角边角
【A层 基础夯实】
知识点1 判定三角形全等的基本事实:角边角
1.如图,已知∠1=∠2,要依据“A.S.A.”判定△ABD和△ACD全等的条件是 ( )
A.AB=AC B.∠B=∠C
C.∠BDA=∠CDA D.BD=CD
2.(2024·宁波期中)根据下列已知条件,能唯一画出△ABC的是 ( )
A.AB=3,BC=4,CA=8
B.∠A=60°,∠B=45°,AB=4
C.AB=4,BC=3,∠A=30°
D.∠C=90°,AB=6
3.如图,AD,BC相交于点O,已知∠A=∠C,要直接根据“A.S.A.”证明△AOB≌△COD,还要添加一个条件是 .
4.(2024·安阳期末)如图,点C,F,E,B在一条直线上,∠CFD=∠BEA,CE=BF,CD∥AB,求证:△CFD≌△BEA.
知识点2 判定三角形全等的判定定理:角角边
5.如图,将长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠后点B落在点E处,判断△EFA≌△DFC的依据是 ( )
A.S.A.S. B.A.S.A.
C.A.A.S. D.以上都不对
6.如图,PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别为D,E,且AP平分∠BAC,则△APD与△APE全等的理由是 ( )
A.S.A.S. B.A.A.S.
C.A.S.A. D.以上都不对
7. (2024·泸州质检)如图,点B,F,C,E在一条直线上,AB∥ED,AC∥FD,要使△ABC≌△DEF,只需添加一个条件利用A.A.S.证明,则这个条件可以是 .
8.(2024·南京期中)如图,点E,C在BF上,AC=DF,AB∥DE,∠A=∠D.求证:BE=CF.
【B层 能力进阶】
9.如图,点B,E,C,F在一条直线上,AB∥DE,且AB=DE,添加一个条件不能使
△ABC≌△DEF的是 ( )
A.BE=CF B.∠ACB=∠F
C.AC=DF D.∠A=∠D
10.如图,△ABC和△CED为直角三角形,∠B=∠E=90°,AC=CD且AC⊥CD,则下列说法正确的是 .(填序号)
①△ABC≌△CED;②AD=AB+DE;
③∠BAC+∠CDE=90°.
11.如图,在△ACD中,∠CAD=90°,AC=5,AD=12,AB∥CD,E是CD上一点,BE交AD于点F,若AB=DE,则图中阴影部分的面积为 .
12.(2024·宜昌期中)如图,△ABC的两条高AD,CE交于点F,AF=BC.
(1)求证:BE=EF;
(2)若BE=4,CF=5,求△ACF的面积.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(几何直观、推理能力)已知△ABC,点D,F分别为线段AC,AB上两点,连结BD,CF交于点E.
(1)若BD⊥AC,CF⊥AB,如图1所示,∠A+∠BEC= ;
(2)若BD平分∠ABC,CF平分∠ACB,如图2所示,试说明此时∠BAC与∠BEC的数量关系;
(3)在(2)的条件下,若∠BAC=60°,试说明:EF=ED. 角边角
【A层 基础夯实】
知识点1 判定三角形全等的基本事实:角边角
1.如图,已知∠1=∠2,要依据“A.S.A.”判定△ABD和△ACD全等的条件是 (C)
A.AB=AC B.∠B=∠C
C.∠BDA=∠CDA D.BD=CD
2.(2024·宁波期中)根据下列已知条件,能唯一画出△ABC的是 (B)
A.AB=3,BC=4,CA=8
B.∠A=60°,∠B=45°,AB=4
C.AB=4,BC=3,∠A=30°
D.∠C=90°,AB=6
3.如图,AD,BC相交于点O,已知∠A=∠C,要直接根据“A.S.A.”证明△AOB≌△COD,还要添加一个条件是 AO=CO .
4.(2024·安阳期末)如图,点C,F,E,B在一条直线上,∠CFD=∠BEA,CE=BF,CD∥AB,求证:△CFD≌△BEA.
【证明】∵CD∥AB,∴∠C=∠B,
又∵CE=BF,∴CE-EF=BF-EF,∴CF=BE,
在△CFD和△BEA中,,
∴△CFD≌△BEA(A.S.A.).
知识点2 判定三角形全等的判定定理:角角边
5.如图,将长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠后点B落在点E处,判断△EFA≌△DFC的依据是 (C)
A.S.A.S. B.A.S.A.
C.A.A.S. D.以上都不对
6.如图,PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别为D,E,且AP平分∠BAC,则△APD与△APE全等的理由是 (B)
A.S.A.S. B.A.A.S.
C.A.S.A. D.以上都不对
7. (2024·泸州质检)如图,点B,F,C,E在一条直线上,AB∥ED,AC∥FD,要使△ABC≌△DEF,只需添加一个条件利用A.A.S.证明,则这个条件可以是 AB=DE(答案不唯一) .
8.(2024·南京期中)如图,点E,C在BF上,AC=DF,AB∥DE,∠A=∠D.求证:BE=CF.
【证明】∵AB∥DE,∴∠B=∠DEF.
在△ABC和△DEF中,,
∴△ABC≌△DEF(A.A.S.).
∴BC=EF.∴BC-EC=EF-EC,即BE=CF.
【B层 能力进阶】
9.如图,点B,E,C,F在一条直线上,AB∥DE,且AB=DE,添加一个条件不能使
△ABC≌△DEF的是 (C)
A.BE=CF B.∠ACB=∠F
C.AC=DF D.∠A=∠D
10.如图,△ABC和△CED为直角三角形,∠B=∠E=90°,AC=CD且AC⊥CD,则下列说法正确的是 ①③ .(填序号)
①△ABC≌△CED;②AD=AB+DE;
③∠BAC+∠CDE=90°.
11.如图,在△ACD中,∠CAD=90°,AC=5,AD=12,AB∥CD,E是CD上一点,BE交AD于点F,若AB=DE,则图中阴影部分的面积为 30 .
12.(2024·宜昌期中)如图,△ABC的两条高AD,CE交于点F,AF=BC.
(1)求证:BE=EF;
【解析】(1)∵△ABC的两条高AD,CE交于点F,
∴∠BEC=∠AEC=90°,∠ADB=90°,
∴∠BCE+∠B=∠DAB+∠B=90°,
即∠BCE=∠DAB,
在△BCE与△FAE中,,
∴△BCE≌△FAE(A.A.S.),∴BE=EF.
(2)若BE=4,CF=5,求△ACF的面积.
【解析】(2)∵△BCE≌△FAE,∴AE=CE,
∵BE=4,CF=5,∴EF=4,∴CE=AE=CF+EF=9,
∴S△ACF=CF·AE=×5×9=22.5.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(几何直观、推理能力)已知△ABC,点D,F分别为线段AC,AB上两点,连结BD,CF交于点E.
(1)若BD⊥AC,CF⊥AB,如图1所示,∠A+∠BEC=180°;
【解析】(1)∵BD⊥AC,CF⊥AB,
∴∠A+∠ACF=90°,∠DEC+∠ACF=90°,∴∠A=∠DEC,
即:∠A+∠BEC=∠DEC+∠BEC=180°.
(2)若BD平分∠ABC,CF平分∠ACB,如图2所示,试说明此时∠BAC与∠BEC的数量关系;
【解析】(2)∵BD平分∠ABC,CF平分∠ACB,
∴∠DBC=∠ABC,∠FCB=∠ACB,
∵∠BEC=180°-∠DBC-∠FCB,
即∠BEC=180°-(∠DBC+∠FCB)
=180°-(∠ABC+∠ACB)
=180°-(180°-∠BAC)=90°+∠BAC.
∴∠BEC=90°+∠BAC;
(3)在(2)的条件下,若∠BAC=60°,试说明:EF=ED.
【解析】(3)如图,作∠BEC的平分线EH交BC于点H,
∵∠BAC=60°,
∴∠BEC=90°+×60°=120°,
∴∠BEF=∠CED=60°,
又∵EH平分∠BEC,
∴∠BEH=∠CEH=60°,
在△BFE和△BHE中,,
∴△BFE≌△BHE(A.S.A.),∴EF=EH,
在△CDE和△CHE中,,
∴△CDE≌△CHE(A.S.A.),
∴DE=EH,即EF=ED.
