十四 因式分解(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 因式分解的定义
1.(2024·淄博质检)下列由左到右的变形,是因式分解的为 ( )
A.(x+4)(x-4)=x2-16
B.x2-y2-1=(x+y)(x-y)-1
C.x2-4xy+4y2=(x-2y)2
D.x2-2x+1=x(x-2)+1
2.若多项式x2+ax+b分解因式的结果为(x+1)(x-2),则a+b的值为 .
知识点2 公因式
3.下列各组多项式中,没有公因式的是 ( )
A.ax-by和by-ax B.3x-9xy和6y2-2y
C.x2-y2和x-y D.a+b和a2-2ab+b2
4.(2024·烟台期中)用提公因式法分解因式时,从多项式38x4-19x2-57x3中提出的公因式为 .
知识点3 提公因式法
5.多项式ax-x因式分解的结果是 ( )
A.a(x-1) B.x(a-1)
C.a D.x(a-x)
6.(2024·长春期中)因式分解:3a2+6ab= .
7.(2024·上海质检)因式分解:3x3-9x2+3x= .
【B层 能力进阶】
8.(2024·驻马店期末)若x2+mx-18能分解为(x-9)(x+n),那么m,n的值是 ( )
A.7,2 B.-7,2
C.-7,-2 D.7,-2
9.把12a2b3c-8a2b2c+6ab3c2分解因式时,应提取的公因式是 ( )
A.2 B.2ab C.2ab2c D.2a2b2c
10.当a,b互为相反数时,代数式a2+ab-2的值为 ( )
A.2 B.0 C.-2 D.1
11.(2024·重庆期末)若将多项式2x3-x2+m进行因式分解后,有一个因式是x+1,则m的值为 .
12.若M是一个单项式,且M·(2xy-3y2)=6x3y2-9x2y3,则M= .
13.(2024·南通质检)已知x-=3,那么多项式x3-x2-7x+5的值是 .
14.分解因式:(1)-8x4y+6x3y2-2x3y.
(2)(2a+1)2-(2a+1)(-1+2a).
(3)3x2(x-y)+6x(y-x).
【C层 创新挑战(选做)】
15.(推理能力、运算能力)阅读下列因式分解的过程,再回答所提出的问题:
1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(1+x)]=(1+x)2(1+x)=(1+x)3.
(1)上述分解因式的方法是 法.
(2)分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2 024的结果应为 .
(3)分解因式:1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n.十四 因式分解(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 因式分解的定义
1.(2024·淄博质检)下列由左到右的变形,是因式分解的为 (C)
A.(x+4)(x-4)=x2-16
B.x2-y2-1=(x+y)(x-y)-1
C.x2-4xy+4y2=(x-2y)2
D.x2-2x+1=x(x-2)+1
2.若多项式x2+ax+b分解因式的结果为(x+1)(x-2),则a+b的值为 -3 .
知识点2 公因式
3.下列各组多项式中,没有公因式的是 (D)
A.ax-by和by-ax B.3x-9xy和6y2-2y
C.x2-y2和x-y D.a+b和a2-2ab+b2
4.(2024·烟台期中)用提公因式法分解因式时,从多项式38x4-19x2-57x3中提出的公因式为 19x2 .
知识点3 提公因式法
5.多项式ax-x因式分解的结果是 (B)
A.a(x-1) B.x(a-1)
C.a D.x(a-x)
6.(2024·长春期中)因式分解:3a2+6ab= 3a(a+2b) .
7.(2024·上海质检)因式分解:3x3-9x2+3x= 3x(x2-3x+1) .
【B层 能力进阶】
8.(2024·驻马店期末)若x2+mx-18能分解为(x-9)(x+n),那么m,n的值是 (B)
A.7,2 B.-7,2
C.-7,-2 D.7,-2
9.把12a2b3c-8a2b2c+6ab3c2分解因式时,应提取的公因式是 (C)
A.2 B.2ab C.2ab2c D.2a2b2c
10.当a,b互为相反数时,代数式a2+ab-2的值为 (C)
A.2 B.0 C.-2 D.1
11.(2024·重庆期末)若将多项式2x3-x2+m进行因式分解后,有一个因式是x+1,则m的值为 3 .
12.若M是一个单项式,且M·(2xy-3y2)=6x3y2-9x2y3,则M= 3x2y .
13.(2024·南通质检)已知x-=3,那么多项式x3-x2-7x+5的值是 7 .
14.分解因式:(1)-8x4y+6x3y2-2x3y.
【解析】(1)原式=-2x3y(4x-3y+1).
(2)(2a+1)2-(2a+1)(-1+2a).
【解析】(2)原式=(2a+1)[2a+1-(-1+2a)]
=2(2a+1).
(3)3x2(x-y)+6x(y-x).
【解析】(3)原式=3x2(x-y)-6x(x-y)
=3x(x-y)(x-2).
【C层 创新挑战(选做)】
15.(推理能力、运算能力)阅读下列因式分解的过程,再回答所提出的问题:
1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(1+x)]=(1+x)2(1+x)=(1+x)3.
(1)上述分解因式的方法是提公因式法.
【解析】(1)题干分解因式的方法是提公因式法.
(2)分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2 024的结果应为(1+x)2 025.
【解析】(2)1+x+x(x+1)+x(x+1)2+x(x+1)3=(1+x)3+x(x+1)3=(1+x)4,
1+x+x(x+1)+x(x+1)2+x(x+1)3+
x(1+x)4=(1+x)4+x(x+1)4=(1+x)5,
……
由此可知1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2 024=(1+x)2 025.
(3)分解因式:1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n.
【解析】(3)原式=(1+x)[1+x+x(x+1)]+x(x+1)3+…+x(x+1)n
=(1+x)2(1+x)+x(x+1)3+…+x(x+1)n
=(1+x)3+x(1+x)3+…+x(1+x)n
=(1+x)n+x(x+1)n
=(1+x)n+1.
