边边边
【A层 基础夯实】
知识点1 判定三角形全等的基本事实:边边边
1.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的边BC上的中线,那么可以证明△ABD≌△ACD,这里证明全等所使用的判定方法是 (D)
A.S.A.S. B.A.A.S.
C.A.S.A. D.S.S.S.
2.如图,在△ABD和△ACD中,已知AB=AC,若利用“S.S.S.”得到△ABD≌△ACD,则需要添加的条件是 (C)
A.AD=BD B.AD=CD
C.BD=CD D.AB=CD
3.如图,在△ABC和△BDE中,点C在边BD上,边AC交边BE于点F,若AC=BD,AB=ED,BC=BE,则∠ACB等于 (C)
A.∠EDB B.∠BED C.∠EBD D.∠ABF
4.如图,点A,B,C,D在同一直线上,AE=BF,EC=FD,AB=CD.求证:AE∥BF.
【证明】∵AB=CD,∴AB+BC=CD+BC,∴AC=BD,
在△EAC和△FBD中,,
∴△EAC≌△FBD(S.S.S.),
∴∠A=∠FBD,∴AE∥BF.
知识点2 三角形全等的判定定理的综合应用
5.(易错警示题·概念不清) (2024·沧州期中)如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于O点,且AB=AD,CB=CD,则图中全等三角形共有 (C)
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
6.如图,已知∠AOB,按照以下步骤作图:①以点O为圆心,以适当的长为半径作弧,分别交∠AOB的两边于C,D两点,连结CD;②分别以点C,D为圆心,以大于线段CD的长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点E,连结CE,DE;③连结OE交CD于点M.下列结论中错误的是 (D)
A.CE=DE
B.∠COE=∠DOE
C.S四边形OCED=CD·OE
D.∠OCD=∠ECD
7.如图,∠1=∠2,∠3=∠4,则图中全等的三角形有 3 对.
8.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠ADC=180°,点E,F分别是BC,CD上的点,且EF=BE+FD,连结AE,AF.延长FD到点G,使DG=BE,连结AG.若∠EAF=55°,求∠FAG的度数.
【解析】∵∠B+∠ADC=180°,∠ADG+∠ADC=180°,
∴∠ADG=∠B,
在△ADG和△ABE中,,
∴△ADG≌△ABE(S.A.S.),
∴AG=AE,
∵EF=BE+FD,DG=BE,
∴EF=DG+FD=GF,
在△AFG和△AFE中,,
∴△AEF≌△AGF(S.S.S.),
∴∠FAG=∠EAF=55°.
【B层 能力进阶】
9.如图,给出了小明一个画图的过程,这个画图过程说明的事实是 (C)
A.两个三角形的两条边和夹角对应相等,这两个三角形全等
B.两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等,这两个三角形全等
C.两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等,这两个三角形不一定全等
D.两个三角形的两个角和夹边对应相等,这两个三角形不一定全等
10.(2024·三明期中)如图,OA=OB,点C,D分别在OA,OB上,AD,BC相交于点E,且∠A=∠B,有下列3个结论:
①△AOD≌△BOC;②△ACE≌△BDE;③点E在∠O的平分线上.
其中正确的结论是 (D)
A.只有① B.只有② C.①② D.①②③
11.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,D,E是BC边上的点,连结AD,AE,以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD'E,连结D'C,若BD=CD',则∠DAE= 60° .
12.如图,CA=CB,AD=BD,M,N分别是AC,BC的中点,若△ADM的面积为,则图中阴影部分的面积为 3 .
【C层 创新挑战(选做)】
13.(几何直观、推理能力)(2024·南宁期中)
【综合与实践】
阅读材料:我们介绍一种新的几何图形——“筝形”.定义:两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.
我们研究一种新几何图形的一般过程:先学习定义,再研究性质和判定.而性质的研究,其实就是对图形边、角、对角线等基本要素的研究.八年级某班按照这样的思路对“筝形”的性质开展研究:
第一步:根据定义剪出一个“筝形”;
第二步:用测量、折纸等方法猜想“筝形”边、角、对角线的结论;
第三步:通过证明得到性质.
解答问题:
(1)猜想“筝形”的对角线有怎样的结论 请写出来.
【解析】 (1)“筝形”的对角线互相垂直.
(2)请画出图形,写出已知,求证并证明得到对角线的性质.
【解析】(2)
已知:四边形ABDC是“筝形”,AB=AC,DB=DC,对角线AD,BC相交于点O.
求证:AD⊥BC.
∵,∴△ABD≌△ACD(S.S.S.),∴∠BAD=∠CAD,
∵,∴△ABO≌△ACO(S.A.S.),∴∠AOB=∠AOC,
∵∠AOB+∠AOC=180°,∴∠AOB=∠AOC=90°,∴AD⊥BC;
(3)从性质进一步探究可得到“筝形”的面积公式,请直接写出“筝形”的面积公式.
【解析】(3)∵AD⊥BC,
∴S筝形ABDC=S△ABC+S△DBC=BC·AO+BC·DO=BC·(AO+DO)=BC·AD,
∴“筝形”的面积等于对角线乘积的一半.边边边
【A层 基础夯实】
知识点1 判定三角形全等的基本事实:边边边
1.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的边BC上的中线,那么可以证明△ABD≌△ACD,这里证明全等所使用的判定方法是 ( )
A.S.A.S. B.A.A.S.
C.A.S.A. D.S.S.S.
2.如图,在△ABD和△ACD中,已知AB=AC,若利用“S.S.S.”得到△ABD≌△ACD,则需要添加的条件是 ( )
A.AD=BD B.AD=CD
C.BD=CD D.AB=CD
3.如图,在△ABC和△BDE中,点C在边BD上,边AC交边BE于点F,若AC=BD,AB=ED,BC=BE,则∠ACB等于 ( )
A.∠EDB B.∠BED C.∠EBD D.∠ABF
4.如图,点A,B,C,D在同一直线上,AE=BF,EC=FD,AB=CD.求证:AE∥BF.
知识点2 三角形全等的判定定理的综合应用
5.(易错警示题·概念不清) (2024·沧州期中)如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于O点,且AB=AD,CB=CD,则图中全等三角形共有 ( )
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
6.如图,已知∠AOB,按照以下步骤作图:①以点O为圆心,以适当的长为半径作弧,分别交∠AOB的两边于C,D两点,连结CD;②分别以点C,D为圆心,以大于线段CD的长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点E,连结CE,DE;③连结OE交CD于点M.下列结论中错误的是 ( )
A.CE=DE
B.∠COE=∠DOE
C.S四边形OCED=CD·OE
D.∠OCD=∠ECD
7.如图,∠1=∠2,∠3=∠4,则图中全等的三角形有 对.
8.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠ADC=180°,点E,F分别是BC,CD上的点,且EF=BE+FD,连结AE,AF.延长FD到点G,使DG=BE,连结AG.若∠EAF=55°,求∠FAG的度数.
【B层 能力进阶】
9.如图,给出了小明一个画图的过程,这个画图过程说明的事实是 ( )
A.两个三角形的两条边和夹角对应相等,这两个三角形全等
B.两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等,这两个三角形全等
C.两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等,这两个三角形不一定全等
D.两个三角形的两个角和夹边对应相等,这两个三角形不一定全等
10.(2024·三明期中)如图,OA=OB,点C,D分别在OA,OB上,AD,BC相交于点E,且∠A=∠B,有下列3个结论:
①△AOD≌△BOC;②△ACE≌△BDE;③点E在∠O的平分线上.
其中正确的结论是 ( )
A.只有① B.只有② C.①② D.①②③
11.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,D,E是BC边上的点,连结AD,AE,以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD'E,连结D'C,若BD=CD',则∠DAE= .
12.如图,CA=CB,AD=BD,M,N分别是AC,BC的中点,若△ADM的面积为,则图中阴影部分的面积为 .
【C层 创新挑战(选做)】
13.(几何直观、推理能力)(2024·南宁期中)
【综合与实践】
阅读材料:我们介绍一种新的几何图形——“筝形”.定义:两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.
我们研究一种新几何图形的一般过程:先学习定义,再研究性质和判定.而性质的研究,其实就是对图形边、角、对角线等基本要素的研究.八年级某班按照这样的思路对“筝形”的性质开展研究:
第一步:根据定义剪出一个“筝形”;
第二步:用测量、折纸等方法猜想“筝形”边、角、对角线的结论;
第三步:通过证明得到性质.
解答问题:
(1)猜想“筝形”的对角线有怎样的结论 请写出来.
(2)请画出图形,写出已知,求证并证明得到对角线的性质.
(3)从性质进一步探究可得到“筝形”的面积公式,请直接写出“筝形”的面积公式.
