边角边
【A层 基础夯实】
知识点1 判定两三角形全等的基本事实:边角边
1.(2024·徐州质检)如图AC,BD相交于点O,OA=OD,用“S.A.S.”证明△ABO≌△DCO还需( )
A.AB=DC B.∠A=∠D
C.OB=OC D.∠AOB=∠DOC
2.(2024·北京期中)在新年联欢会上,老师设计了“你说我画”的游戏.游戏规则如下:甲同学需要根据乙同学提供的三个条件画出形状和大小都确定的三角形.已知乙同学说出的前两个条件是“AB=4,BC=2”.现仅存下列三个条件:①∠A=45°;②∠B=45°;③∠C=45°.为了让甲同学画出形状和大小都确定的△ABC,乙同学可以选择的条件有 ( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
3.在测量一个小口圆形容器的壁厚时,小明用“x型转动钳”按如图方法进行测量,其中OA=OD,OB=OC,测量AB的长度即可知道CD的长度.此方法用到了一个重要的和两个三角形有关的数学知识是 ;这个数学知识成立的依据是 .
4.已知:如图,AE=AC,AD=AB,∠EAC=∠DAB,试说明△ADE≌△ABC.
知识点2 边角边的应用
5.(2024·厦门期中)如图,OA=OB,点C,D分别在线段OA,OB的延长线上,且OC=OD,∠O=60°,∠C=25°,则∠BED等于 ( )
A.40° B.50° C.60° D.70°
6.平面上有△ACD与△BCE,其中AD与BE相交于P点,如图,若AC=BC,∠A=∠B,
AD=BE,∠ACE=55°,∠BCD=155°,则∠BPD的度数为 ( )
A.110° B.125° C.130° D.155°
7.如图,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,∠1=21°,∠2=29°,则∠3= .
8.(2024·娄底期中)如图,点A,B,C,D在同一条直线上,点E,F分别在直线AB的两侧,且AE=BF,AE∥BF,AC=BD.
(1)求证:△ACE≌△BDF;
(2)若AB=8,AC=2,求CD的长.
【B层 能力进阶】
9.(2024·金华期末)如图是某纸伞截面示意图,伞柄AP平分两条伞骨所成的
角∠BAC,AE=AF.若支杆DF需要更换,则所换长度应与 长度相等 ( )
A.BE B.AE C.DE D.DP
10.在△ABC和△A'B'C'中,∠A+∠B=∠C,∠B'+∠C'=∠A',b-a=b'-c',b+a=b'+c',则这两个三角形的关系是 ( )
A.不一定全等 B.不全等
C.根据S.A.S.全等 D.无法确定
11.如图,在△ABC和△DEF中,点B,F,C,E在同一直线上,AB=DE,∠B=∠E,请添加一个条件,利用S.A.S.判定△ABC≌△DEF.添加的条件可以是 (只需写一个,不添加辅助线).
12.茗茗用同种材料制成的金属框架如图所示,已知∠B=∠E,AB=DE,BF=EC,其中△ABC的周长为24 cm,CF=3 cm,则制成整个金属框架所需这种材料的长度为 cm.
13.(2024·厦门期中)如图,已知∠ACB=∠DCE=90°,AC=BC,DC=EC.猜想直线AD与BE的位置关系,并给予证明.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(几何直观、推理能力)如图,在四边形ABCD中,∠A=∠BCD=90°,BC=DC,延长AD到E点,使DE=AB.
求证:(1)∠ABC=∠EDC;
(2)△ABC≌△EDC. 边角边
【A层 基础夯实】
知识点1 判定两三角形全等的基本事实:边角边
1.(2024·徐州质检)如图AC,BD相交于点O,OA=OD,用“S.A.S.”证明△ABO≌△DCO还需(C)
A.AB=DC B.∠A=∠D
C.OB=OC D.∠AOB=∠DOC
2.(2024·北京期中)在新年联欢会上,老师设计了“你说我画”的游戏.游戏规则如下:甲同学需要根据乙同学提供的三个条件画出形状和大小都确定的三角形.已知乙同学说出的前两个条件是“AB=4,BC=2”.现仅存下列三个条件:①∠A=45°;②∠B=45°;③∠C=45°.为了让甲同学画出形状和大小都确定的△ABC,乙同学可以选择的条件有 (B)
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
3.在测量一个小口圆形容器的壁厚时,小明用“x型转动钳”按如图方法进行测量,其中OA=OD,OB=OC,测量AB的长度即可知道CD的长度.此方法用到了一个重要的和两个三角形有关的数学知识是 △AOB≌△DOC ;这个数学知识成立的依据是 S.A.S. .
4.已知:如图,AE=AC,AD=AB,∠EAC=∠DAB,试说明△ADE≌△ABC.
【解析】∵∠EAC=∠DAB,
∴∠EAC+∠CAD=∠DAB+∠CAD,
∴∠EAD=∠CAB,
在△EAD和△CAB中,
∴△EAD≌△CAB(S.A.S.).
知识点2 边角边的应用
5.(2024·厦门期中)如图,OA=OB,点C,D分别在线段OA,OB的延长线上,且OC=OD,∠O=60°,∠C=25°,则∠BED等于 (D)
A.40° B.50° C.60° D.70°
6.平面上有△ACD与△BCE,其中AD与BE相交于P点,如图,若AC=BC,∠A=∠B,
AD=BE,∠ACE=55°,∠BCD=155°,则∠BPD的度数为 (C)
A.110° B.125° C.130° D.155°
7.如图,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,∠1=21°,∠2=29°,则∠3= 50° .
8.(2024·娄底期中)如图,点A,B,C,D在同一条直线上,点E,F分别在直线AB的两侧,且AE=BF,AE∥BF,AC=BD.
(1)求证:△ACE≌△BDF;
【解析】(1)∵AE∥BF,∴∠A=∠B,
在△ACE和△BDF中,
∴△ACE≌△BDF(S.A.S.).
(2)若AB=8,AC=2,求CD的长.
【解析】(2)由(1)知△ACE≌△BDF,
∴BD=AC=2.
∵AB=8,∴CD=AB-AC-BD=4.
【B层 能力进阶】
9.(2024·金华期末)如图是某纸伞截面示意图,伞柄AP平分两条伞骨所成的
角∠BAC,AE=AF.若支杆DF需要更换,则所换长度应与 长度相等 (C)
A.BE B.AE C.DE D.DP
10.在△ABC和△A'B'C'中,∠A+∠B=∠C,∠B'+∠C'=∠A',b-a=b'-c',b+a=b'+c',则这两个三角形的关系是 (C)
A.不一定全等 B.不全等
C.根据S.A.S.全等 D.无法确定
11.如图,在△ABC和△DEF中,点B,F,C,E在同一直线上,AB=DE,∠B=∠E,请添加一个条件,利用S.A.S.判定△ABC≌△DEF.添加的条件可以是 BF=CE(答案不唯一) (只需写一个,不添加辅助线).
12.茗茗用同种材料制成的金属框架如图所示,已知∠B=∠E,AB=DE,BF=EC,其中△ABC的周长为24 cm,CF=3 cm,则制成整个金属框架所需这种材料的长度为 45 cm.
13.(2024·厦门期中)如图,已知∠ACB=∠DCE=90°,AC=BC,DC=EC.猜想直线AD与BE的位置关系,并给予证明.
【解析】
AD⊥BE,证明如下:延长AD交BE于点F,交BC于点G,
∵∠ACB=∠DCE=90°,
∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB,
∴∠ACD=∠BCE.
在△ADC和△BEC中,
∴△ADC≌△BEC(S.A.S.),
∴∠DAC=∠EBC.
∵∠AGC=∠BGF,在△AGC和△BGF中,
∵ ∠BFG=180°-∠EBC-∠BGF,∠ACB=180°-∠DAC-∠AGC,
∴∠BFG=∠ACB=90°,∴AD⊥BE.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(几何直观、推理能力)如图,在四边形ABCD中,∠A=∠BCD=90°,BC=DC,延长AD到E点,使DE=AB.
求证:(1)∠ABC=∠EDC;
【证明】(1)在四边形ABCD中,
∵∠A=∠BCD=90°,
∴∠ABC+∠ADC=180°.
又∵∠ADC+∠EDC=180°,
∴∠ABC=∠EDC.
(2)△ABC≌△EDC.
【证明】(2)连结AC.
在△ABC和△EDC中,
∴△ABC≌△EDC(S.A.S.).
