斜边直角边
【A层 基础夯实】
知识点1 直角三角形全等的判定定理:斜边直角边
1.如图,∠B=∠DEF=90°,AB=DE,要根据“H.L.”判定△ABC≌△DEF,则需添加的条件是 (B)
A.BC=EF B.AC=DF
C.∠A=∠D D.∠ACB=∠F
2.(2024·沧州期中)图1是Rt△ABC,图2是嘉琪在已有∠MB'N=90°的情况下,所画的Rt△A'B'C'≌Rt△ABC的部分过程,则依据是 (D)
A.S.A.S. B.A.S.A.
C.S.S.S. D.H.L.
3.如图,在△ABC和△DFE中,AC=DE,∠A=∠D=90°,若要用“斜边直角边(H.L.)”直接证明Rt△ABC≌Rt△DFE,则还需补充的条件是 BC=FE .
4.如图,BE、CD是△ABC的高,且BD=EC,求证:Rt△BCD≌Rt△CBE.
【证明】∵BE,CD是△ABC的高,
∴∠CDB=∠BEC=90°,
在Rt△BCD和Rt△CBE中,,
∴Rt△BCD≌Rt△CBE(H.L.).
知识点2 直角三角形全等的综合判定
5.(2024·池州期末)下列条件,不能判定两个直角三角形全等的是 (B)
A.斜边和一直角边对应相等
B.两个锐角对应相等
C.一锐角和斜边对应相等
D.两条直角边对应相等
6.(2024·广州期中)如图所示,已知AB=AC,AE=AF,AF⊥BF于F,AE⊥EC于E,则图中全等的三角形共有 (A)
A.4对 B.3对 C.2对 D.1对
7.如图,直线AB,CD交于点O,ME⊥AB于点E,MF⊥CD于点F,若ME=MF,
且∠AOC=52°,则∠OME的度数为 26° .
8.如图,AD是△ABC的高,E为AC上一点,BE交AD于F,且有BF=AC,FD=CD.
(1)求∠ABC的度数;
【解析】(1)∵AD为△ABC的高,
∴∠BDF=∠ADC=90°.
在Rt△BDF和Rt△ADC中,,
∴Rt△BDF≌Rt△ADC(H.L.),
∴BD=AD,∴△ABD为等腰直角三角形,故∠ABC=45°.
(2)求证:BE⊥AC.
【解析】(2)∵Rt△BDF≌Rt△ADC,
∴∠FBD=∠CAD,即∠EBC=∠CAD.
∵在Rt△ADC中,∠CAD+∠C=90°,
∴在△BCE中,∠EBC+∠C=90°,
∴∠BEC=90°,∴BE⊥AC.
【B层 能力进阶】
9.如图,有两个长度相等的滑梯靠在墙上,且墙与地面垂直,滑梯AB的高度AC与滑梯DF的水平宽度EF相等,则△ABC≌△FDE的依据是 (D)
A.S.S.S. B.S.A.S.
C.A.A.S. D.H.L.
10.如图,∠1=∠2,PC⊥OA于C,PD⊥OB于D,则下列结论中错误的是 (B)
A.PC=PD B.OA=OB
C.∠OPC=∠OPD D.OC=OD
11. (2024·南阳期中)如图,在△ABC中,∠C=90°,点D在AB上,BC=BD,DE⊥AB交AC于点E,△ABC的周长为12 cm,△ADE的周长为6 cm,则边BC的长为 3 cm.
12.如图,AD是△ABC的中线,BE⊥AD,垂足为E,CF⊥AD,交AD的延长线于点F,G是DA延长线上一点,连结BG.
(1)求证:BE=CF;
【解析】(1)∵AD是△ABC的中线,
∴BD=CD,∵BE⊥AD,CF⊥AD,
∴∠BED=∠F=90°,
在△BED和△CFD中, ,
∴△BED≌△CFD(A.A.S.),∴BE=CF;
(2)若BG=CA,DE=3,求GA的长.
【解析】(2)在Rt△BGE和Rt△CAF中,,
∴Rt△BGE≌Rt△CAF(H.L.),
∴GE=AF,∴AG=EF.
∵△BED≌△CFD,∴DE=DF,∴GA=2DE=6.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(几何直观、推理能力)(2024·烟台期末)
【阅读材料】“截长法”是几何题中一种辅助线的添加方法,是指在长线段中截取一段等于已知线段,常用于解答线段间的数量关系,当题目中有等腰三角形、角平分线等条件,可用“截长法”构造全等三角形来进行解题.
【问题解决】
(1)如图①,在△ABC中,∠ACB=2∠B,∠C=90°,AD为∠BAC的平分线,在AB上截取AE=AC,连结DE.请直接写出线段AB,AC,CD之间的数量关系;
【解析】(1)AB=AC+CD,
理由∵AD为∠BAC的平分线,
∴∠EAD=∠CAD,
在△EAD和△CAD中,,
∴△EAD≌△CAD(S.A.S.),
∴ED=CD,∠AED=∠C=90°,
∴∠BED=90°,
∵∠ACB=2∠B=90°,
∴∠B=45°,
∴∠EDB=∠B=45°,
∴ED=EB,∴EB=CD,
∴AB=AE+EB=AC+CD.
【拓展延伸】
(2)如图②,在△ABC中,∠ACB=2∠B,∠C≠90°,AD为∠BAC的平分线.请判断线段AB,AC,CD之间的数量关系并说明理由;
【解析】(2)AB=AC+CD,
理由:如图,在AB上截取AF=AC,连结FD,
∵AD平分∠BAC,
∴∠FAD=∠CAD,
在△FAD和△CAD中,,
∴△FAD≌△CAD(S.A.S.),
∴FD=CD,∠AFD=∠ACB,
∵∠AFD=∠B+∠FDB,∠ACB=2∠B,
∴∠B+∠FDB=2∠B,
∴∠FDB=∠B,∴FD=FB,∴FB=CD,
∴AB=AF+FB=AC+CD.
(3)如图③,在△ABC中,∠ACB=2∠B,∠ACB≠90°,AD为∠BAC的补角的平分线.请判断线段AB,AC,CD之间的数量关系并说明理由.
【解析】(3)CD=AB+AC,
理由:如图,在BA的延长线上取一点G,使AG=AC,连结DG,
∵AD是∠CAG的平分线,∴∠GAD=∠CAD,
在△GAD和△CAD中,,
∴△GAD≌△CAD(S.A.S.),
∴GD=CD,∠AGD=∠ACD,
∴∠AGD=180°-∠B-∠GDB,∠ACD=180°-∠ACB,
∴180°-∠B-∠GDB=180°-∠ACB,
∴∠B+∠GDB=∠ACB,
∵∠ACB=2∠B,
∴∠B+∠GDB=2∠B,
∴∠GDB=∠B,
∴GD=GB=AB+AG=AB+AC,
∴CD=AB+AC. 斜边直角边
【A层 基础夯实】
知识点1 直角三角形全等的判定定理:斜边直角边
1.如图,∠B=∠DEF=90°,AB=DE,要根据“H.L.”判定△ABC≌△DEF,则需添加的条件是 ( )
A.BC=EF B.AC=DF
C.∠A=∠D D.∠ACB=∠F
2.(2024·沧州期中)图1是Rt△ABC,图2是嘉琪在已有∠MB'N=90°的情况下,所画的Rt△A'B'C'≌Rt△ABC的部分过程,则依据是 ( )
A.S.A.S. B.A.S.A.
C.S.S.S. D.H.L.
3.如图,在△ABC和△DFE中,AC=DE,∠A=∠D=90°,若要用“斜边直角边(H.L.)”直接证明Rt△ABC≌Rt△DFE,则还需补充的条件是 .
4.如图,BE、CD是△ABC的高,且BD=EC,求证:Rt△BCD≌Rt△CBE.
知识点2 直角三角形全等的综合判定
5.(2024·池州期末)下列条件,不能判定两个直角三角形全等的是 ( )
A.斜边和一直角边对应相等
B.两个锐角对应相等
C.一锐角和斜边对应相等
D.两条直角边对应相等
6.(2024·广州期中)如图所示,已知AB=AC,AE=AF,AF⊥BF于F,AE⊥EC于E,则图中全等的三角形共有 ( )
A.4对 B.3对 C.2对 D.1对
7.如图,直线AB,CD交于点O,ME⊥AB于点E,MF⊥CD于点F,若ME=MF,
且∠AOC=52°,则∠OME的度数为 .
8.如图,AD是△ABC的高,E为AC上一点,BE交AD于F,且有BF=AC,FD=CD.
(1)求∠ABC的度数;
(2)求证:BE⊥AC.
【B层 能力进阶】
9.如图,有两个长度相等的滑梯靠在墙上,且墙与地面垂直,滑梯AB的高度AC与滑梯DF的水平宽度EF相等,则△ABC≌△FDE的依据是 ( )
A.S.S.S. B.S.A.S.
C.A.A.S. D.H.L.
10.如图,∠1=∠2,PC⊥OA于C,PD⊥OB于D,则下列结论中错误的是 ( )
A.PC=PD B.OA=OB
C.∠OPC=∠OPD D.OC=OD
11. (2024·南阳期中)如图,在△ABC中,∠C=90°,点D在AB上,BC=BD,DE⊥AB交AC于点E,△ABC的周长为12 cm,△ADE的周长为6 cm,则边BC的长为 cm.
12.如图,AD是△ABC的中线,BE⊥AD,垂足为E,CF⊥AD,交AD的延长线于点F,G是DA延长线上一点,连结BG.
(1)求证:BE=CF;
(2)若BG=CA,DE=3,求GA的长.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(几何直观、推理能力)(2024·烟台期末)
【阅读材料】“截长法”是几何题中一种辅助线的添加方法,是指在长线段中截取一段等于已知线段,常用于解答线段间的数量关系,当题目中有等腰三角形、角平分线等条件,可用“截长法”构造全等三角形来进行解题.
【问题解决】
(1)如图①,在△ABC中,∠ACB=2∠B,∠C=90°,AD为∠BAC的平分线,在AB上截取AE=AC,连结DE.请直接写出线段AB,AC,CD之间的数量关系;
【拓展延伸】
(2)如图②,在△ABC中,∠ACB=2∠B,∠C≠90°,AD为∠BAC的平分线.请判断线段AB,AC,CD之间的数量关系并说明理由;
(3)如图③,在△ABC中,∠ACB=2∠B,∠ACB≠90°,AD为∠BAC的补角的平分线.请判断线段AB,AC,CD之间的数量关系并说明理由.
