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第二部分 平行线6大模型
模型01 “铅笔头”模型
1.已知，射线FG分别交射线AB、DC于点F、G，点E为射线FG上一点．
（1）如图1，若∠A+∠D＝∠AED，求证：AB∥CD．
（2）如图2，若AB∥CD，求证：∠A﹣∠D＝∠AED．
（3）如图3，在（2）的条件下，DI交AI于点Ⅰ，交AE于点K，∠EDI＝∠CDE，
∠BAI＝∠EAI，∠I＝∠AED＝25°，求∠EKD的度数．
【答案】（1）（2）证明见解析；
（3）95°．
【解答】（1）证明：如图所示：过点E作EH∥AB，
∴∠A＝∠AEF，
∵∠A+∠D＝∠AED，∠AED＝∠AEF+∠DEF，
∴∠D＝∠DEF，
∴EF∥CD，
∴AB∥CD；
（2）证明：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠EHG，
∵∠EHG＝∠D+∠AED，
∴∠A＝∠D+∠AED，
∴∠A﹣∠D＝∠AED；
（3）解：设AE与CD交于点H，∠EAI＝x，则∠BAI＝，，
∵AB∥CD，
∴∠EHC＝∠EAB＝，
∵∠I＝∠AED＝25°，∠EKI＝∠EAI+∠I＝∠EDI+∠AED，
∴x+25°＝∠EDI+25°，
∴∠EDI＝x，
∵∠EDI＝∠CDE，
∴∠CDI＝，
∵∠CHE＝∠CDE+∠AED，
∴，
解得：x＝60°，
∴∠EKD＝∠AKI＝180°﹣∠EAI﹣∠I
＝180°﹣60°﹣25°
＝95°．
2.如图，已知直线a∥b，∠BAC＝90°，∠1＝40°，则∠2的度数为（ ）
A．40° B．50° C．130° D．140°
【答案】B
【解答】解：如图，
∵∠1+∠3+90°＝180°，∠1＝40°，
∴∠3＝50°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠3，
∴∠2＝50°，
故选：B．
3.如图，已知a∥b，∠1＝45°，∠2＝125°，则∠ABC的度数为（ ）
A．100° B．105° C．115° D．125°
【答案】A
【解答】解：解法一：如图，过点B作DE∥a，
∴∠DBA＝∠1＝45°，
∵a∥b，DE∥a，
∴DE∥b，
∴∠2+∠DBC＝180°，
∴∠DBC＝180°﹣∠2＝180°﹣125°＝55°，
∴∠ABC＝∠DBA+∠DBC＝45°+55°＝100°．
解法二：如图，延长AB交b于点F，
∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝45°，
∵∠2＝125°，
∵∠2＝∠3+∠CBF，
∴∠CBF＝∠2﹣∠3＝125°﹣45°＝80°，
∴∠ABC＝180°﹣∠CBF＝180°﹣80°＝100°．
故选：A．
4.如图，AB∥CD，∠C＝110°，∠B＝120°，则∠BEC＝（ ）
A．110° B．120° C．130° D．150°
【答案】C
【解答】解：∵过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠1+∠B＝180°，∠2+∠C＝180°，
∵∠C＝110°，∠B＝120°，
∴∠1＝60°，∠2＝70°，
∴∠BEC＝∠1+∠2＝130°．
故选：C．
5.已知直线MN∥PQ，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN和PO之间．
（1）如图1，求证：∠CAB﹣∠MCA＝∠PBA；
（2）如图2，CD∥AB，点E在直线PQ上，且∠MCA＝∠DCE，求证：∠ECN＝∠CAB；
（3）如图3，BF平分∠PBA，CG平分∠ACN，且AF∥CG．若∠CAB＝50°，直接写出∠AFB的度数．
【答案】（1）见解答．
（2）见解答．
（3）115°．
【解答】（1）证明：过点A作AH∥MN，如图：
∴AH∥MN∥PQ，
∴∠MCA＝∠CAH，∠PBA＝∠BAH，
∴∠CAB＝∠CAH+∠BAH＝∠MCA+∠PBA，
∴：∠CAB﹣∠MCA＝∠PBA．
（2）证明：∵∠MCA＝∠DCE．
∴∠ACD＝∠MCE，
∵CD∥AB，
∴∠CAB+∠ACD＝180°，
∴∠CAB＝180°﹣∠ACD＝180°﹣∠MCE，＝∠ECN，
∴∠ECN＝∠CAB．
（3）解：∵AF∥CG．
∴∠GCA+∠FAC＝180°，
∵∠CAB＝50°，
∴∠GCA+∠CAB+∠FAC＝180°，
∴∠FAB＝130°﹣∠GCA，
∵BF平分∠PBA，CG平分∠ACN，
∴∠ACN＝2∠GCA，∠ABP＝2∠ABF，
又∵∠MCA＝180°﹣∠ACN，
∴∠CAB＝180°﹣2∠GCA+2∠ABF＝50°，
∴∠GCA﹣∠ABF＝65°，
∵∠ABF+∠AFB+∠FAB＝180°，
∴∠AFB＝180°﹣∠ABF﹣∠FAB
＝180°﹣（130°﹣∠GCA）﹣∠ABF
＝50°+∠GCA﹣∠ABF
＝50°+65°＝115°．
∴∠AFB＝115°．
模型02 “猪蹄”模型（M模型）
1.如图，直线AB∥CD，连接EF，直线AB，CD及线段EF把平面分成①②③④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点G落在某个部分时，连接GE，GF，构成∠EGF，∠GEB，∠GFD三个角．
（1）当动点G落在第③部分时，如图一，试说明：∠EGF，∠GEB，∠GFD三者的关系；
（2）当动点G落在第②部分时，如图二，思考（1）中三者关系是否仍然成立若不成立，说明理由．
【答案】（1）∠EGF＝∠GEB+∠GFD，理由见解答；
（2）（1）中三者关系不成立，理由见解答．
【解答】解：（1）∠EGF＝∠GEB+∠GFD，
理由：过点G作GM∥AB，
∴∠GEB＝∠EGM，
∵AB∥CD，
∴CD∥GM，
∴∠GFD＝∠FGM，
∵∠EGF＝∠EGM+∠FGM，
∴∠EGF＝∠GEB+∠GFD；
（2）（1）中三者关系不成立，
理由：过点G作GN∥AB，
∴∠GEB+∠EGN＝180°，
∵AB∥CD，
∴CD∥GN，
∴∠GFD+∠FGN＝180°，
∴∠GEB+∠EGN+∠FGN+∠GFD＝360°，
即∠GEB+∠EGF+∠GFD＝360°．
2.如图，直线AB∥CD，将一个含60°角的直角三角尺EGF按图中方式放置，点E在AB上，边GF，EF分别交CD于点H，K，若∠BEF＝64°，则∠GHC等于（ ）
A．44° B．34° C．24° D．14°
【答案】B
【解答】解：因为AB∥CD，且∠BEF＝64°，
所以∠DKF＝∠BEF＝64°．
又三角形EFG为直角三角形，且∠G＝90°，∠GEF＝60°，
所以∠F＝30°．
所以∠KHF＝64°﹣30°＝34°．
又∠GHC＝∠KHF，
所以∠GHC＝34°．
故选：B．
3.如图，已知AB∥DE，∠B＝20°，∠D＝130°，那么∠BCD等于（ ）
A．60° B．70° C．80° D．90°
【答案】B
【解答】解：过点C作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴AB∥DE∥CF；
∴∠B＝∠BCF，∠FCD+∠D＝180°，
∴∠BCD＝180°﹣∠D+∠B＝180°﹣130°+20°＝70°．
故选：B．
4.如图，AB∥CD，将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°．下列结论：①GE∥MP；②∠EFN＝150°；③∠BEF＝65°；④∠AEG＝35°，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
∴∠HFN＝∠MNP＝45°，
∴∠EFH＝∠EFN﹣∠HFN＝105°，
∴∠BEF＝180°﹣∠EFH＝75°，故③错误；
④∵∠GEF＝60°，∠BEF＝【解答】解：①由题意得：∠G＝∠MPN＝90°，
∴GE∥MP，故①正确；
②由题意得∠EFG＝30°，
∴∠EFN＝180°﹣∠EFG＝150°，故②正确；
③过点F作FH∥AB，如图，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFH＝180°，FH∥CD，
75°，
∴∠AEG＝180°﹣∠GEF﹣∠BEF＝45°，故④错误．
综上所述，正确的有2个．
故选：B．
5.【问题背景】：同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．
【问题探究】：（1）如图1，AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接BE、DE，得到∠BED与∠B、∠D之间的数量关系，并说明理由；
【类比迁移】：（2）请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题：如图2，直线AB∥CD，若∠B＝23°，∠G＝35°，∠D＝25°，求∠BEG+∠GFD的度数；
【灵活应用】：（3）如图3，直线AB∥CD，若∠E＝∠B＝60°，∠F＝85°，则∠D＝ 25 度．
【答案】（1）∠BED＝∠B+∠D，理由见解答；
（2）∠BEG+∠GFD的度数为83°；
（3）25．
【解答】解：（1）∠BED＝∠B+∠D，
理由：过点E作EP∥AB，
∴∠B＝∠BEP，
∵AB∥CD，
∴CD∥EP，
∴∠D＝∠DEP，
∵∠BED＝∠BEP+∠DEP，
∴∠BED＝∠B+∠D；
（2）过点G作GM∥AB，
由（1）可得：∠BEG＝∠B+∠EGM，
∵AB∥CD，
∴GM∥CD，
由（1）可得：∠GFD＝∠D+∠FGM，
∵∠B＝23°，∠EGF＝35°，∠D＝25°，
∴∠BEG+∠GFD＝∠B+EGM+∠D+∠FGM
＝∠B+∠D+∠EGF
＝23°+25°+35°
＝83°，
∴∠BEG+∠GFD的度数为83°；
（3）如图：
∵∠B＝60°，∠F＝85°，
∴∠BNF＝180°﹣∠B﹣∠F＝35°，
∴∠ANE＝∠BNF＝35°，
∵AB∥CD，
∴由（1）可得：∠DEN＝∠ANE+∠D，
∴∠D＝∠DEN﹣∠ANE＝60°﹣35°＝25°，
故答案为：25．
6.如图1，直线AB∥CD，P是截线MN上的一点．
（1）若∠MNB＝45°，∠MDP＝20°，求∠MPD；
（2）如图1，当点P在线段MN上运动时，∠CDP与∠ABP的平分线交于Q，问是否为定值，若是定值，请求出；若不是定值，请说明理由；
（3）如图2，若T是直线MN上且位于M点的上方的一点，如图所示，当点P在射线MT上运动时，∠CDP与∠ABP的平分线交于Q，问的值是否和（2）问中的情况一样呢？请你写出探究过程，说明理由．
【答案】（1）∠MPD的度数25°；
（2）是定值，＝；
（3）是定值，＝．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，∠MNB＝45°，
∴∠DMP＝180°﹣∠MNB＝135°，
∵∠MDP＝20°，
∴∠MPD＝180°﹣∠DMP﹣∠MDP＝25°，
∴∠MPD的度数为25°；
（2）是定值，
理由：过点P作PG∥CD，
∴∠CDP＝∠DPG，
∵CD∥AB，
∴PG∥AB，
∴∠ABP＝∠BPG，
∵∠DPB＝∠DPG+∠BPG，
∴∠DPB＝∠CDP+∠ABP，
同理可得：∠Q＝∠CDQ+∠ABQ，
∵DQ平分∠CDP，BQ平分∠ABP，
∴∠CDQ＝∠CDP，∠ABQ＝∠ABP，
∴∠Q＝∠CDQ+∠ABQ
＝∠CDP+∠ABP
＝（∠CDP+∠ABP）
＝∠DPB，
∴＝；
（3）是定值，
理由：过点P作PG∥CD，
∴∠CDP＝∠DPG，
∵CD∥AB，
∴PG∥AB，
∴∠ABP＝∠BPG，
∵∠DPB＝∠BPG﹣∠DPG，
∴∠DPB＝∠ABP﹣∠CDP，
同理可得：∠Q＝∠ABQ﹣∠CDQ，
∵DQ平分∠CDP，BQ平分∠ABP，
∴∠CDQ＝∠CDP，∠ABQ＝∠ABP，
∴∠Q＝∠ABQ﹣∠CDQ
＝∠ABP﹣∠CDP＝（∠ABP﹣∠CDP）＝∠DPB，
∴＝．
6.（1）小亮同学遇到这样一个问题：已知：如图甲，AB∥CD，E为直线AB，CD之间一点，连接BE、DE得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D．下面是小亮写出了该问题的证明，请你帮他把证明过程补充完整．
证明：过点E作EF∥AB，
则有∠BEF＝ ∠B ，
∵AB∥CD，
∴ CD ∥EF，
∴∠FED＝ ∠D ，
∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．
（2）请你参考小亮思考问题的方法，解决问题：如图乙，直线a∥b，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BED的度数，（温馨提示：过点E作EF∥AB）
【答案】（1）∠B，CD，∠D；
（2）∠BED＝55°．
【解答】（1）证明：过点E作EF∥AB，
则有∠BEF＝∠B，
∵AB∥CD，
∴CD∥EF，
∴∠FED＝∠D，
∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D，
故答案为：∠B，CD，∠D；
（2）解：如图乙，过点E作EF∥AB，
∴∠BEF＝∠ABE，
∵a∥b，即AB∥CD，
∴CD∥EF，
∴∠DEF＝∠CDE，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝∠ABE+∠CDE，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠ABE＝∠ABC，∠CDE＝∠ADC，
又∵∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，
∴∠ABE＝25°，∠CDE＝30°，
∴∠BED＝∠ABE+∠CDE＝25°+30°＝55°．
模型03 “臭脚”模型
1.如图，∠ABE+∠BED＝∠CDE．
（1）如图1，求证AB∥CD；
（2）如图2，点P在AB上，∠CDP＝∠EDP，BF平分∠ABE，交PD于点F，探究∠BFP，∠BED的数量关系，并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，如图3，PQ交ED延长线于点Q，∠DPQ＝2∠APQ，∠PQD＝80°，求∠CDE的度数．
【答案】（1）答案见解答过程；
（2）∠BED＝2∠BFP，理由见解答过程；
（3）120°．
【解答】（1）证明：延长CD交BE于点H，
∴∠CDE＝∠DHE+∠BED，
∵∠ABE+∠BED＝∠CDE，
∴∠DHE＝∠ABE，
∴AB∥CD，
（2）解：∠BFP，∠BED的数量关系是：∠BED＝2∠BFP，理由如下：
设∠EBF＝α，∠CDP＝β，
∵BF平分∠ABE，∠CDP＝∠EDP，
∴∠EBF＝∠ABF＝α，∠CDP＝∠EDP＝β，
∴∠PBE＝2∠EBF＝2α，
由（1）可知：AB∥CD，
∴∠DPB＝∠CDP＝β，
∴∠APD＝180°﹣∠∠DPB＝180°﹣β，
∵∠APD＝∠ABF+∠BFP，
∴180°﹣β＝α+∠BFP，
∴∠BFP＝180°﹣（α+β），
由四边形的内角和等于360°得：∠BED+∠EDP+∠DPB+∠PBE＝360°，
即：∠BED+β+β+2α＝360°，
∴∠BED＝360°﹣2（α+β），
∴∠BED＝2∠BFP．
（3）解：设∠APQ＝θ，
∴∠DPQ＝2∠APQ＝2θ，
∴∠APD＝∠APQ+∠DPQ＝3θ，
由（1）可知：AB∥CD，
∴∠CDP+∠APD＝180°，
∴∠CDP＝180°﹣∠APD＝180°﹣3θ，
∵∠PQD＝80°，
∴∠EDP＝∠PQD+∠DPQ＝80°+2θ，
∵∠CDP＝∠EDP，
∴180°﹣3θ＝80°+2θ，
解得：θ＝20°，
∴∠CDP＝180°﹣3θ＝120°，∠EDP＝80°+2θ＝120°，
根据周角的定义得：∠CDE+∠CDP+∠EDP＝360°，
∴∠CDE＝360°﹣（∠CDP+∠EDP）＝360°﹣（120°+120°）＝120°．
2.已知AB∥CD．
（1）如图1，求证：∠ABE+∠DCE﹣∠BEC＝180°；
（2）如图2，∠DCE的平分线CG的反向延长线交∠ABE的平分线BF于F．若BF∥CE，∠BEC＝26°，求∠BFC．
【答案】（1）详见解析；
（2）103°．
【解答】（1）证明：如图，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴DC∥EF，
∴∠B＝∠BEF，∠C+∠CEF＝180°，
∴∠C+∠B＝∠BEC＝180°，
即：∠ABE+∠DCE﹣∠BEC＝180°；
（2）解：∵FB∥CE，
∴∠FBE＝∠BEC＝26°，
∵BF平分∠ABE，
∴∠ABE＝2∠FBE＝52°，
由（1）得：∠DCE＝180°﹣∠ABE+∠BEC＝180°﹣52°+26°＝154°，
∵CG平分∠ECD，
∴∠DCG＝77°，
过点F作FN∥AB，如图：
∵AB∥CD，
∴FN∥CD，
∴∠BFN＝∠ABF＝26°，∠NFC＝∠DCG＝77°，
∴∠BFC＝∠BFN+∠NFC＝103°．
模型04 “骨折”模型
1.已知AB∥CD，点E在AB上，点F在DC上，点G为射线EF上一点．
（1）【基础问题】如图1，试说明：∠AGD＝∠A+∠D．（完成图中的填空部分）证明：过点G作直线MN∥AB，
又∵AB∥CD，
∴ MN ∥CD
∵MN∥AB，
∴∠ A ＝∠MGA．
∵MN∥CD，
∴∠D＝ DGM （ 两直线平行，内错角相等 ）
∴∠AGD＝∠AGM+∠DGM＝∠A+∠D．
（2）【类比探究】如图2，当点G在线段EF延长线上时，请写出∠AGD、∠A、∠D三者之间的数量关系，并说明理由．
（3）【应用拓展】如图3，AH平分∠GAE，DH交AH于点H，且∠GDH＝2∠HDF，∠HDF＝22°，∠H＝32°，直接写出∠DGA的度数为°．
【答案】（1）MN；∠A；∠DGM；两直线平行，内错角相等；
（2）∠AGD＝∠A﹣∠D．理由见解析；
（3）42°．
【解答】解：（1）过点G作直线MN∥AB，
又∵AB∥CD，
∴MN∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行），
∵MN∥AB，
∴∠A＝∠AGM（两直线平行，内错角相等），
∵MN∥CD，
∴∠D＝∠DGM（两直线平行，内错角相等），
∴∠AGD＝∠AGM+∠DGM＝∠A+∠D．
故答案为：MN；∠A；∠DGM；两直线平行，内错角相等．
（2）如图所示，过点G作直线MN∥AB，
又∵AB∥CD，
∴MN∥CD，
∵MN∥AB，
∴∠A＝∠AGM，
∵MN∥CD，
∴∠D＝∠DGM，
∴∠AGD＝∠AGM﹣∠DGM＝∠A﹣∠D．
（3）如图所示，过点G作直线MN∥AB，过点H作直线PQ∥AB，
又∵AB∥CD，
∴MN∥CD，PQ∥CD
∵MN∥AB，PQ∥AB，
∴∠BAG＝∠AGM，∠BAH＝∠AHP，
∵MN∥CD，PQ∥CD，
∴∠CDG＝∠DGM，∠CDH＝∠DHP，
∵∠GDH＝2∠HDC，∠HDC＝22°，∠AHD＝32°，
∴∠GDH＝44°，∠DHP＝22°，
∴∠CDG＝66°，∠AHP＝54°，
∴∠DGM＝66°，∠BAH＝54°，
∵AH平分∠GAE，
∴∠BAG＝2∠BAH＝108°，
∴∠AGM＝108°，
∴∠AGD＝∠AGM﹣∠DGM＝42°．
2.如图（1），AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°，求∠EPF的度数．小明想到了以下方法：
解：如图（1），过点P作PM∥AB，
∴∠1＝∠AEP＝40°（两直线平行，内错角相等）
∵AB∥CD（已知）
∴PM∥CD（平行于同一条直线的两直线平行）
∴∠2+∠PFD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠PFD＝130°（已知）
∴∠2＝180°﹣130°＝50°
∴∠EPF＝∠1+∠2＝40°+50°＝90°
即∠EPF＝90°
【探究】如图（2），AB∥CD，∠AEP＝50°，∠PFC＝120°，求∠EPF的度数．
【应用】如图（3），在【探究】的条件下，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，求∠G的度数．
【答案】[探究]70°；
[应用]35°．
【解答】[探究]如图②，过点P作PM∥AB，
∴∠MPE＝∠AEP＝50°（两直线平行，内错角相等）
∵AB∥CD（已知），
∴PM∥CD（平行于同一条直线的两直线平行），
∴∠PFC＝∠MPF＝120°（两直线平行，内错角相等）．
∴∠EPF＝∠MPF﹣∠MPE＝120°﹣50°＝70°（等式的性质）．
[应用]如图③所示，
∵EG是∠PEA的平分线，FG是∠PFC的平分线，
∴∠AEG＝AEP＝25°，∠GFC＝PFC＝60°，
过点G作GM∥AB，
∴∠MGE＝∠AEG＝25°（两直线平行，内错角相等）
∵AB∥CD（已知），
∴GM∥CD（平行于同一条直线的两直线平行），
∴∠GFC＝∠MGF＝60°（两直线平行，内错角相等）．
∴∠EGF＝∠MGF﹣∠MGE＝60°﹣25°＝35°．
模型05 平行线中翻折求角度模型
1．（2022春 大渡口区期末）如图，长方形纸片ABCD中，AB，DC边上分别有点E，F，将
长方形纸片ABCD沿EF翻折至同一平面后，点A，D分别落在点G，H处．若∠GEB＝28°，
则∠DFE的度数是（ ）
A．75° B．76° C．77° D．78°
【答案】B
【解答】解：延长AB，FH交于点P，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠P＝∠PFC，
由题意得：
GE∥FH，
∴∠GEB＝∠P，
∴∠GEB＝∠PFC＝28°，
∴∠DFH＝180°﹣∠PFC＝152°，
由折叠得：
∠DFE＝∠EFH＝∠DFH＝76°，
故选：B．
2．（2022春 潍坊期中）将一张边沿互相平行的纸条如图折叠后，若边AD∥BC，则翻折角∠1与∠2一定满足的关系是（ ）
A．∠1＝2∠2 B．∠1+∠2＝90°
C．∠1﹣∠2＝30° D．2∠1﹣3∠2＝30°
【答案】B
【解答】解：如图所示：
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝2∠2，
即180°﹣2∠1＝2∠2，
∴∠1+∠2＝90°，
故选：B．
3．（2021春 工业园区校级月考）如图，将一张长方形的纸片沿折痕EF翻折，使点C、D分别落在点M、N的位置，且∠BFM＝∠EFM，则∠AEN的度数为（ ）
A．45° B．36° C．72° D．18°
【答案】B
【解答】解：设∠MFB＝x°，则∠MFE＝∠CFE＝2x°，
∵x+2x+2x＝180，
∴x＝36，
∴∠MFE＝72°＝∠CFE，
∵AD∥BC，
∴∠AEF＝∠CFE＝72°，
又∵NE∥MF，
∴∠AEN＝180°﹣72°﹣72°＝36°．
故选：B．
4．（2020春 长岭县期末）如图，四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B的度数是（ ）
A．80° B．100° C．90° D．95°
【答案】D
【解答】解：∵MF∥AD，FN∥DC，
∴∠BMF＝∠A＝100°，∠BNF＝∠C＝70°，
∵△BMN沿MN翻折得△FMN，
∴∠BMN＝∠BMF＝×100°＝50°，
∠BNM＝∠BNF＝×70°＝35°，
在△BMN中，∠B＝180°﹣（∠BMN+∠BNM）＝180°﹣（50°+35°）＝180°﹣85°＝95°；
故选：D．
5．（2016秋 新区期中）如图，四边形ABCD，AD∥BC，∠A＝∠D＝90°，E为AD中点，将点D绕着CE翻折到点D’处，连接BE，记∠AED’＝α，∠ABE＝β，则α与β之间的数量关系为（ ）
A．α＝β B．α＝2β C．α+β＝90° D．α+2β＝180°
【答案】B
【解答】解：∵E为AD中点，
∴AE＝ED，
在△BAE和△CDE中
∵，
∴△BAE≌△CDE（SAS），
∴∠ABE＝∠ECD，
∵将点D绕着CE翻折到点D′处，
∴∠ECD＝∠D′CE，∠D′EC＝∠DEC，
∵∠AED′＝α，∠ABE＝β，
∴∠ECD＝β，
∴∠DEC＝∠D′EC＝90°﹣β，
∴∠DED′＝180°﹣2β，
∵∠AED′＝180°﹣（180°﹣2β）＝α，
∴α＝2β．
故选：B．
6．（2022春 武隆区校级期中）如图所示，△ABC中∠C＝80°，AC边上有一点D，使得∠A＝∠ABD，将△ABC沿BD翻折得△A'BD，此时A'D∥BC，则∠ABC＝ 度．
【答案】75
【解答】解：∵A'D∥BC
∴∠CBA′＝∠A′．
∵△ABD沿BD翻折得△A'BD，
∴∠A＝∠A′，∠ABD＝∠A′BD．
∵∠A＝∠ABD，
∴∠CBA′＝∠A′BD＝∠ABD＝∠A．
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴∠A+3∠A＝100°．
∴∠A＝25°．
∴∠ABC＝75°．
故答案为：75．
7．（2022秋 沙坪坝区校级期末）如图，将长方形ABCD沿EF翻折，使得点D落在AB边上的点G处，点C落在点H处，若∠1＝32°，则∠2＝ ．
【答案】106°
【解答】解：由翻折的性质可知：∠DEF＝∠GEF，
∵∠1＝32°，
∴∠DEF＝∠GEF＝74°，
∴∠AEF＝∠1+∠GEF＝32°+74°＝106°，
∵AD∥BC，
∴∠AEF＝∠2＝106°，
故答案为：106°．
8．（2022秋 新会区校级期末）如图，将长方形ABCD沿EF翻折，再沿ED翻折，若∠FEA″＝105°，则∠CFE＝ 度．
【答案】155
【解答】解：由四边形ABFE沿EF折叠得四边形A′B′FE，
∴∠A′EF＝∠AEF．
∵∠A′EF＝∠A′ED+∠DEF，∠AEF＝180°﹣∠DEF．
∴∠A′ED+∠DEF＝180°﹣∠DEF．
由四边形A′B′ME沿AD折叠得四边形A″B″ME，
∴∠A′ED＝∠A″ED．
∵∠A″ED＝∠A″EF+∠DEF＝105°+∠DEF，
∴∠A′ED＝105°+∠DEF．
∴105°+∠DEF+∠DEF＝180°﹣∠DEF．
∴∠DEF＝25°．
∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB＝25°．
∴∠CFE＝180°﹣∠EFB
＝180°﹣25°
＝155°．
故答案为：155．
模型06 平行线中的动角模型
1．（1），，；（2），，理由见解析；（3），理由见解析
【详解】解：（1）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．如图（1），一束光在镜面的A点发生反射，反射光线与镜面的夹角记为，必有；入射光线与镜面的夹角记为，反射光线与镜面的夹角记为，必有；
（2）时，
∵，
∴
∵，
∴，
∵，
∴
∴；
（3）．理由如下：
∵，
∴
∴，
∵
∴
∴
2．(1)见解析
(2)135°
(3)120
【详解】（1）证明：过点E作，
∵，
∴∠MPE＝∠PEQ，∠MDE＝∠DEQ，
∵∠PEQ＝∠PED＋∠DEQ ，
∴∠MPE＝∠E＋∠MDE．
（2）解：如图所示，过点T作，
∵，
∴，，
∵AT、TQ分别平分∠GAC，∠BQM，
∴∠GAT＝∠CAT，∠BQT＝∠MQT，
∴∠ATR＝∠CAT，∠BQT＝RTQ，
∵，
∴，
在四边形ACQT中，，
∴，
，
∴．
（3），理由如下：
解：如图所示，过点C作，
∵，
∴，
∴，
由题意得，，，
∴，
∴，
∴
解得．
3．(1)AB//CD，证明见解析
(2)90°
(3)90°α
【详解】（1）AB∥CD，证明：
∵∠BDF＝∠AEF，
∴AE//BD，
∴∠ABD=∠BAE，
∵∠ABD＝∠ACD，
∴∠ACD=∠BAE，
∴AB//CD；
（2）设∠EAB，∠DCM的平分线分别为AG，CH，
则∠EAG=∠BAE，∠MCH=∠DCM，
∵∠BAE=∠DCA，
∴∠EAG=∠DCA，
∵∠NAC=∠EAG，∠NCA=∠MCH，
∴∠NAC+∠NCA=（∠DCA+∠DCM）=90°，
∴∠ANC=180°-（∠NAC+∠NCA）=90°；
（3）设AB与DG交点为O，
∵AG平分∠EAF，DG平分∠BDF，且∠B=∠BAE，
∴∠OAG=∠BAE=∠B，∠ODB=∠BDF，
∵AB//CD，
∴∠EDC=∠BFD=α，
∵∠GOB=∠G+∠OAG=∠B+∠ODB，
∴∠G=∠B+∠ODB-∠OAG
=（∠B+∠BDF）
=（180°-∠BFD）
=90°-α．
4．(1)122°
(2)见解析
(3)45°
【详解】（1）解：∵AB∥CD，
∴∠1=∠EFD，
∵∠EFD+∠2=180°，
∴∠1+∠2=180°，
∵∠1=58°，
∴∠2=122°；
（2）证明：由（1）知，AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD=180°．
又∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，
∴∠FEP+∠EFP=（∠BEF+∠EFD）=90°，
∴∠EPF=90°，即EG⊥PF．
∵GH⊥EG，
∴PF∥GH；
（3）解：∵∠PHK=∠HPK，
∴∠PKG=2∠HPK．
又∵GH⊥EG，
∴∠KPG=90°-∠PKG=90°-2∠HPK．
∴∠EPK=180°-∠KPG=90°+2∠HPK．
∵PQ平分∠EPK，
∴∠QPK＝∠EPK＝45°+∠HPK．
∴∠HPQ=∠QPK-∠HPK=45°．
5．(1)见解析；
(2)①∠HPG＝20°；②∠HQP＝
【详解】（1）证明：∵PGEF，
∴∠CGP＝∠CFE，
∵∠CGP＝∠BEF，
∴∠CFE＝∠BEF，
∴ABCD；
（2）解：①∵EF平分∠PEB，
∴∠PEF＝∠BEF，
设∠PEF＝x，则∠BEF＝x，
由（1）知∠CGP＝∠CFE＝∠BEF，
∴∠CGP＝∠CFE＝x，
∴∠HGP＝180° ∠CGP＝180° x，
∵∠FHP＝∠HGP＋∠HPG＝180° x＋∠HPG，
∴∠FHP＋∠PEF＝180° x＋∠HPG＋x＝180°＋∠HPG，
∵∠FHP＋∠PEF＝200°，
∴∠HPG＝200° 180°＝20°；
②依题意，延长PQ交CD于点G，如图所示，则∠GFE＝∠BEF＝∠PEF，
∵PGEF，
∴∠EPQ＋∠PEF＝180°，∠PGF＋∠GFE＝180°，
由（2）知∠GFE＝∠PEF，
∴∠PGF＝∠EPQ，
∵∠HQP＝∠PGF＋∠CHQ，
∴∠HQP＝∠EPQ＋∠CHQ，
∵HQ平分∠CHP，
∴∠CHQ＝∠PHQ，
∴∠HQP＝∠EPQ＋∠PHQ＝∠HPE＋∠HPQ＋∠PHQ，
∵∠HPQ＋∠PHQ＝180° ∠HQP，
∴∠HQP＝∠HPE＋180° ∠HQP，
∴2∠HQP＝∠HPE＋180°，
∵∠HPE＝α，
∴2∠HQP＝α＋180°，
∴∠HQP＝．
6．(1)详见解析
(2)①详见解析；②36°
(3)45°或135°
【详解】（1）证明：∵，．
∴
∴．
（2）①证明：过点P作PQ∥AB，则
又∵
∴
∴
∵
∴
②∵AB∥DE，
∴∠BAD=∠EDC，
又∵∠EDC=∠DCE，
∴∠BAD=∠DCE，
又∵∠APE=∠BAD=2∠CED，
∴∠EDC=∠DCE=2∠CED，
∵∠EDC+∠DCE+∠CED=180°，
∴5∠CED=180°，
∴∠CED=36°；
（3）解：当点M在点A、B之间时，如图所示，MN与AD交于点F
∵MH⊥AD，
∴∠AHM=90°，
∴∠MAF+∠AMH=90°，
∵AB∥CD，
∴∠MAF=∠ADE，
∵∠ADE与∠AMH的角平分线相交于点N，
∴∠AMF=∠AMH，∠FDN=∠ADE=∠MAF，
∵∠AFM=∠DFN，
∴∠DNM+∠AND=∠MAF+∠AMF，
∴∠DNM+∠MAF=∠MAF+∠AMH，
∴∠DNM=（∠MAF+∠AMH）=×90°=45°；
当点E在点A的左侧时，设DM交直线AD于点G，
∵MH⊥AD，
∴∠AHM=90°，
∴∠MAG+∠AMH=90°，
∵AB∥CD，
∴∠MAG=∠ADE，
∵∠ADE与∠AMH的角平分线相交于点N，
∴∠HMG=∠AMH，∠GDN=∠ADE=∠MAG，
∴∠DNM=∠GDN+∠DGN
=∠GDN+∠HMG+∠MHG
=∠MAG+∠AMH+∠MHG
=（∠MAG+∠AMH）+∠MHG
=×90°+90°=135°；
综上所述，的度数为45°或135°．
7．(1)
(2)，理由见解析
(3)或
【详解】（1）如图，延长EP交CD于点G
∵AB∥CD，∠AEP＝45°，
∴
∵∠DFP＝105°
∴
∴；
（2）如图，延长EP交CD于点G，交AB于点Q
根据题意，得，
设，
∴
∵AB∥CD
∴，，即
∴
∵
∴，即
∵
∴
∴
将代入到
得：
∴
∴；
（3）当点P在直线EF左侧时，交AB于点Q，如图，
根据题意，得：，
设，
∴
∵AB∥CD
∴
∴
∵，
∴
将代入到，得：
∴；
当点P在直线EF右侧时，交AB于点Q，和相交于点K，如图，
根据题意，得：，
设，
∴，
∵AB∥CD
∴，
∴
∵
∴
∴
将代入到，得：
∴．
8．(1)见解析
(2)
(3)或或
【详解】（1）证明：，，
，
．
（2）过点作，如图所示，
则，
由（1）知，，
，
，
，
平分，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得，
即的度数为．
（3）（2）的条件下，若点是直线上的一点，直线交直线于点，点在点左侧，和的数量关系是或或，理由如下：
在（2）的条件下，，
若点在的延长线上，
，
，
，
，
若点在上，
，
，
，
，
若点在的延长线上，
，
，
，，
，
综上所述，点在点左侧，和的数量关系是或或．
9．(1)见解析
(2)
(3)或
【详解】（1）证明：∵与相交，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，过点M作，过点N作，设，则，，
∵，
∴，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图2所示， 由（1）可知，∠AEF=2∠AEM，
∴；
如图3所示，过点M作，过点N作，
同理可证∠EMG=∠AEM，∠NMG=∠MNT，，
∴，
∴
∴，
∴；
综上所述，或．
10．（1）见解析；（2）；（3）20°
【详解】（1）证明：过点作，
∵，
∴，，
∵，
∴；
（2）设，，故，，
过点作.
∵，
∴，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）设，．
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴．
11．(1)15
(2)①当0°＜α≤45°时，∠BAE-∠CAD=45°；②当45°＜α≤90°时，∠BAE+∠CAD=45°；③当90°＜α＜180°时，∠CAD-∠BAE=45°
(3)t=3或9或21或27或30．
【详解】（1）当α=15°时，，
如图：
故答案为15；
（2）设：∠CAD=γ，∠BAE=β，
①如图，当0°＜α≤45°时，
α+β=90°，α+γ=45°，
故β-γ=45°；
即∠BAE-∠CAD=45°
②当45°＜α≤90°时，
γ+β=90°，即∠BAE+∠CAD=45°
③当90°＜α＜180°时，∠CAD=γ，∠BAE=β，
即
γ-β=45°；即∠CAD-∠BAE=45°
（3）①当ADBC时，α=15°，t=3；
②当DEAB时，α=45°，t=9；
③当DEBC时，α=105°，t=21；
④当DEAC时，α=135°，t=27；
⑤当AEBC时，α=150°，t=30；
综上，t=3或9或21或27或30．
12．(1)证明见解析；
(2)60°；
(3)5∠MPN+3∠M-∠N=360°；
【详解】（1）证明：如图，过点E作EF∥AB，
∵AB∥EF，
∴∠A=∠AEF，
∵EF∥AB，AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠CEF=∠C，
∴∠AEF=∠CEF+∠AEC=∠C+∠AEC，
∴∠A=∠C+∠AEC；
（2）解：如图，过点F作FM∥AG，
∵EH∥AG，FM∥AG，
∴EH∥FM，
∴∠EFM=∠E=30°，
∵∠EFA=5∠E=150°，
∴∠MFA=∠EFA-∠EFM=120°，
∵AG∥FM，
∴∠FAG=180°-∠MFA=60°，
∵AG平分∠BAF，
∴∠BAG=∠FAG=60°，
∵AB∥CD，
∴∠AGC=∠BAG=60°，
∵AG∥EH，
∴∠EHG=∠AGC=60°；
（3）解：如图，过点N作NE∥AB，过点M作MF∥AB，
∠APM=3∠APN，则∠MPN=2∠APN，
AB∥NE，则∠PNE=∠APN=∠MPN，
∴∠QNE=∠PNQ-∠PNE=∠PNQ-∠MPN，
NE∥AB，AB∥CD，则NE∥CD，
∴∠NQD=180°-∠QNE=180°-∠PNQ+∠MPN，
∠NQD=3∠MQD，则∠MQD=（180°-∠PNQ+∠MPN）=60°-∠PNQ+∠MPN，
MF∥AB，AB∥CD，则MF∥CD，
∴∠FMQ=∠MQD=60°-∠PNQ+∠MPN，
∴∠PMF=∠FMQ+∠PMQ=60°-∠PNQ+∠MPN+∠PMQ，
∵AB∥MF，
∴∠APM+∠PMF=180°，
∴∠APN+∠MPN+∠PMF=180°，
∴∠MPN+∠MPN+60°-∠PNQ+∠MPN+∠PMQ=180°，
∴∠MPN+∠PMQ-∠PNQ=120°，
∴5∠MPN+3∠PMQ-∠PNQ=360°；
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模型 05 平行线中翻折求角度模型
1. 如图，长方形纸片 ABCD中，AB，DC边上分别有点 E，F，将长方形纸片 ABCD沿 EF
翻折至同一平面后，点 A，D分别落在点 G，H处．若∠GEB＝28°，则∠DFE的度数是
（ ）
A．75° B．76° C．77° D．78°
2. 将一张边沿互相平行的纸条如图折叠后，若边 AD∥BC，则翻折角∠1与∠2一定满足的
关系是（ ）
A．∠1＝2∠2 B．∠1+∠2＝90°
C．∠1﹣∠2＝30° D．2∠1﹣3∠2＝30°
3. 如图，将一张长方形的纸片沿折痕 EF翻折，使点 C、D分别落在点 M、N的位置，
1
且∠BFM＝ ∠EFM，则∠AEN的度数为（ ）
2
A．45° B．36° C．72° D．18°
4. 如图，四边形 ABCD中，点 M，N分别在 AB，BC上，将△BMN沿 MN翻折，得△FMN，
若 MF∥AD，FN∥DC，则∠B的度数是（ ）
A．80° B．100° C．90° D．95°
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5. 如图，四边形 ABCD，AD∥BC，∠A＝∠D＝90°，E为 AD中点，将点 D绕着 CE翻折
到点 D’处，连接 BE，记∠AED’＝α，∠ABE＝β，则α与β之间的数量关系为（ ）
A．α＝β B．α＝2β C．α+β＝90° D．α+2β＝180°
6. 如图所示，△ABC中∠C＝80°，AC边上有一点 D，使得∠A＝∠ABD，将△ABC沿 BD
翻折得△A'BD，此时 A'D∥BC，则∠ABC＝ 度．
7．如图，将长方形 ABCD沿 EF翻折，使得点 D落在 AB边上的点 G处，点 C
落在点 H处，若∠1＝32°，则∠2＝ ．
8．如图，将长方形 ABCD沿 EF翻折，再沿 ED翻折，若∠FEA″＝105°，
则∠CFE＝ 度．
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