命题 定理与证明
【A层 基础夯实】
知识点1 命题
1.(2024·保定期中)下列句子:①负数没有相反数;②是分式;③过点P作直线l的平行线;④两个单项式的和一定是多项式.其中是命题的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.(易错警示题·概念不清)下列命题中是假命题的是 ( )
A.对顶角相等
B.两直线平行,同旁内角互补
C.同位角相等
D.三角形的内角和是180°
3.(2024·宁波期中)能说明“三角形的高线一定在三角形的内部(含边界)”是假命题的反例是( )
4.指出下列命题的条件和结论,并判断它们是真命题还是假命题,如果是假命题,举出一个反例.
(1)两个角的和等于平角时,这两个角互为补角;
(2)内错角相等;
(3)两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补.
知识点2 定理与证明
5.“同角或等角的补角相等”是 ( )
A.定义 B.基本事实
C.定理 D.假命题
6.下列能作为证明依据的是 ( )
A.已知条件 B.定义和基本事实
C.定理和推论 D.以上三项都可以
7.请举出一个关于角相等的定理: .
8.推理填空:如图,已知∠B=∠CGF,∠BGC=∠F.
求证:∠B+∠F=180°,∠F+∠BGD=180°.
证明:∵∠B=∠CGF(已知),
∴AB∥CD( ).
∵∠BGC=∠F(已知),
∴CD∥EF( ),
∴AB∥EF( ),
∴∠B+∠F=180°( ).
又∵∠BGC+∠BGD=180°( ),
∠BGC=∠F(已知),
∴∠F+∠BGD=180°( ).
【B层 能力进阶】
9.下列命题:①各边相等的多边形是正多边形;②正多边形是轴对称图形;③正六边形的每个外角均为60°;④正n边形有(n-3)条对角线.其中是真命题的个数为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
10.下列命题是定理的是 ( )
A.内错角相等
B.同位角相等,两直线平行
C.一个角的余角不等于它本身
D.在同一平面内,有且只有一条直线与已知直线垂直
11.(2024·上海期中)把命题“关于某个点中心对称的两个三角形全等”改写成“如果……,那么……”的形式是 .
12.说明命题“若a>b,则ac>bc”是假命题的一个反例的c的值可以是 .
13.(2024·漳州期中)(1)如图,“若∠1=∠2,则AB∥CD”,该命题是 (填“真命题”或“假命题”).
(2)若上述命题为真命题,请说明理由;若上述命题为假命题,请你再添加一条件,使该命题成为真命题,并说明理由.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(推理能力)【阅读】在证明命题“如果a>b>0,c<0,那么a2+bc>ab+ac”时,小明的证明过程如下:
证明:∵a>b>0,
∴a2> ,∴a2+bc> .
∵a>b,c<0,
∴bc> ,∴ab+bc> ,
∴a2+bc>ab+ac.
【问题解决】
(1)请将上面的证明过程填写完整;
(2)有以下几个条件①a>b,②a .你选择的条件序号是 ,并给出证明过程. 命题 定理与证明
【A层 基础夯实】
知识点1 命题
1.(2024·保定期中)下列句子:①负数没有相反数;②是分式;③过点P作直线l的平行线;④两个单项式的和一定是多项式.其中是命题的有 (C)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.(易错警示题·概念不清)下列命题中是假命题的是 (C)
A.对顶角相等
B.两直线平行,同旁内角互补
C.同位角相等
D.三角形的内角和是180°
3.(2024·宁波期中)能说明“三角形的高线一定在三角形的内部(含边界)”是假命题的反例是(C)
4.指出下列命题的条件和结论,并判断它们是真命题还是假命题,如果是假命题,举出一个反例.
(1)两个角的和等于平角时,这两个角互为补角;
【解析】(1)条件:两个角的和等于平角,结论:这两个角互为补角,是真命题.
(2)内错角相等;
【解析】(2)条件:两个角是内错角,结论:这两个角相等,是假命题.如图,∠1与∠2是内错角,∠2>∠1.
(3)两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补.
【解析】(3)条件:两条平行线被第三条直线所截,结论:同旁内角互补,是真命题.
知识点2 定理与证明
5.“同角或等角的补角相等”是 (C)
A.定义 B.基本事实
C.定理 D.假命题
6.下列能作为证明依据的是 (D)
A.已知条件 B.定义和基本事实
C.定理和推论 D.以上三项都可以
7.请举出一个关于角相等的定理: 两直线平行,同位角相等(答案不唯一) .
8.推理填空:如图,已知∠B=∠CGF,∠BGC=∠F.
求证:∠B+∠F=180°,∠F+∠BGD=180°.
证明:∵∠B=∠CGF(已知),
∴AB∥CD( 同位角相等,两直线平行 ).
∵∠BGC=∠F(已知),
∴CD∥EF( 同位角相等,两直线平行 ),
∴AB∥EF( 平行公理的推论 ),
∴∠B+∠F=180°( 两直线平行,同旁内角互补 ).
又∵∠BGC+∠BGD=180°( 平角的定义 ),
∠BGC=∠F(已知),
∴∠F+∠BGD=180°( 等量代换 ).
【B层 能力进阶】
9.下列命题:①各边相等的多边形是正多边形;②正多边形是轴对称图形;③正六边形的每个外角均为60°;④正n边形有(n-3)条对角线.其中是真命题的个数为(C)
A.4 B.3 C.2 D.1
10.下列命题是定理的是 (B)
A.内错角相等
B.同位角相等,两直线平行
C.一个角的余角不等于它本身
D.在同一平面内,有且只有一条直线与已知直线垂直
11.(2024·上海期中)把命题“关于某个点中心对称的两个三角形全等”改写成“如果……,那么……”的形式是 如果两个三角形关于某个点中心对称,那么这两个三角形全等 .
12.说明命题“若a>b,则ac>bc”是假命题的一个反例的c的值可以是 0(答案不唯一) .
13.(2024·漳州期中)(1)如图,“若∠1=∠2,则AB∥CD”,该命题是假命题(填“真命题”或“假命题”).
【解析】(1)由题中图形可知,∠1,∠2既不是同位角也不是内错角,即使∠1=∠2也不能得到AB∥CD,故该命题为假命题;
(2)若上述命题为真命题,请说明理由;若上述命题为假命题,请你再添加一条件,使该命题成为真命题,并说明理由.
【解析】(2)添加BE∥DF(答案不唯一).
理由如下:∵BE∥DF,∴∠EBD=∠FDN.
又∵∠1=∠2,∴∠EBD-∠1=∠FDN-∠2,
即∠ABD=∠CDN,∴AB∥CD.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(推理能力)【阅读】在证明命题“如果a>b>0,c<0,那么a2+bc>ab+ac”时,小明的证明过程如下:
证明:∵a>b>0,
∴a2> ,∴a2+bc> .
∵a>b,c<0,
∴bc> ,∴ab+bc> ,
∴a2+bc>ab+ac.
【问题解决】
(1)请将上面的证明过程填写完整;
(2)有以下几个条件①a>b,②a .你选择的条件序号是 ,并给出证明过程.
【解析】(1)∵a>b>0,∴a2> ab,∴a2+bc> ab+bc .
∵a>b,c<0,∴bc>ac,∴ab+bc> ab+ac,∴a2+bc>ab+ac .
(2)选择②④ .
证明如下: ∵a∵a < b,∴-a>-b,∴>.
