四川省阆中中学校2024年秋高2022级入学考试
数 学 试 题
（满分：150分 时间：120分钟）
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 若集合，集合，则=（ ）
A. B.
C. D.
2. 命题“”的否定形式是（ ）
A. B.
C. D.
3. 下列不等式正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
4. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A. B. C. D.
5. “”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6. 已知，且，则的最小值为（ ）
A.4 B.5 C.7 D.9
已知定义在上的函数对任意的实数都有，则
（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，若，，使得
，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分.）
9. 已知函数，下列关于函数的结论正确的是（ ）
A.的定义域是 B.的值域是
C.若，则 D.的图象与直线有一个交点
10. 已知关于不等式的解集为，则（ ）
A.
B.点在第二象限
C.的最大值为
D.关于的不等式的解集为
11. 已知，则下列关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 若函数，则__________ .
13. 已知实数满足，且，若关于的不等式
恒成立，则实数的取值范围是__________ .
定义：如果在函数定义域内的给定区间上存在，满足
，则称函数是上的“平均值函数”，是它的一
个均值点，如是上的平均值函数，就是它的均值点，现有函数
是上的平均值函数，则实数的取值范围是__________ .
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15. 如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形，点为
边上一点，，．
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值．
16. 数列的前项和为，且满足.
（1）求的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，若对任意的
恒成立，求的取值范围.
17. 健身运动可以提高心肺功能，增强肌肉力量，改善体态和姿势，降低患病风险.这些
好处吸引着人们利用空闲的时间投入到健身运动中，以改善自己的身体状况，增强
一下体质.某兴趣小组为了解本市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机抽取
200人进行调査，得到如下列联表：
年龄 周平均锻炼时长 合计
周平均锻炼时间 少于4小时 周平均锻炼时间 不少于4小时
50岁以下 40 60 100
50岁以上（含50） 25 75 100
合计 65 135 200
（1）试根据小概率值的独立性检验，分析周平均钹炼时长是否与年龄
有关？精确到0.001；
（2）现从50岁以下的样本中按周平均锻炼时间是否少于4小时，用分层随机抽样
法抽取10人做进一步访谈，再从这10人中随机抽取5人填写调査问卷.记抽取
5人中周平均锻炼时间不少于4小时的人数为，求的分布列和数学期望.
参考公式及数据：，其中.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
18. 已知椭圆C：（），，，，四点中恰有三点在椭圆上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过右焦点且斜率为1的直线交椭圆于，两点，点为直线上
任意一点，求证：直线，，的斜率成等差数列．
19. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形
面积；
（2）讨论函数的零点个数.四川省阆中中学校2024年秋高2022级入学考试
数学参考答案
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D D C B C C B
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正
确选项，每选对一个得2分.）
题号 9 10 11
答案 BCD ACD AD
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 13. 14.
15.（1）如图所示，连接，，
因为底面为正方形，所以，
因为底面，底面，所以，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以，
由题得，且，，平面，
则平面，又平面，
所以平面平面；
（2）如图，以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，点竖直向上方向所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
，，，，，
因为，
所以由勾股定理可得，
即①，
且②，
联立①②两式，可得，点为上靠近点的三等分点，
所以，，，由题意可知，是平面的一个法向量，设平面的一个法向量为，
有，令，则，
所以平面的一个法向量为，设二面角为，
则，所以二面角的余弦值为．
16.解：（1）当时，由，解得.
当时，，两方程相减得，即
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以.
（2）由（1）知，
所以，
，
上面两方程相减得，
所以，即.
因为，所以是单调递增数列，当时，
所以，，因为对任意的恒成立，所以，解得，即的取值范围为.
17.解（1）零假设周平均锻炼时长与年龄无关联.
由列联表中的数据，可得
.根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为周平均锻炼时长与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05.
由列联表中的数据计算，50岁以下周平均锻炼时长少于4小时和不少于4小时的频率分别为
和
由列联表中的数据计算，50岁以上（含50）周平均锻炼时长少于4小时和不少于4小时的频率分别为
因为，所以50岁以上（含50）周平均锻炼时长不少于4小时的比率比50岁以下高出15个百分点，所以50岁以下和50岁以上（含50）周平均锻炼时长有差异.
（2）抽取的10人中，周平均锻炼时长少于4小时的有人，不少于4小时的有人，
则所有可能的取值为
因为；
所以随机变量的分布列为：
1 2 3 4 5
随机变量的数学期望
18.（1）根据椭圆的对称性，必过点，点，必不过点，
代入点得，，代入点得，，
∴椭圆的标准方程为：；
（2）证明：设，，，
设直线的方程为：，
由，得，
，，，
，因为，所以，
所以直线，，的斜率成等差数列．
19.（1）当时，，求导得，则，而，
于是曲线在点处的切线为，即，
直线交轴于点，交于点，
所以曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积.
（2）函数的定义域为，
求导得，
当时，则，函数在上单调递减，
显然，当时，，，
则，，，
于是，因此函数有唯一零点；
若，由得，
当时，，当时，，
则在单调递减，在单调递增，，
显然函数在上单调递增，
当时，，函数无零点；
当时，，函数有唯一零点；
当时，，当时，，，
则，，，于是，函数在上有一个零点，
当时，显然，，
，
因此，令，求导得，
即在上单调递增，，于是，
从而函数在上有一个零点，
于是当时，函数有两个零点，
所以当或时，函数有1个零点；
当时，有两个零点；
当时，无零点.
