,0)关于对称轴x=1对称点的坐标为A'(2,-2),B'(1,0)
设直线l的解析式为y= kx+b(k≠0),则有:
解得：
∴直线l的解析式为y=-2x+2.
(3)∵抛物线的对称轴是x=1，抛物线在2∴抛物线与直线 l的交点横坐标为-1.
当x=-1时,y=4.
则抛物线过点(-1,4).
当x=-1时,m+2+m-2=4,∴m=2.
∴抛物线的解析式为
巅峰突破
27. B 28.-4.