22.1二次函数的图像和性质 培优训练（含答案）2024-2025学年人教版八年级数学上册

22.1二次函数的图像和性质
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二次函数的图像和性质 了解二次函数的意义；会用描点法画出二次函数的图像
能从图像上认识二次函数的性质；会根据二次函数的解析式求其图像与坐标轴 的交点坐标，会确定图像的顶点、开口方向和对称轴；能通过分析实际问题的情 境确定二次函数的表达式 ★★
能根据二次函数解决简单的实际问题；能解决二次函数与其他知识综合的有关问题 ★★★
二、核心纲要
1.二次函数的定义
一般地，形如 (a,b,c是常数，且. 的函数，叫做二次函数.
注：(1) 函数关系式必须是整式.
(2)自变量x的取值范围为全体实数，且最高次数是2.
(3)a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，写各项系数时包括它前面的符号.
(4)二次项系数a 不等于0.
2.二次函数解析式的表示方法
(1)一般式: a,b,c为常数，
(2)顶点式: (a,h,k)为常数， ，其中(h，k)为顶点坐标.
(3)交点式(两根式)： 是抛物线与x轴两交点的横坐标，即一元二次方程 的两个根，对称轴为
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.
3. 二次函数的图像和性质
(1)二次函数 和 的图像和性质
函数 y=ax (a≠0) y=ax +k(a≠0) y=a(x-h) (a≠0,h>0)
图像 a>0 a<0 a>0,k>0 a<0,k<0 a>0 a<0
性质 开口方向 向上 向下 向上 向下 向上 向下
对称轴 y:轴(x=0) y轴(x=0) y轴(x=0) y轴(x=0) x=h x=h
顶点坐标 (0,0) (0,0) (0,k) (0,k) (h,0) (h,0)
y 随 x 变化的趋势 当x>0时,y随x 的 增 大 而 增大;当x<0时,y随 x 的 增 大 而减小 当x>0时,y随x 的 增 大 而 减小;当x<0时,y随 x 的 增 大 而增大 当x>0时,y随x 的 增 大 而 增大;当x<0时,y随 x 的增大而减小 当x>0时,y随x 的 增 大 而 减小;当x<0时,y随 x 的 增 大 而增大 当x>h时,y随x 的 增 大 而 增大;当xh 时,y随x 的增大而减小;当x最大(小)值 当x=0时, y最小值=0 当x=0时, y最大值 =0 当x=0|时， y最小值=k 当x=0时, y最大值=k 当x=h时, y最小值=0 当x=h时,y最大值 =0
(2)二次函数 和 的图像和性质
函数 y=a(x-h) +k(a≠0) y=ax + bx+c(a≠0)
图像 a>0 a<0 a>0 a<0
性质 开口方向 向上 向下 向上 向下
对称轴 x=h x=h x=-b/2a x=-b/2a
顶点坐标 (h,k) (h,k) (一b ,4a=4a ) (-b ,4ac-b )
y随x 变化的趋势 当x>h时,y 随x 的增大而增大； 当xh时,y随x 的增大而减小； 当x-b/2a时，y随x的增大而增大； 当.x<-b/a时，y随x的增大而减小 当.x>-b/2a时,y随x的增大而减小； 当x<-b/2a时,y随x的增大而增大
最大(小)值 当x=h时,y最小值=k 当x=h时,y最大值=k 当x = - b/2a时, y最小值=4ac-b 当x=-b/2a时,y最大值=4ac-b
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4.二次函数解析式的确定
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况：
(1)已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式.
(2)已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值，一般选用顶点式.
(3)已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用交点式(两根式).
(4)已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式.
5.二次函数 (a，b，c为常数且a≠0)的图像与各项系数之间的关系
(1)二次项系数a：a的正负决定开口方向，|a|的大小决定开口的大小
①当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下；
②|a|越大，开口越小，|a|越小，开口越大.
(2)一次项系数b：在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴.若a>0，则
①当b>0时, 即抛物线的对称轴 在y轴左侧.
②当b=0时, 即抛物线的对称轴就是y轴.
③当b<0时, 即抛物线的对称轴 在y 轴的右侧.
注：“左同右异”，即当a、b同号时，对称轴在y轴的左侧；当a、b异号时，对称轴在y轴的右侧.
(3)常数项c：决定抛物线与y轴交点的位置
①当c>0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴的正半轴相交.
②当c=0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线经过原点.
③当c<0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴的负半轴相交.
总之，只要a，b，c都确定，那么这条抛物线的形状及在坐标平面中的位置就是唯一确定的.
6.抛物线的特殊位置与系数的关系
(1)顶点在x轴上< ; (2)顶点在 y轴上 b=0; (3)顶点在原点 b=c=0;
(4)抛物线经过原点 c=0.
7.二次函数图像的变换
(1)二次函数的平移变换，平移规律：“上加下减、左加右减”.
①一般式的平移
将抛物线 向上平移m 个单位，得
将抛物线 向下平移m 个单位，得
将抛物线 向左平移m个单位，得
将抛物线 向右平移m个单位，得
②顶点式的平移
将抛物线 向上平移m个单位，得
将抛物线 向下平移m个单位，得
将抛物线 向左平移m 个单位，得
将抛物线. 向右平移m个单位，得
(2)二次函数的对称变换
①关于x轴对称
抛物线 关于x 轴对称后，得到的抛物线是
抛物线 关于x 轴对称后，得到的抛物线是
②关于 y轴对称
抛物线 关于y轴对称后，得到的抛物线是
抛物线 关于y 轴对称后，得到的抛物线是
③关于原点对称
抛物线 关于原点对称后，得到的抛物线是
抛物线 关于原点对称后，得到的抛物线是
④关于顶点对称
抛物线 关于顶点对称后，得到的抛物线是
抛物线 关于顶点对称后，得到的抛物线是
*⑤关于点(m,n)对称
抛物线 关于点(m，n)对称后，得到的抛物线是
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此|a|永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时，一般先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式.
8.求抛物线 的顶点和对称轴的方法
(1)公式法: 的顶点是 对称轴是直线
(2)配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 的形式，得到顶点为(h，k)，对称轴是直线x=h.
(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴是抛物线与x轴的两交点所连线段的垂直平分线，对称轴与抛物线的交点是顶点.
9.求二次函数. 最值的方法
(1)若自变量x的取值范围是全体实数，则函数在顶点处取得最大值(或最小值)，即
①若a>0,当 时， ②若a<0,当 时，
(2)若自变量的取值范围是 且a>0.
①若 在自变量取值范围. 内，如下左图，当 时， 当 时，
②若 不在自变量取值范围 内，如下右图，当. 时， 当x 时，
(1)数形结合; (2)分类讨论.
本节重点讲解：一个定义，一个性质(二次函数的图像和性质)，一个关系(图像与系数之间的关系)，两个方法(求对称轴、顶点和最值的方法)，两个变换(平移和对称变换)，两个思想，三个形式(解析式的形式).
三、全能突破
基础演练
1.若 是二次函数,则m=( ).
A.7 B. -1 C.-1或7 D.以上都不对
2.(1)抛物线 的对称轴是直线( ).
A. x=-6 B. x=-1 C. x=1 D. x=6
(2)若抛物线 的顶点在x轴的下方，则a 的取值范围是( ).
A. a>1 B. a<1 C. a≥1 D. a≤1
(3)已知抛物线 与 x 轴交于 A(x ,0),B(3,0)两点,则线段 AB 的长度为( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
3.设A(-2,y ),B(1,y ),C(2,y )是抛物线. 上的三点,则y 、y 、y 的大小关系为( ).
4.(1)要得到. 的图像，需将抛物线 作如下平移( ).
A.向右平移3个单位，再向上平移4个单位 B.向右平移3个单位，再向下平移4个单位
C.向左平移3个单位，再向上平移4个单位 D.向左平移3个单位，再向下平移4个单位
(2)已知 的图像是抛物线，若抛物线不动，把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是( ).
A. y=2(x-2) +2 B. y=2(x+2) -2
(3)顶点为(-5，-1)，且开口方向、形状与函数 的图像相同的抛物线是( ).
5.二次函数 的最小值是 ，此时x= .
6.(1)请选择一组你喜欢的a、b、c的值，使二次函数. 的图像同时满足下列条件：
①开口向下，②当x<2时，y随x的增大而增大；当x>2时，y随x的增大而减小.这样的二次函数的解析式可以是 .
(2)二次函数 当x<--2时，y随x的增大而减小；当x>--2时，y随x的增大而增大，则当.x=--1时,y的值是 .
7.在同一平面直角坐标系中，一次函数 和二次函数 的图像可能为( ).
8.已知，图22-1-1所示是二次函数 的图像，判断以下各式的值是正数还是负数.
(1)a;(2)b;(3)c;(4)b -4ac;(5)2a+b;(6)a+b+c;(7)a-b+c.
9.根据给定条件求出下列二次函数解析式：
(1)已知二次函数图像的顶点是(-2，1)，且过点(
(2)已知二次函数 的图像过(
(3)二次函数 的图像经过点(0,-1),(3,2),(1,-2).
能力提升
10.如图22-1-2 所示,在 Rt△ABC 中,. ,动点 P 从点 A 出发,以每秒1cm的速度，沿A→B→C 的方向运动，到达点 C 时停止.设 ，运动时间为 t秒，则能反映y与t 之间函数关系的大致图像是( ).
11.如图22-1-3所示,抛物线 与 交于点 A(1,3),过点 A 作x 轴的平行线，分别交两条抛物线于点 B、C.则以下结论：①无论x取何值，y 的值总是正数.②a=1.③当x=0时,y -y =4.④2AB=3AC.其中正确结论是( ).
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
12.若二次函数 在--1≤x≤1的范围内至少有一个x的值使y≥0成立，则p的取值范围是( ).
A. p>2 B. p>0 C. p≤2 D.013.已知二次函数 若存在实数m，n使得当自变量x 的取值范围是m≤x≤n时，函数值y的取值范围恰好是3m≤y≤3n,则m= ,n= .
14.把抛物线 绕原点旋转180°得到抛物线C ，再绕抛物线 C 的顶点旋转180°，则所得新的抛物线解析式为 .
15.(1)抛物线 满足条件：(1)4a-b=0;(2)a-b+c>0;(3)与x轴有两个交点,且两交点间的距离小于2.以下有四个结论：(:①a<0;②c>0;③a+b+c<0; 其中所有正确结论的序号是 .
(2)已知二次函数 的图像与x 轴交于(1,0)和(x ,0),其中 ，与y轴交于正半轴上一点.下列结论：①b>0;②ac b ;③a>b;④-a16.如图22-1-4所示，在平面直角坐标系中，二次函数 的图像过正方形 ABOC的三个顶点A、B、C,则 ac的值是 .
17.阅读下面的材料：
小明在学习中遇到这样一个问题：若1≤x≤m，求二次函数 的最大值.如图22-1-5所示，画图研究后发现，x=1和x=5时的函数值相等，于是他认为需要对m进行分类讨论.
他的解答过程如下：
∵二次函数 的对称轴为直线x=3，
∴由对称性可知，x=1和x=5时的函数值相等.
∴若1≤m<5,则x=1时,y的最大值为2.
若m≥5,则x=m时,y的最大值为
请你参考小明的思路，解答下列问题：
(1)当-2≤x≤4时,二次函数 的最大值为 .
(2)若p≤x≤2,求二次函数 的最大值.
(3)若t≤x≤t+2时,二次函数 的最大值为31，则t的值为 .
18.已知二次函数
(1)随着 m的变化，该二次函数图像的顶点 P 是否都在某条抛物线上 如果是，请求出该抛物线的表达式；如果不是，请说明理由.
(2)如果直线 经过二次函数 图像的顶点 P，求此时m 的值.
19.已知抛物线 (其中
(1)求该抛物线与x轴的交点坐标及顶点坐标(可以用含k的代数式表示).
(2)若记该抛物线的顶点坐标为P(m，n)，直接写出|n|的最小值.
(3)将该抛物线先向右平移. 个单位长度，再向上平移 个单位长度，随着k的变化，平移后的抛物线的顶点都在某个新函数的图像上，求这个新函数的解析式(不要求写自变量的取值范围).
20.二次函数 的图像的顶点在第一象限，且过点(--1，0).设t= 则t值的变化范围是( ).
A.021.如图22-1-6所示,已知抛物线 与y=2x交于点O(0,0),A(a,12).点 B是抛物线上OA 之间的一个动点，过点 B分别作x轴、y轴的平行线与直线AO 交于点C、E，
(1)求抛物线的函数解析式.
(2)若点 C 为OA 的中点,求 BC 的长.
(3)以 BC、BE 为边构造矩形BCDE,设点 D 的坐标为(m,n),求出m、n之间的关系式.
22.我们知道，经过原点的抛物线解析式可以是
(1)对于这样的抛物线：
当顶点坐标为(1，1)时，
当顶点坐标为(m，m)，m≠0时，a与m之间的关系式是 .
(2)继续探究：如果 ，且过原点的抛物线顶点在直线 上，请用含 k 的代数式表示b.
(3)现有一组过原点的抛物线，顶点. 在直线. 上，横坐标依次为1，2，…，n(n为正整数，且 ，分别过每个顶点作x轴的垂线，垂足记为 以线段 为边向右作正方形 若这组抛物线中有一条经过点 ，求所有满足条件的正方形的边长.
巅峰突破
23.不论m 取任何实数，抛物线 的顶点都在一条直线上，则这条直线的解析式为 .
24.设a,b,c是 的三边长，二次函数 在 时取最小值 则 是( ).
A.等腰三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形
基础演练
1. A 2.(1)A (2)B (3)D 3. A
4.(1)D (2)B (3)C 5.-4;1
6.(1)答案不唯一,只要满足对称轴是x=2,a<0. (2)-7
7. A
8.(1)负;(2)正;(3)正;(4)正;(5)负;(6)正;(7)负
能力提升
10. A 11. D 12. C 13.-4,0 14. y=2x +4x+9
15.(1)②④ (2)②④ 16.-2
17.(1)49
(2)∵二次函数 的对称轴为直线x=-1，∴由对称性可知，当x=-4和x=2时函数值相等.
∴若p≤-4,则当x=p时,y的最大值为: 若-4(3)1或-5.
18.(1)由已知得. ,顶点坐标P(-m- .令-m-1=x.将m=-x-1代入. 3m,得:
故抛物线的表达式是
(2)如果顶点. 在直线y=x+1上,则
即 故m=0或m=-2.
19.(1)令y=0,则 .整理,得 (x+1)( kx-2)=0.解得
∴该抛物线与x轴的交点坐标为((--1,0),( /k,0).
抛物线 的顶点坐标为
(2)|n|的最小值为2.
(3)平移后抛物线的顶点坐标为
由 可得
∴所求新函数的解析式为
中考链接
20. B
(2)∵点C是OA的中点,∴点C的坐标为(3,6).把y=6代入 解得 (舍去).
(3)∵点D的坐标为(m,n),∴点E的坐标为( 点C的坐标为(m,2m).∴点 B 的坐标为 把 代入 得
∴m、n之间的关系式为
或 am+1=0);
∴顶点坐标为
∵顶点在直线y= kx上,
∵b≠0,∴b=2k.
(3)∵顶点 An在直线y=x上,
∴可设 An的坐标为(n，n)，点 Dn所在的抛物线顶点坐标为(t,t).
由(1)(2)可得，点Dn所在的抛物线解析式为
∵四边形AnBnCnDn是正方形,
∴点 Dn的坐标为(2n,n).
∵t、n是正整数,且t≤12,n≤12,∴n=3,6或9.
∴满足条件的正方形边长为3，6或9
巅峰突破
23. y=-x-1 24. D