十一 两数和(差)的平方
【A层 基础夯实】
知识点1 完全平方公式
1.运用完全平方公式(a-b)2=a2-2ab+b2计算(2x-1)2,则公式中的2ab是 (B)
A.-4x B.4x C.-2x D.2x
2.(易错警示题·概念不清)计算(-a-b)2的结果为 (C)
A.-a2+b2 B.-a2-2ab-b2
C.a2+2ab+b2 D.-a2+2ab-b2
3.计算:(-3+a)2= a2-6a+9 .
4.若(3x+4)2=9x2+kx+16,则k= 24 .
知识点2 完全平方公式的应用
5.如图,从边长为(a+4) cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a+1)cm的正方形(a>0),剩余部分沿虚线剪下,拼成一个长方形(不重叠无缝隙),则此长方形的面积为 (A)
A.(6a+15)cm2 B.(6a+9)cm2
C.(3a+15)cm2 D.(5a+15)cm2
6.利用乘法公式计算1982,下列方法正确的是(D)
A.1982=2002-200×2+22
B.1982=2002-22
C.1982=2002+2×200×2+22
D.1982=2002-2×200×2+22
7.如图,现有甲,乙,丙三种不同的纸片.贝贝要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形,她先取甲纸片1块,再取乙纸片4块,则她还需取丙纸片的块数为 (C)
A.1 B.2 C.4 D.8
8.已知x+y=1,xy=-3,则x2+y2= 7 .
9.运用完全平方公式计算:
(1)50.012;
【解析】(1)50.012=(50+0.01)2
=502+2×50×0.01+0.012
=2 500+1+0.000 1
=2 501.000 1.
(2)2 0242-4 050×2 024+2 0252.
【解析】(2)2 0242-4 050×2 024+2 0252
=2 0242-2×2 024×2 025+2 0252
=(2 024-2 025)2
=(-1)2
=1.
【B层 能力进阶】
10.(2024·重庆质检)下列运算:①(3x+y)2=9x2+y2;②(a-2b)2=a2-4b2;③(-x-y)2=x2+2xy+y2;④(x-)2=x2-2x+.其中,运算错误的有 (C)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
11.(易错警示题·概念不清)多项式4x2+1加上一个数或单项式后,使它成为一个多项式的完全平方,若加上的数或单项式可以从①-1,②4x,③-4x,④-4x2,⑤4x4中选取,则选取的是 (C)
A.① B.③
C.②③⑤ D.①②③④⑤
12.已知正方形的面积是(x2-8x+16)cm2(x<4 cm),则正方形的周长是 (C)
A.(4-x)cm B.(x-4)cm
C.(16-4x)cm D.(4x-16)cm
13.如图,两个正方形的边长分别为a和b,如果a+b=10,ab=20,那么阴影部分的面积是 (C)
A.5 B.10 C.20 D.30
14.(2024·南阳期中)若3m÷3n=27,=3,则m2+n2= 10 .
15.已知a+=,则a-= ± .
16.已知长方形金鱼池的面积为1平方米,周长为6米,以长方形金鱼池相邻两边向外作正方形的小花园,则两个正方形小花园面积之和是 7 平方米.
17.(1)问题探究:已知a+b=3,ab=2,可利用完全平方公式得:a2+b2=5.
【解析】(1)a2+b2=(a+b)2-2ab=32-2×2=5.
(2)自主推导:(a+b+c)2= a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.
根据上面的公式计算:已知a+b+c=6,ab+bc+ac=11,则a2+b2+c2=14.
【解析】(2)由多项式乘多项式法则可得(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc,
∴a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ac)=62-2×11=14.
(3)问题解决:已知a+b+c=0,a2+b2+c2=6,求a4+b4+c4的值.
【解析】(3)∵a+b+c=0,a2+b2+c2=6,
∴02=6+2(ab+bc+ac),
∴ab+bc+ac=-3,
∵a4+b4+c4=(a2+b2+c2)2-2(a2b2+b2c2+a2c2)=(a2+b2+c2)2-2[(ab+bc+ac)2-2abc(a+b+c)],∴a4+b4+c4=62-2×[(-3)2-2abc×0]=18.
【C层 创新挑战(选做)】
18.(推理能力、运算能力、应用意识)(2024·福州期中)我们已经学习了完全平方公式:a2±2ab+b2=(a±b)2,观察下列式子:
x2+4x+2=(x2+4x+4)-2=(x+2)2-2,
∵(x+2)2≥0,∴x2+4x+2=(x+2)2-2≥-2,原式有最小值是-2;
-x2+2x-3=-(x2-2x+1)-2=-(x-1)2-2,
∵-(x-1)2≤0,∴-x2+2x-3=-(x-1)2-2≤-2,原式有最大值是-2;
并完成下列问题:
(1)代数式x2-4x+1有最小值(填“大”或“小”),这个值是-3.
【解析】(1)x2-4x+1=(x-2)2-3,
∵(x-2)2≥0,
∴(x-2)2-3≥-3,
∴代数式x2-4x+1有最小值,最小值为-3;
(2)解决实际问题:在紧靠围墙的空地上,利用围墙及一段长为100米的木栅栏围成一个长方形花圃,为了设计一个尽可能大的花圃,如图.
设长方形一边的长度为x米,完成下列任务.
①用含x的式子表示花圃的面积;
②请说明当x取何值时花圃的面积最大,最大面积是多少平方米
【解析】(2)①由题图可得花圃的面积:x(100-2x)=(-2x2+100x)平方米;
②由①可知:-2x2+100x=-2(x-25)2+1 250,
∵当x=25时,100-2x=50<100,且-2(x-25)2≤0,∴当x=25时,花圃的最大面积为1 250平方米. 两数和(差)的平方
【A层 基础夯实】
知识点1 完全平方公式
1.运用完全平方公式(a-b)2=a2-2ab+b2计算(2x-1)2,则公式中的2ab是 ( )
A.-4x B.4x C.-2x D.2x
2.(易错警示题·概念不清)计算(-a-b)2的结果为 ( )
A.-a2+b2 B.-a2-2ab-b2
C.a2+2ab+b2 D.-a2+2ab-b2
3.计算:(-3+a)2= .
4.若(3x+4)2=9x2+kx+16,则k= .
知识点2 完全平方公式的应用
5.如图,从边长为(a+4) cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a+1)cm的正方形(a>0),剩余部分沿虚线剪下,拼成一个长方形(不重叠无缝隙),则此长方形的面积为 ( )
A.(6a+15)cm2 B.(6a+9)cm2
C.(3a+15)cm2 D.(5a+15)cm2
6.利用乘法公式计算1982,下列方法正确的是( )
A.1982=2002-200×2+22
B.1982=2002-22
C.1982=2002+2×200×2+22
D.1982=2002-2×200×2+22
7.如图,现有甲,乙,丙三种不同的纸片.贝贝要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形,她先取甲纸片1块,再取乙纸片4块,则她还需取丙纸片的块数为 ( )
A.1 B.2 C.4 D.8
8.已知x+y=1,xy=-3,则x2+y2= .
9.运用完全平方公式计算:
(1)50.012;
(2)2 0242-4 050×2 024+2 0252.
【B层 能力进阶】
10.(2024·重庆质检)下列运算:①(3x+y)2=9x2+y2;②(a-2b)2=a2-4b2;③(-x-y)2=x2+2xy+y2;④(x-)2=x2-2x+.其中,运算错误的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
11.(易错警示题·概念不清)多项式4x2+1加上一个数或单项式后,使它成为一个多项式的完全平方,若加上的数或单项式可以从①-1,②4x,③-4x,④-4x2,⑤4x4中选取,则选取的是 ( )
A.① B.③
C.②③⑤ D.①②③④⑤
12.已知正方形的面积是(x2-8x+16)cm2(x<4 cm),则正方形的周长是 ( )
A.(4-x)cm B.(x-4)cm
C.(16-4x)cm D.(4x-16)cm
13.如图,两个正方形的边长分别为a和b,如果a+b=10,ab=20,那么阴影部分的面积是 ( )
A.5 B.10 C.20 D.30
14.(2024·南阳期中)若3m÷3n=27,=3,则m2+n2= .
15.已知a+=,则a-= .
16.已知长方形金鱼池的面积为1平方米,周长为6米,以长方形金鱼池相邻两边向外作正方形的小花园,则两个正方形小花园面积之和是 平方米.
17.(1)问题探究:已知a+b=3,ab=2,可利用完全平方公式得:a2+b2= .
(2)自主推导:(a+b+c)2= .
根据上面的公式计算:已知a+b+c=6,ab+bc+ac=11,则a2+b2+c2= .
(3)问题解决:已知a+b+c=0,a2+b2+c2=6,求a4+b4+c4的值.
【C层 创新挑战(选做)】
18.(推理能力、运算能力、应用意识)(2024·福州期中)我们已经学习了完全平方公式:a2±2ab+b2=(a±b)2,观察下列式子:
x2+4x+2=(x2+4x+4)-2=(x+2)2-2,
∵(x+2)2≥0,∴x2+4x+2=(x+2)2-2≥-2,原式有最小值是-2;
-x2+2x-3=-(x2-2x+1)-2=-(x-1)2-2,
∵-(x-1)2≤0,∴-x2+2x-3=-(x-1)2-2≤-2,原式有最大值是-2;
并完成下列问题:
(1)代数式x2-4x+1有最 值(填“大”或“小”),这个值是 .
(2)解决实际问题:在紧靠围墙的空地上,利用围墙及一段长为100米的木栅栏围成一个长方形花圃,为了设计一个尽可能大的花圃,如图.
设长方形一边的长度为x米,完成下列任务.
①用含x的式子表示花圃的面积;
②请说明当x取何值时花圃的面积最大,最大面积是多少平方米
