多项式与多项式相乘
【A层 基础夯实】
知识点1 多项式乘以多项式
1.化简(x-4)(x+3)的结果为( )
A.x2-7 B.x2-x-12
C.x2-12 D.x2-x+12
2.(2024·南阳质检)若(x+1)(x2-3ax+a)的乘积中不含x2项,则常数a的值为( )
A. B.- C.3 D.-3
3.计算:(x-5y)(2x+y)= .
4.若(x-3)(x-2)=x2+px+q,则p= ,q= .
5.计算:(1)(2a+1)(a-3).
(2)(3x-1)(2x2+3x-4).
(3)(x-1)(x+3)-x(x-2).
知识点2 多项式乘以多项式的几何背景
6.(2024·临沂期末)根据图1的面积可以说明多项式的乘法运算(2a+b)(a+b)= 2a2+3ab+b2,那么根据图2的面积可以说明多项式的乘法运算是( )
A.(a+3b)(a+b)=a2+4ab+3b2
B.(a+3b)(a+b)=a2+3b2
C.(b+3a)(b+a)=b2+4ab+3a2
D.(a+3b)(a-b)=a2+2ab-3b2
7.(2024·遂宁质检)王大爷承包一长方形鱼塘,原来长2x米,宽x米,现在要把长、宽均扩展y米,那么这个鱼塘的面积增加了( )
A.(x2+3xy+2y2)平方米
B.(2x2+3xy+y2)平方米
C.(3xy+y2)平方米
D.(6xy+4y2)平方米
8.从前,一位农场主把一块长a米、宽b米(b>5)的长方形土地租给租户张老汉,第二年,他对张老汉说:“我把这块地的长增加5米,宽减少5米,还是长方形的土地继续租给你,租金不变,你也没有吃亏!”则第二年张老汉的租地面积是 m2,相比第一年的租地面积 (填:变大、变小或没有变化).
【B层 能力进阶】
9.如图,用式子表示阴影部分面积正确的是( )
A.ac+bc-c2
B.(a-c)(b-c)
C.ab
D.ac+bc
10.(2024·湘西州期末)小刚同学计算一道整式乘法:(3x+a)(2x+3),由于他抄错了多项式中a前面的符号,把“+”写成“-”,得到的结果为6x2+bx-6.则a+b=( )
A.7 B.9 C.13 D.15
11.(2024·遂宁质检)已知多项式A是8次多项式,多项式B是3次多项式,则A·B的次数是 ( )
A.24次多项式
B.不高于11次的多项式
C.11次多项式
D.无法确定
12.若2x2-3y2=-6,xy=2,则(2x+y)(x-3y)的值为( )
A.6-10 B.-6-10
C.6+10 D.-6+10
13.若(x2+2x+3)(mx+n)的展开式中不出现x项且x2项系数为1,则m= .
14.五张如图1所示的长为a,宽为b(a>b)的小长方形纸片,按如图2方式不重叠地放在长方形ABCD中,未被覆盖的部分(两个长方形)用阴影表示.设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S,当BC的长度变化时,按照同样的放置方式,S始终保持不变,则a,b满足的关系式为 .
15.(2024·广州期中)已知(x-1)(x+1)=x2-1,(x-1)(x2+x+1)=x3-1,(x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1.根据前面各式的规律,可得:(2-1)(23+22+2+1)的值为 ,22 023+22 022+22 021+
22 020+22 019+…+22+2+1的值的个位数字是 .
16.对于一个图形,通过不同的方法计算图形的面积,可以得到一个数学等式,例如由图①可以得到(a+b)(a+2b)=a2+3ab+2b2.请回答下面的问题:
(1)写出图②中所表示的数学公式 .
(2)利用(1)中所得到的结论,解决下面的问题:已知a+b+c=10,a2+b2+c2=64,求ab+ac+bc的值.
(3)图③中给出了若干个边长为a和边长为b的正方形纸片,若干个长为b,宽为a的长方形纸片,利用所给的纸片拼出一个几何图,使得计算它的面积能得到数学公式(2a+b)(3a+2b)=6a2+7ab+2b2.
【C层 创新挑战(选做)】
17.(运算能力、推理能力)(2024·北京期中)小聪学习多项式时研究了多项式值为0的问题,发现当mx+n=0或px+q=0时,多项式A=(mx+n)(px+q)=mpx2+(mq+np)x+nq的值为0,把此时x的值称为多项式A的零点.
(1)已知多项式(3x+1)(x-2),则此多项式的零点为 ;
(2)已知多项式B=(x-1)(bx+c)=ax2-(a-1)x-有一个零点为1,求多项式B的另一个零点.九 多项式与多项式相乘
【A层 基础夯实】
知识点1 多项式乘以多项式
1.化简(x-4)(x+3)的结果为(B)
A.x2-7 B.x2-x-12
C.x2-12 D.x2-x+12
2.(2024·南阳质检)若(x+1)(x2-3ax+a)的乘积中不含x2项,则常数a的值为(A)
A. B.- C.3 D.-3
3.计算:(x-5y)(2x+y)= 2x2-9xy-5y2 .
4.若(x-3)(x-2)=x2+px+q,则p= -5 ,q= 6 .
5.计算:(1)(2a+1)(a-3).
(2)(3x-1)(2x2+3x-4).
(3)(x-1)(x+3)-x(x-2).
【解析】本题考查多项式乘以多项式的法则.
(1)原式=2a2-6a+a-3=2a2-5a-3.
(2)原式=6x3+9x2-12x-2x2-3x+4
=6x3+7x2-15x+4.
(3)(x-1)(x+3)-x(x-2)
=x2+3x-x-3-x2+2x
=4x-3.
知识点2 多项式乘以多项式的几何背景
6.(2024·临沂期末)根据图1的面积可以说明多项式的乘法运算(2a+b)(a+b)= 2a2+3ab+b2,那么根据图2的面积可以说明多项式的乘法运算是(A)
A.(a+3b)(a+b)=a2+4ab+3b2
B.(a+3b)(a+b)=a2+3b2
C.(b+3a)(b+a)=b2+4ab+3a2
D.(a+3b)(a-b)=a2+2ab-3b2
7.(2024·遂宁质检)王大爷承包一长方形鱼塘,原来长2x米,宽x米,现在要把长、宽均扩展y米,那么这个鱼塘的面积增加了(C)
A.(x2+3xy+2y2)平方米
B.(2x2+3xy+y2)平方米
C.(3xy+y2)平方米
D.(6xy+4y2)平方米
8.从前,一位农场主把一块长a米、宽b米(b>5)的长方形土地租给租户张老汉,第二年,他对张老汉说:“我把这块地的长增加5米,宽减少5米,还是长方形的土地继续租给你,租金不变,你也没有吃亏!”则第二年张老汉的租地面积是 (ab-5a+5b-25) m2,相比第一年的租地面积 变小 (填:变大、变小或没有变化).
【B层 能力进阶】
9.如图,用式子表示阴影部分面积正确的是(B)
A.ac+bc-c2
B.(a-c)(b-c)
C.ab
D.ac+bc
10.(2024·湘西州期末)小刚同学计算一道整式乘法:(3x+a)(2x+3),由于他抄错了多项式中a前面的符号,把“+”写成“-”,得到的结果为6x2+bx-6.则a+b=(A)
A.7 B.9 C.13 D.15
11.(2024·遂宁质检)已知多项式A是8次多项式,多项式B是3次多项式,则A·B的次数是 (C)
A.24次多项式
B.不高于11次的多项式
C.11次多项式
D.无法确定
12.若2x2-3y2=-6,xy=2,则(2x+y)(x-3y)的值为(B)
A.6-10 B.-6-10
C.6+10 D.-6+10
13.若(x2+2x+3)(mx+n)的展开式中不出现x项且x2项系数为1,则m= 2 .
14.五张如图1所示的长为a,宽为b(a>b)的小长方形纸片,按如图2方式不重叠地放在长方形ABCD中,未被覆盖的部分(两个长方形)用阴影表示.设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S,当BC的长度变化时,按照同样的放置方式,S始终保持不变,则a,b满足的关系式为 a=2b .
15.(2024·广州期中)已知(x-1)(x+1)=x2-1,(x-1)(x2+x+1)=x3-1,(x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1.根据前面各式的规律,可得:(2-1)(23+22+2+1)的值为 15 ,22 023+22 022+22 021+
22 020+22 019+…+22+2+1的值的个位数字是 5 .
16.对于一个图形,通过不同的方法计算图形的面积,可以得到一个数学等式,例如由图①可以得到(a+b)(a+2b)=a2+3ab+2b2.请回答下面的问题:
(1)写出图②中所表示的数学公式 .
答案:(a+b+c)(a+b+c)=a2+2ab+2ac+b2+2bc+c2
【解析】(1)由题图可得,大正方形的面积为(a+b+c)(a+b+c),
又∵大正方形的面积为a2+2ab+2ac+b2+2bc+c2,∴题图②中所表示的数学公式为(a+b+c)(a+b+c)=a2+2ab+2ac+b2+2bc+c2.
(2)利用(1)中所得到的结论,解决下面的问题:已知a+b+c=10,a2+b2+c2=64,求ab+ac+bc的值.
【解析】(2)由(1)可得,(a+b+c)(a+b+c)=a2+2ab+2ac+b2+2bc+c2,
∵a+b+c=10,a2+b2+c2=64,∴10×10=64+2ab+2ac+2bc,∴ab+ac+bc=18.
(3)图③中给出了若干个边长为a和边长为b的正方形纸片,若干个长为b,宽为a的长方形纸片,利用所给的纸片拼出一个几何图,使得计算它的面积能得到数学公式(2a+b)(3a+2b)=6a2+7ab+2b2.
【解析】(3)如图,
【C层 创新挑战(选做)】
17.(运算能力、推理能力)(2024·北京期中)小聪学习多项式时研究了多项式值为0的问题,发现当mx+n=0或px+q=0时,多项式A=(mx+n)(px+q)=mpx2+(mq+np)x+nq的值为0,把此时x的值称为多项式A的零点.
(1)已知多项式(3x+1)(x-2),则此多项式的零点为 ;
答案:-或2
【解析】(1)依据题意,令(3x+1)(x-2)=0,得多项式的零点为x=-或x=2.
(2)已知多项式B=(x-1)(bx+c)=ax2-(a-1)x-有一个零点为1,求多项式B的另一个零点.
【解析】(2)依据题意,将x=1代入多项式B,得B=a-(a-1)-a=0,解得a=2;
将a=2代入多项式B,得B=(x-1)(bx+c)=2x2-x-1;
∴bx2+(c-b)x-c=2x2-x-1,
∴b=2,c=1,
∴B=(x-1)(2x+1),
令2x+1=0,得多项式B的另一个零点为-.
