等腰三角形的性质(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 等边对等角性质的应用
1.如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=75°,BD是AC边上的高,则∠ABD的度数为 (C)
A.15° B.30° C.60° D.75°
2.(易错警示题·忽视分类讨论遗漏情况)等腰三角形的一个角是70°,它的底角的大小为 (D)
A.70° B.40°
C.70°或40° D.70°或55°
3.如图,在△ABC中,AC=BC,∠C=50°,DE⊥AC于点E,FD⊥AB于点D,则∠EDF的度数是 65° .
4.(2024·吉林期中)如图,ED⊥AB,FC⊥AB,垂足分别为D,C,AC=BD,AE=BF.
(1)求证:DE=CF;
【解析】(1)∵ED⊥AB,FC⊥AB,
∴∠ADE=∠BCF=90°,
∵AC=BD,则AC+CD=BD+CD,
∴AD=BC,又∵AE=BF,
∴Rt△ADE≌Rt△BCF(H.L.),
∴DE=CF;
(2)若CD=DE,∠A=25°,求∠AEC的度数.
【解析】(2)∵CD=DE,∠CDE=90°,
∴∠DCE=∠DEC=45°,
∵∠A=25°,∴∠AEC=∠DCE-∠A=45°-25°=20°,
∴∠AEC的度数为20°.
知识点2 三线合一
5.(2024·重庆期中)如图,为了让电线杆垂直于地面,工程人员的操作方法是:从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB和AC,点B,E,C在同一直线上且BE=CE时,电线杆DE就垂直于BC,工程人员这种操作方法的依据是(C)
A.等边对等角
B.垂线段最短
C.等腰三角形的三线合一
D.DE是BC的垂直平分线
6.(2024·泰安期中)如图,在△ABC中,BC=AC,CE⊥AB于点E,BD⊥AC于点D,交CE于点F,且BD=CD.若CF=4,则BE的值为 (B)
A.1 B.2 C.3 D.4
7.(2024·连云港质检)如图,AB=AE,BC=ED,∠B=∠E,AF⊥CD,垂足为F,试说明AF平分CD.
【解析】如图,连结AC,AD,
在△ABC和△AED中,
∵AB=AE,∠B=∠E,BC=ED,
∴△ABC≌△AED(S.A.S.),∴AC=AD.
∵AF⊥CD,∴CF=DF.
∴AF平分CD.
【B层 能力进阶】
8.等腰三角形的两个底角相等,顶角的度数比一个底角度数的2倍多20°,则这个底角的度数是(B)
A.30° B.40° C.50° D.60°
9.等腰三角形一个角为30°,其他两个角的度数是 (A)
A.75°,75°或30°,120° B.30°,75°或30°,45°
C.30°,65°或30°,45° D.30°,55°或30°,75°
10.(2022·苏州中考)定义:一个三角形的一边长是另一边长的2倍,这样的三角形叫做“倍长三角形”.若等腰△ABC是“倍长三角形”,底边BC的长为3,则腰AB的长为 6 .
11.(2024·广州期中)已知等腰三角形ABC的两边长a,b满足(a-3)2+|b-4|=0,则等腰三角形ABC的周长为 10或11 .
12.如图,△ABC和△DCE均为等腰直角三角形,且∠ACB=∠DCE=90°,点A,D,E在一条直线上,过点C作CM⊥AE于点M.
(1)试探究AD和BE之间的关系,并说明理由;
【解析】(1)AD和BE之间的关系为AD=BE,AD⊥BE.理由如下:
∵CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°,
∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB,∠CDE=∠CED=45°,
∴∠ACD=∠BCE,∠ADC=180°-∠CDE=135°,
在△ACD和△BCE中,
∵AC=BC,∠ACD=∠BCE,CD=CE,
∴△ACD≌△BCE(S.A.S.),
∴AD=BE,∠ADC=∠BEC=135°,
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90°,
∴AE⊥BE,故AD⊥BE.
(2)若AE=13,BE=6,求CM的值.
【解析】(2)由(1)知AD=BE,∵AE=13,BE=6,
∴DE=AE-AD=AE-BE=13-6=7,
又∵CD=CE,∠DCE=90°,CM⊥AE,
∴CM=DM=EM=DE=3.5.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(几何直观、推理能力、运算能力)小马和小虎在解这样一道题:“如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D,E在边AB上,AE=AC,BD=BC,求∠DCE的度数.”他们经过商量后,结论不一致,小马说:“∠DCE的值与∠B的度数有关,只有知道∠B的度数才能求出∠DCE的度数.”小虎说:“∠DCE的度数是一个定值,与∠B的度数无关.”他们谁说的正确 请说明理由.
【解析】小虎说的对,
理由:∵BD=BC,∴∠BCD=∠BDC.
又∵∠BCD=∠DCE+∠BCE,∠BDC=∠ACD+∠A,
∴∠BCE+∠DCE=∠ACD+∠A①,
∵AE=AC,∴∠CED=∠ECA.
∵∠CED=∠BCE+∠B,∠ECA=∠ACD+∠DCE,
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠B②,
∴①+②,得2∠DCE=∠A+∠B.
∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°,
∴2∠DCE=90°,∴∠DCE=45°.
∴∠DCE的度数是一个定值,与∠B的度数无关. 等腰三角形的性质(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 等边三角形的性质
1.(2024·长沙期中)如图,△ABC为等边三角形,AM∥CN.若∠BAM=25°,则∠BCN= (D)
A.65° B.60° C.45° D.35°
2.如图,直线a∥b,等边△ABC的顶点C在直线b上,若∠2=100°,则∠1的度数为 (A)
A.40° B.45°
C.50° D.55°
3.(2024·北京期中)如图,在等边三角形ABC中,AB=6,BD是AC边上的高,延长BC至点E,使CE=CD,则BE的长为 9 .
4.如图,△ABC和△EFD均为等边三角形,点E,F,D分别在AB,BC,AC上.
(1)若∠BEF=88°,则∠CFD= 88 °;
(2)△BEF是否与△CFD全等 是 .(填“是”或“否”)
知识点2 等边三角形性质的综合应用
5.(2024·赣州期末)如图,△ABC是等边三角形,已知AE=CD,BQ⊥AD于Q,BE与AD交于点P,下列结论中不一定成立的是 (C)
A.∠APE=∠C B.BP=2PQ
C.AQ=BQ D.AE+BD=AB
6.如图,一个等边三角形纸片,剪去一个角后得到一个四边形,则图中∠α+∠β的度数是 (D)
A.220° B.180° C.270° D.240°
7.(易错警示题·分情况讨论遗漏情况)在边长为6的等边三角形ABC中,AD⊥BC于点D,点E在直线BC上,且BE=2,则DE的长为 1或5 .
8.如图,△ABC为任意三角形,以边AB,AC为边分别向外作等边三角形ABD和等边三角形ACE,连结CD,BE并且相交于点P.
求证:(1)CD=BE;
【证明】(1)∵△ABD和△ACD都是等边三角形,
∴AD=AB,AC=AE,∠ACE=∠AEC=60°,∠DAB=∠EAC=60°,
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC,
∴∠DAC=∠BAE,
在△DAC和△BAE中,
∵AD=AB,∠DAC=∠BAE,AC=AE,
∴△DAC≌△BAE(S.A.S.),
∴DC=BE;
(2)∠BPC=120°.
【证明】(2)∵△DAC≌△BAE,
∴∠BEA=∠DCA,
∴∠BPC=∠ECP+∠PEC=∠DCA+∠ACE+∠PEC=∠BEA+∠ACE+∠PEC
=∠ACE+∠AEC=60°+60°=120°.
【B层 能力进阶】
9.如图所示是由9个等边三角形拼成的六边形,已知中间最小的等边三角形的边长为1(图中阴影部分),则此六边形的周长为 (C)
A.18 B.24 C.30 D.36
10.如图,△ABC是等边三角形,直线l过顶点B,作点C关于直线l的对称点D,连结BD,AD,CD,若∠BAD=25°,则∠BCD的度数为 (B)
A.50° B.55° C.60° D.65°
11. (2024·威海期中)如图,在等边△ABC中,AB=5,点D在AB上,且BD=1,点E,F分别是BC,AC上的点,连结DE,EF,如果∠DEF=60°,DE=EF,那么BE的长是 (C)
A.3 B.3.5 C.4 D.4.5
12.如图,△ABC是等边三角形,点D在线段AB上,以CD为边在左侧作等边△CDE,连结EA.
求证:(1)△ACE≌△BCD;
【证明】(1)∵△ABC和△CDE都是等边三角形,
∴BC=AC,DC=EC,∠ACB=∠ECD=60°,
∴∠BCD=∠ACE=60°-∠ACD,
在△BCD和△ACE中,
∵BC=AC,∠BCD=∠ACE,DC=EC,
∴△BCD≌△ACE(S.A.S.);
(2)EA∥CB.
【证明】(2)∵△ABC是等边三角形,
∴∠ACB=∠B=60°,
∵△BCD≌△ACE,
∴∠B=∠CAE=60°,
∴∠CAE=∠ACB=60°,∴EA∥CB.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(几何直观、推理能力、运算能力)(2024·武汉期中)
【问题背景】如图1,在△ABC与△ADE中,若AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.求证:△ABD≌△ACE.
【解析】∵∠BAC=∠DAE,∴∠BAD=∠CAE,
在△ABD和△ACE中,
∵AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,
∴△ABD≌△ACE(S.A.S.);
【尝试运用】如图2,在△ABC和△DEC中,∠ACB=∠DCE=120°,AC=BC,CD=CE,∠ADC=90°,延长ED交AB于点F.求证:F为AB的中点.
【解析】如图,过点A作AG∥BE交EF的延长线于点G,
∵∠BCA=∠DCE,∴∠ACD=∠BCE,
在△ACD和△BCE中,∵AC=BC,∠ACD=∠BCE,CD=CE,
∴△ACD≌△BCE(S.A.S.),∴AD=BE,∠ADC=∠BEC=90°,
∵∠DCE=120°,CD=CE,∴∠CDE=∠CED=30°,∴∠ADG=∠BED=60°,
∵AG∥BE,∴∠AGF=∠BEF=60°,
∴△ADG为等边三角形,∴AD=AG=BE,
在△AGF和△BEF中,∵∠AFG=∠BFE,∠AGF=∠BEF,AG=BE,
∴△AGF≌△BEF(A.A.S.),∴AF=BF,∴F为AB的中点;
【拓展创新】如图3,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,AC边上的高为,点M是直线BC上一动点,连结AM,在直线AM的右侧作等边△AMN,连结BN,则AN+BN的最小值为2.
【解析】如图,取AC的中点P,连结BP,PN,NC,过点B作BQ⊥AC于Q,
∵BQ⊥AC,∠ACB=30°,AB⊥BC,
∴BC=2BQ=2,AC=2AB,∠BAC=60°,
∵点P是AC的中点,
∴2AP=AC,∴AP=AB,
∵△AMN是等边三角形,
∴AM=AN,∠MAN=60°=∠BAC,
∴∠BAM=∠PAN,
∴△APN≌△ABM(S.A.S.),
∴BM=PN,∠ABM=∠APN=90°,
∴点N在AC的垂直平分线上移动,
∴AN=CN,∴AN+BN=BN+CN,
∴当点B,点N,点C三点共线时,BN+CN的最小值为BC的长,
∴AN+BN的最小值为2. 等腰三角形的性质(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 等边对等角性质的应用
1.如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=75°,BD是AC边上的高,则∠ABD的度数为 ( )
A.15° B.30° C.60° D.75°
2.(易错警示题·忽视分类讨论遗漏情况)等腰三角形的一个角是70°,它的底角的大小为 ( )
A.70° B.40°
C.70°或40° D.70°或55°
3.如图,在△ABC中,AC=BC,∠C=50°,DE⊥AC于点E,FD⊥AB于点D,则∠EDF的度数是 .
4.(2024·吉林期中)如图,ED⊥AB,FC⊥AB,垂足分别为D,C,AC=BD,AE=BF.
(1)求证:DE=CF;
(2)若CD=DE,∠A=25°,求∠AEC的度数.
知识点2 三线合一
5.(2024·重庆期中)如图,为了让电线杆垂直于地面,工程人员的操作方法是:从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB和AC,点B,E,C在同一直线上且BE=CE时,电线杆DE就垂直于BC,工程人员这种操作方法的依据是( )
A.等边对等角
B.垂线段最短
C.等腰三角形的三线合一
D.DE是BC的垂直平分线
6.(2024·泰安期中)如图,在△ABC中,BC=AC,CE⊥AB于点E,BD⊥AC于点D,交CE于点F,且BD=CD.若CF=4,则BE的值为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7.(2024·连云港质检)如图,AB=AE,BC=ED,∠B=∠E,AF⊥CD,垂足为F,试说明AF平分CD.
【B层 能力进阶】
8.等腰三角形的两个底角相等,顶角的度数比一个底角度数的2倍多20°,则这个底角的度数是( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
9.等腰三角形一个角为30°,其他两个角的度数是 ( )
A.75°,75°或30°,120° B.30°,75°或30°,45°
C.30°,65°或30°,45° D.30°,55°或30°,75°
10.(2022·苏州中考)定义:一个三角形的一边长是另一边长的2倍,这样的三角形叫做“倍长三角形”.若等腰△ABC是“倍长三角形”,底边BC的长为3,则腰AB的长为 .
11.(2024·广州期中)已知等腰三角形ABC的两边长a,b满足(a-3)2+|b-4|=0,则等腰三角形ABC的周长为 .
12.如图,△ABC和△DCE均为等腰直角三角形,且∠ACB=∠DCE=90°,点A,D,E在一条直线上,过点C作CM⊥AE于点M.
(1)试探究AD和BE之间的关系,并说明理由;
(2)若AE=13,BE=6,求CM的值.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(几何直观、推理能力、运算能力)小马和小虎在解这样一道题:“如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D,E在边AB上,AE=AC,BD=BC,求∠DCE的度数.”他们经过商量后,结论不一致,小马说:“∠DCE的值与∠B的度数有关,只有知道∠B的度数才能求出∠DCE的度数.”小虎说:“∠DCE的度数是一个定值,与∠B的度数无关.”他们谁说的正确 请说明理由. 等腰三角形的性质(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 等边三角形的性质
1.(2024·长沙期中)如图,△ABC为等边三角形,AM∥CN.若∠BAM=25°,则∠BCN= ( )
A.65° B.60° C.45° D.35°
2.如图,直线a∥b,等边△ABC的顶点C在直线b上,若∠2=100°,则∠1的度数为 ( )
A.40° B.45°
C.50° D.55°
3.(2024·北京期中)如图,在等边三角形ABC中,AB=6,BD是AC边上的高,延长BC至点E,使CE=CD,则BE的长为 .
4.如图,△ABC和△EFD均为等边三角形,点E,F,D分别在AB,BC,AC上.
(1)若∠BEF=88°,则∠CFD= °;
(2)△BEF是否与△CFD全等 .(填“是”或“否”)
知识点2 等边三角形性质的综合应用
5.(2024·赣州期末)如图,△ABC是等边三角形,已知AE=CD,BQ⊥AD于Q,BE与AD交于点P,下列结论中不一定成立的是 ( )
A.∠APE=∠C B.BP=2PQ
C.AQ=BQ D.AE+BD=AB
6.如图,一个等边三角形纸片,剪去一个角后得到一个四边形,则图中∠α+∠β的度数是 ( )
A.220° B.180° C.270° D.240°
7.(易错警示题·分情况讨论遗漏情况)在边长为6的等边三角形ABC中,AD⊥BC于点D,点E在直线BC上,且BE=2,则DE的长为 .
8.如图,△ABC为任意三角形,以边AB,AC为边分别向外作等边三角形ABD和等边三角形ACE,连结CD,BE并且相交于点P.
求证:(1)CD=BE;
(2)∠BPC=120°.
【B层 能力进阶】
9.如图所示是由9个等边三角形拼成的六边形,已知中间最小的等边三角形的边长为1(图中阴影部分),则此六边形的周长为 ( )
A.18 B.24 C.30 D.36
10.如图,△ABC是等边三角形,直线l过顶点B,作点C关于直线l的对称点D,连结BD,AD,CD,若∠BAD=25°,则∠BCD的度数为 ( )
A.50° B.55° C.60° D.65°
11. (2024·威海期中)如图,在等边△ABC中,AB=5,点D在AB上,且BD=1,点E,F分别是BC,AC上的点,连结DE,EF,如果∠DEF=60°,DE=EF,那么BE的长是 ( )
A.3 B.3.5 C.4 D.4.5
12.如图,△ABC是等边三角形,点D在线段AB上,以CD为边在左侧作等边△CDE,连结EA.
求证:(1)△ACE≌△BCD;
(2)EA∥CB.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(几何直观、推理能力、运算能力)(2024·武汉期中)
【问题背景】如图1,在△ABC与△ADE中,若AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.求证:△ABD≌△ACE.
【尝试运用】如图2,在△ABC和△DEC中,∠ACB=∠DCE=120°,AC=BC,CD=CE,∠ADC=90°,延长ED交AB于点F.求证:F为AB的中点.
【拓展创新】如图3,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,AC边上的高为,点M是直线BC上一动点,连结AM,在直线AM的右侧作等边△AMN,连结BN,则AN+BN的最小值为 .
