经过一已知点作已知直线的垂线
作已知线段的垂直平分线
【A层 基础夯实】
知识点1 经过已知点作已知直线的垂线
1.下列尺规作图,能判断AD是△ABC的BC边上的高的是( )
2.已知:直线AB及AB外一点P.如图求作:经过点P,且垂直AB的直线,作法:
①以点P为圆心,适当的长为半径画弧,交直线AB于点C,D.②分别以点C,D为圆心,适当的长为半径,在直线AB的另一侧画弧,两弧交于点Q.③过点P,Q作直线.直线PQ即为所求.在作法过程中,出现了两次“适当的长”,对于这两次“适当的长”,下列理解正确的是( )
A.这两个适当的长相等
B.①中“适当的长”指大于P到直线AB的距离
C.②中“适当的长”指大于线段CD的长
D.②中“适当的长”指大于P到直线AB的距离
3.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=39°,以点C为圆心,CB长为半径作弧交AB于点D,分别以D,B为圆心,大于DE长为半径作弧,两弧相交于点E,作射线CE交AB于点F,则∠BCF的度数为( )
A.38° B.39°
C.40° D.51°
4.如图,依据尺规作图的痕迹,则∠AOB= .
知识点2 作线段的垂直平分线
5.下列作线段的垂直平分线的尺规作图,正确的是 ( )
6.如图,小红作了如下操作:分别以A,C为圆心,大于AC长为半径作弧,两弧分别相交于点B,D,依次连结A,B,C,D,则下列说法一定正确的是( )
A.AB=AC
B.AC=BD
C.AC⊥BD
D.四边形ABCD是正方形
7.通过如下尺规作图,能确定点D是BC边中点的是( )
8.(2024·临沂期中)如图,已知线段AB.求作:AB的垂线,使它经过点A.
下面是小军设计的“过线段端点作这条线段的垂线”的尺规作图过程.
作法:①以点A为圆心,AB长为半径作弧,交线段BA的延长线于点C;
②分别以点B和点C为圆心,大于BC的长为半径作弧,两弧相交于直线BC上方的点D;
③作直线AD,所以直线AD就是所求作的垂线.
根据小军设计的尺规作图过程,
(1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)
(2)证明这种作法的正确性(即求证AD⊥AB).
【B层 能力进阶】
9.如图,已知△ABC中,根据尺规作图痕迹及图上数据,则线段BC的长可能为( )
A.1 B.2 C.7 D.10
10.在数学课堂上,老师带领同学们用尺规“过直线l外一点C作直线l的垂线”,图①是老师画出的第一步,图②,图③分别是甲、乙两位同学补充的作图痕迹,则补充的作图痕迹正确的是( )
A.甲 B.乙
C.甲和乙 D.都不正确
11.如图,∠MON=90°,在此基础上用尺规作出正方形AOBC,下面说法不正确的
是( )
A.弧③的半径长等于弧①的半径长
B.弧②的半径长等于弧①的半径长
C.弧②的半径长小于弧①的半径长
D.弧②的半径长等于弧③的半径长
12.如图,在长方形ABCD中进行如下作图,依据尺规作图的痕迹,则∠α的余角等于 .
13.(2024·周口期中)如图,已知△ABC.
(1)尺规作图:求作△ABC的高CD;(不写作法,保留作图痕迹)
(2)若AB=2 cm,∠B=45°,AC是△DBC的中线,求高CD的长.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(几何直观、推理能力)(2024·南京期中)通过对下面数学模型的研究学习,解决下列问题:
【模型理解】(1)如图①,△ABC,△ADE共顶点A,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,连结BD,CE.由∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,得∠BAD=∠CAE.又AB=AC,AD=AE,可以推理得到△ABD≌△ACE,进而得到BD= ,
∠ABD= .
【问题研究】(2)小明同学在思考完上述问题后,解决了下面的尺规作图问题.
如图②,已知直线a,b及点P,a与b不平行.作等腰直角△PAB,使得点A,B分别在直线a,b上.
小明同学作法简述如下:如图③,过点P作PD⊥a,垂足为点D,以P为直角顶点作等腰直角三角形PDE,过点E作EB⊥PE,交b于点B,在a上截取DA=BE,连结AB.△PAB即为所要求作的等腰直角三角形.请证明小明的作法是正确的. 经过一已知点作已知直线的垂线
作已知线段的垂直平分线
【A层 基础夯实】
知识点1 经过已知点作已知直线的垂线
1.下列尺规作图,能判断AD是△ABC的BC边上的高的是(B)
2.已知:直线AB及AB外一点P.如图求作:经过点P,且垂直AB的直线,作法:
①以点P为圆心,适当的长为半径画弧,交直线AB于点C,D.②分别以点C,D为圆心,适当的长为半径,在直线AB的另一侧画弧,两弧交于点Q.③过点P,Q作直线.直线PQ即为所求.在作法过程中,出现了两次“适当的长”,对于这两次“适当的长”,下列理解正确的是(B)
A.这两个适当的长相等
B.①中“适当的长”指大于P到直线AB的距离
C.②中“适当的长”指大于线段CD的长
D.②中“适当的长”指大于P到直线AB的距离
3.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=39°,以点C为圆心,CB长为半径作弧交AB于点D,分别以D,B为圆心,大于DE长为半径作弧,两弧相交于点E,作射线CE交AB于点F,则∠BCF的度数为(B)
A.38° B.39°
C.40° D.51°
4.如图,依据尺规作图的痕迹,则∠AOB= 45° .
知识点2 作线段的垂直平分线
5.下列作线段的垂直平分线的尺规作图,正确的是 (C)
6.如图,小红作了如下操作:分别以A,C为圆心,大于AC长为半径作弧,两弧分别相交于点B,D,依次连结A,B,C,D,则下列说法一定正确的是(C)
A.AB=AC
B.AC=BD
C.AC⊥BD
D.四边形ABCD是正方形
7.通过如下尺规作图,能确定点D是BC边中点的是(B)
8.(2024·临沂期中)如图,已知线段AB.求作:AB的垂线,使它经过点A.
下面是小军设计的“过线段端点作这条线段的垂线”的尺规作图过程.
作法:①以点A为圆心,AB长为半径作弧,交线段BA的延长线于点C;
②分别以点B和点C为圆心,大于BC的长为半径作弧,两弧相交于直线BC上方的点D;
③作直线AD,所以直线AD就是所求作的垂线.
根据小军设计的尺规作图过程,
(1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)
【解析】(1)如图,直线AD即为所求;
(2)证明这种作法的正确性(即求证AD⊥AB).
【解析】(2)连结CD,BD.
∵BD=DC,AB=AC,
∴AD⊥AB.
【B层 能力进阶】
9.如图,已知△ABC中,根据尺规作图痕迹及图上数据,则线段BC的长可能为(C)
A.1 B.2 C.7 D.10
10.在数学课堂上,老师带领同学们用尺规“过直线l外一点C作直线l的垂线”,图①是老师画出的第一步,图②,图③分别是甲、乙两位同学补充的作图痕迹,则补充的作图痕迹正确的是(C)
A.甲 B.乙
C.甲和乙 D.都不正确
11.如图,∠MON=90°,在此基础上用尺规作出正方形AOBC,下面说法不正确的
是(C)
A.弧③的半径长等于弧①的半径长
B.弧②的半径长等于弧①的半径长
C.弧②的半径长小于弧①的半径长
D.弧②的半径长等于弧③的半径长
12.如图,在长方形ABCD中进行如下作图,依据尺规作图的痕迹,则∠α的余角等于 34° .
13.(2024·周口期中)如图,已知△ABC.
(1)尺规作图:求作△ABC的高CD;(不写作法,保留作图痕迹)
【解析】(1)如图,CD即为所求;
(2)若AB=2 cm,∠B=45°,AC是△DBC的中线,求高CD的长.
【解析】(2)∵AB=2 cm,AC是△DBC的中线,
∴BD=2AB=4 cm,
∵∠B=45°,∠BDC=90°,
∴∠BCD=45°,
∴CD=BD=4 cm.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(几何直观、推理能力)(2024·南京期中)通过对下面数学模型的研究学习,解决下列问题:
【模型理解】(1)如图①,△ABC,△ADE共顶点A,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,连结BD,CE.由∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,得∠BAD=∠CAE.又AB=AC,AD=AE,可以推理得到△ABD≌△ACE,进而得到BD= ,
∠ABD= .
答案:CE ∠ACE
【解析】(1)∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,
∴∠BAD=∠CAE,
在△ABD和△ACE中,,
∴△ABD≌△ACE(S.A.S.),
∴BD=CE,∠ABD=∠ACE.
【问题研究】(2)小明同学在思考完上述问题后,解决了下面的尺规作图问题.
如图②,已知直线a,b及点P,a与b不平行.作等腰直角△PAB,使得点A,B分别在直线a,b上.
小明同学作法简述如下:如图③,过点P作PD⊥a,垂足为点D,以P为直角顶点作等腰直角三角形PDE,过点E作EB⊥PE,交b于点B,在a上截取DA=BE,连结AB.△PAB即为所要求作的等腰直角三角形.请证明小明的作法是正确的.
【解析】(2)∵△PDE是以P为直角顶点的等腰直角三角形,
∴PE=PD,∠DPE=90°,
∵EB⊥PE,PD⊥a,
∴∠PEB=∠PDA=90°,
在△PEB和△PDA中,,
∴△PEB≌△PDA(S.A.S.),
∴PB=PA,∠BPE=∠APD,
∴∠APB=∠APE+∠BPE
=∠APE+∠APD=∠DPE=90°,
∴△PAB即为所要求作的等腰直角三角形.
