等腰三角形的判定
【A层 基础夯实】
知识点1 等腰三角形的判定
1.在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2,则△ABC是(D)
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.等腰直角三角形
2.如图,在△ABC中,∠ABC=60°,∠BAC=75°,AD是BC边上的高,∠ABC的平分线BE交AD于点F,交AC于点E,则图中共有等腰三角形(B)
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
3.(2024·南京质检)如图,在△ABC中,ED∥BC,∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G,F,若FG=3,ED=7,则EB+DC的值为 10 .
4.(2024·吉林期末)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,连结AD,BM平分
∠ABC,过点M作MN∥BC,交AB于点N.
(1)若∠C=72°,求∠BAD的度数;
【解析】(1)∵在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD,∴∠ADC=90°,
∵∠C=72°,∴∠CAD=180°-∠ADC-∠C=180°-90°-72°=18°,∴∠BAD=18°;
(2)求证:NB=NM.
【解析】(2)∵MN∥BC,∴∠NMB=∠CBM,
∵BM平分∠ABC,∴∠NBM=∠CBM,
∴∠NBM=∠NMB,∴NB=NM.
知识点2 等边三角形的判定
5.(2024·荆州期中)下列三角形:①有两个角等于60°的三角形;②有一个角等于60°的等腰三角形;③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形;④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形,其中是等边三角形的个数为(D)
A.1 B.2 C.3 D.4
6.如图,△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,D是AB边上一点,∠BCD=30°,BD=4 cm,则△ACD的周长为 (C)
A.6 cm B.8 cm C.12 cm D.16 cm
7.(2024·大连期中)若△ABC三个内角的度数分别为m,n,p,且|m-n|+(n-p)2=0,则这个三角形为 等边三角形 .
8.如图,△ABD和△BCD均是等边三角形,E,F分别是AD,CD上的两个动点,且满足∠EBF=60°.
(1)求证:△ABE≌△DBF.
【解析】(1)∵△ABD和△BCD均是等边三角形,
∴AB=DB,∠A=∠ABD=∠BDF=60°,
∵∠EBF=60°,∴∠EBF=∠ABD,∴∠EBF-∠EBD=∠ABD-∠EBD,
即∠ABE=∠DBF,
∴△ABE≌△DBF(A.S.A.).
(2)判断△EBF的形状,并证明.
【解析】(2)△EBF是等边三角形,证明如下:
∵△ABE≌△DBF,
∴BE=BF,
∵∠EBF=60°,
∴△EBF是等边三角形.
【B层 能力进阶】
9.如图,D为△ABC内一点,CD平分∠ACB,BD⊥CD于点D.∠ABD=∠A,若BD=1,BC=3,则AC的长为(D)
A.2 B.3 C.4 D.5
10.如图,在△ABC中,AC=8,点D,E分别在BC,AC上,F是BD的中点.若AB=AD,EF=EC,则EF的长是(B)
A.3 B.4 C.5 D.6
11.已知a,b,c为△ABC三边的长,当a2+2b2+c2=2ab+2bc时,△ABC的形状是
等边三角形 .
12.如图,在Rt△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,若∠CAE=2∠ABD,AE=5,EC=3,则CD的长为 2 .
13.如图,△ABC是等边三角形,BD是中线,延长BC至E,使CE=CD.
(1)求证:DB=DE.
【解析】(1)∵△ABC是等边三角形,BD是中线,
∴∠ABC=∠ACB=60°,BD平分∠ABC.
∴∠DBC=∠ABC=30°,
∵CE=CD,∠ACB=∠E+∠CDE,
∴∠E=∠CDE=∠ACB=30°,
∴∠DBC=∠E=30°,∴BD=DE.
(2)设△BCD的面积为S1,△CDE的面积为S2,求S1∶S2的值.
【解析】(2)如图,过点D作DM⊥BC,
则S1=BC·DM,S2=CE·DM,
由(1)知CE=CD=AC=BC,
∴S1∶S2=BC∶CE=2.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(几何直观、推理能力、运算能力、模型观念)如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=
16 cm,BC=12 cm,AC=20 cm,P,Q是△ABC边上的两个动点,其中点P从点A开始沿A→B方向运动,且速度为每秒1 cm,点Q从点B开始沿B→C→A方向运动,且速度为每秒2 cm,它们同时出发,设出发的时间为t秒.
(1)当点Q在边BC上运动时,出发几秒后△PQB是等腰三角形
【解析】(1)由题意可知AP=t,BQ=2t,
∵AB=16,∴BP=AB-AP=16-t,
当△PQB为等腰三角形时,则有BP=BQ,
即16-t=2t,解得t=,
∴出发秒后△PQB是等腰三角形;
(2)当点Q在边CA上运动时,出发几秒后△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形
【解析】(2)①当△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时:CQ=BQ,如图1所示,
则∠C=∠CBQ,∵∠ABC=90°,
∴∠CBQ+∠ABQ=90°,∠A+∠C=90°,
∴∠A=∠ABQ,
∴BQ=AQ,
∴CQ=AQ=10(cm),
∴BC+CQ=22(cm),
∴t=22÷2=11(秒).
②当△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时:CQ=BC,如图2所示,
则BC+CQ=24(cm),∴t=24÷2=12(秒).
综上所述:当t为11秒或12秒时,△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形. 等腰三角形的判定
【A层 基础夯实】
知识点1 等腰三角形的判定
1.在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2,则△ABC是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.等腰直角三角形
2.如图,在△ABC中,∠ABC=60°,∠BAC=75°,AD是BC边上的高,∠ABC的平分线BE交AD于点F,交AC于点E,则图中共有等腰三角形( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
3.(2024·南京质检)如图,在△ABC中,ED∥BC,∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G,F,若FG=3,ED=7,则EB+DC的值为 .
4.(2024·吉林期末)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,连结AD,BM平分
∠ABC,过点M作MN∥BC,交AB于点N.
(1)若∠C=72°,求∠BAD的度数;
(2)求证:NB=NM.
知识点2 等边三角形的判定
5.(2024·荆州期中)下列三角形:①有两个角等于60°的三角形;②有一个角等于60°的等腰三角形;③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形;④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形,其中是等边三角形的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
6.如图,△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,D是AB边上一点,∠BCD=30°,BD=4 cm,则△ACD的周长为 ( )
A.6 cm B.8 cm C.12 cm D.16 cm
7.(2024·大连期中)若△ABC三个内角的度数分别为m,n,p,且|m-n|+(n-p)2=0,则这个三角形为 .
8.如图,△ABD和△BCD均是等边三角形,E,F分别是AD,CD上的两个动点,且满足∠EBF=60°.
(1)求证:△ABE≌△DBF.
(2)判断△EBF的形状,并证明.
【B层 能力进阶】
9.如图,D为△ABC内一点,CD平分∠ACB,BD⊥CD于点D.∠ABD=∠A,若BD=1,BC=3,则AC的长为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
10.如图,在△ABC中,AC=8,点D,E分别在BC,AC上,F是BD的中点.若AB=AD,EF=EC,则EF的长是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
11.已知a,b,c为△ABC三边的长,当a2+2b2+c2=2ab+2bc时,△ABC的形状是
.
12.如图,在Rt△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,若∠CAE=2∠ABD,AE=5,EC=3,则CD的长为 .
13.如图,△ABC是等边三角形,BD是中线,延长BC至E,使CE=CD.
(1)求证:DB=DE.
(2)设△BCD的面积为S1,△CDE的面积为S2,求S1∶S2的值.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(几何直观、推理能力、运算能力、模型观念)如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=
16 cm,BC=12 cm,AC=20 cm,P,Q是△ABC边上的两个动点,其中点P从点A开始沿A→B方向运动,且速度为每秒1 cm,点Q从点B开始沿B→C→A方向运动,且速度为每秒2 cm,它们同时出发,设出发的时间为t秒.
(1)当点Q在边BC上运动时,出发几秒后△PQB是等腰三角形
(2)当点Q在边CA上运动时,出发几秒后△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形
