线段垂直平分线
【A层 基础夯实】
知识点1 线段垂直平分线的性质
1.如图,在△ABC中,直线MN为线段BC的垂直平分线,交AC于点D,连结BD.若AD=3 cm,AC=10 cm,则BD的长为 (B)
A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm
2.(2024·大连期中)如图,△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AC于P点,若AB=12,BC=6,则△PBC的周长等于(D)
A.14 B.16 C.17 D.18
3.(2024·连云港质检)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=50°,DE为AB的垂直平分线,那么∠DBC= 15° .
知识点2 线段垂直平分线的判定
4.如图,直线l与线段AB交于点O,点P在直线l上,且PA=PB.小明说:“直线l是AB的垂直平分线.”小亮说:“需再添加一个条件,小明的结论才正确.”下列判断正确的是(C)
A.小明说的对
B.小亮说的对,可添条件为“∠A=∠B”
C.小亮说的对,可添条件为“PO⊥AB”
D.两人说的都不对
5.(2024·北京期中)如图,AB=AC=6 cm,DB=DC,若∠ABC=60°,则BE= 3 cm.
6.(2024·资阳期中)如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于O,△ABO≌△ADO.下列结论:①AC⊥BD;②CB=CD;③△ABC≌△ADC;④DA=DC.其中,正确结论的序号是 ①②③ .
7.如图,AD与BC相交于点O,AB=CD,∠A=∠C,BE=DE.求证:OE垂直平分BD.
【证明】在△AOB和△COD中,
∵,
∴△AOB≌△COD(A.A.S.),∴OB=OD,
∴点O在线段BD的垂直平分线上.
又∵BE=DE,∴点E在线段BD的垂直平分线上,∵两点确定一条直线,∴OE垂直平分BD.
8.如图,四边形ABCD中,AB=AD,BC边的垂直平分线MN经过点A.
(1)求证:点A在CD的垂直平分线上;
【解析】(1)连结AC,
∵BC边的垂直平分线MN经过点A,
∴AB=AC,∵AB=AD,∴AC=AD,
∴点A在CD的垂直平分线上;
(2)若∠BCD=110°,则∠BAD= .
答案:140°
【解析】(2)∵AB=AC=AD,
∴∠ABC=∠ACB,∠ADC=∠ACD,
∴∠ABC+∠ADC=∠ACB+∠ACD=∠BCD=110°,
∴∠BAD=360°-(∠ABC+∠ADC)-∠BCD=360°-110°-110°=140°.
【B层 能力进阶】
9.(2024·温州期中)如图,在△ABC中,分别以A,B为圆心,大于线段AB长度一半的长为半径作弧,相交于点D,E,连结DE,交BC于点P.若AC=3,△ACP的周长为10,则BC的长为(B)
A.6 B.7 C.8 D.9
10.如图,△ABC为任意三角形,以B为圆心,任意长为半径作弧,交AB于点F,交BC于点G,分别以点F和点G为圆心,以大于FG的长为半径作弧,两弧交于点H,作射线BH,交AC于点D,分别以点B和D为圆心,大于BD长为半径作弧,两弧相交于M,N两点,作直线MN交AB于点E,连结DE.下列结论正确的是(C)
A.DE=BC B.DE=AE
C.∠AED=∠ABC D.AD=CD
11.(2024·洛阳期末)如图,已知AB=AC,PB=PC,AP交BC于点D,点E在线段AD的延长线上.给出下列结论:①BE=CE;②AD⊥BC;③EA平分∠BEC;④∠PBC=
∠PCB;⑤图中共有6对全等三角形;⑥S四边形ABEC=BC·AE.其中正确的结论是 ①②③④⑤⑥ .(填写所有正确结论的序号)
12.如图,在△ABC中,AB边的垂直平分线l1交BC于点D,AC边的垂直平分线l2交BC于点E,l1与l2相交于点O,连结OB,OC,若△ADE的周长为6 cm,△OBC的周长为14 cm.
(1)求线段BC的长;
【解析】(1)∵l1是AB边的垂直平分线,∴DA=DB,∵l2是AC边的垂直平分线,∴EA=EC,
∴BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA,
∵△ADE的周长为6 cm,即DA+DE+EA=6 cm,∴BC=6 cm;
(2)连结OA,求线段OA的长;
【解析】(2)如图所示:
∵l1是AB边的垂直平分线,∴OA=OB,
∵l2是AC边的垂直平分线,∴OA=OC,
∵OB+OC+BC=14 cm,BC=6 cm,
∴OA=OB=OC=4 cm;
(3)若∠BAC=100°,求∠DAE的度数.
【解析】(3)∵∠BAC=100°,
∴∠ABC+∠ACB=80°,
∵DA=DB,EA=EC,
∴∠BAD=∠ABC,∠EAC=∠ACB,
∴∠DAE=∠BAC-(∠BAD+∠EAC)=∠BAC-(∠ABC+∠ACB)=20°.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(几何直观、推理能力)(2024·哈尔滨期末)已知,AD是△ABC的高,且∠BAD=
∠CAD.
(1)如图1,求证:AB=AC;
【解析】(1)∵AD是BC边上的高,
∴∠ADB=∠ADC=90°,
又∵AD=AD,∠BAD=∠CAD,
∴△ABD≌△ACD,
∴AB=AC;
(2)如图2,点M为AC边上一点,线段CM的垂直平分线交线段CD于点P,点E在线段MP上,连结DE,且∠PDE=∠CAD,求证:PD=PE;
【解析】(2)设∠C=α,则∠CAD=90°-α,
∵点P在CM的垂直平分线上,∴MP=CP,
∴∠PMC=∠C=α,
∴∠DPE=∠PMC+∠C=2α,
又∵∠PDE=∠CAD=90°-α,
∴∠DEP=180°-∠DPE-∠PDE=180°-2α-(90°-α)=90°-α,
∴∠PDE=∠DEP,
∴PD=PE;
(3)如图3,在(2)的条件下,作MF⊥AC交线段BD于点F,FH⊥MP于点H,连结BM,若△BMF的面积为6,且FH=4,求线段PE的长.
【解析】(3)过点M作MK⊥BC于点K,
设∠C=α,则∠CAD=90°-α,
∵点P在CM的垂直平分线上,
∴MP=CP,
∴∠PMC=∠C=α,∠FPM=∠PMC+∠C=2α,
∵MF⊥AC,
∴∠CMF=90°,
∴∠PMF=∠CMF-∠PMC=90°-α,
∴∠MFP=180°-∠FPM-∠PMF=180°-2α-(90°-α)=90°-α,
∴∠MFP=∠PMF,
∴PM=PF,
∴CP=MP=FP,
∵S△PFM=·PF·MK=·PM·FH,FH=4,
∴MK=FH=4,
∵S△BMF=·BF·MK,
∴6=×4BF,
∴BF=3,
∵DP=CD-CP=BC-CF=(BC-CF)=BF=,
∴PE=. 线段垂直平分线
【A层 基础夯实】
知识点1 线段垂直平分线的性质
1.如图,在△ABC中,直线MN为线段BC的垂直平分线,交AC于点D,连结BD.若AD=3 cm,AC=10 cm,则BD的长为 ( )
A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm
2.(2024·大连期中)如图,△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AC于P点,若AB=12,BC=6,则△PBC的周长等于( )
A.14 B.16 C.17 D.18
3.(2024·连云港质检)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=50°,DE为AB的垂直平分线,那么∠DBC= .
知识点2 线段垂直平分线的判定
4.如图,直线l与线段AB交于点O,点P在直线l上,且PA=PB.小明说:“直线l是AB的垂直平分线.”小亮说:“需再添加一个条件,小明的结论才正确.”下列判断正确的是( )
A.小明说的对
B.小亮说的对,可添条件为“∠A=∠B”
C.小亮说的对,可添条件为“PO⊥AB”
D.两人说的都不对
5.(2024·北京期中)如图,AB=AC=6 cm,DB=DC,若∠ABC=60°,则BE= cm.
6.(2024·资阳期中)如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于O,△ABO≌△ADO.下列结论:①AC⊥BD;②CB=CD;③△ABC≌△ADC;④DA=DC.其中,正确结论的序号是 .
7.如图,AD与BC相交于点O,AB=CD,∠A=∠C,BE=DE.求证:OE垂直平分BD.
8.如图,四边形ABCD中,AB=AD,BC边的垂直平分线MN经过点A.
(1)求证:点A在CD的垂直平分线上;
(2)若∠BCD=110°,则∠BAD= .
【B层 能力进阶】
9.(2024·温州期中)如图,在△ABC中,分别以A,B为圆心,大于线段AB长度一半的长为半径作弧,相交于点D,E,连结DE,交BC于点P.若AC=3,△ACP的周长为10,则BC的长为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
10.如图,△ABC为任意三角形,以B为圆心,任意长为半径作弧,交AB于点F,交BC于点G,分别以点F和点G为圆心,以大于FG的长为半径作弧,两弧交于点H,作射线BH,交AC于点D,分别以点B和D为圆心,大于BD长为半径作弧,两弧相交于M,N两点,作直线MN交AB于点E,连结DE.下列结论正确的是( )
A.DE=BC B.DE=AE
C.∠AED=∠ABC D.AD=CD
11.(2024·洛阳期末)如图,已知AB=AC,PB=PC,AP交BC于点D,点E在线段AD的延长线上.给出下列结论:①BE=CE;②AD⊥BC;③EA平分∠BEC;④∠PBC=
∠PCB;⑤图中共有6对全等三角形;⑥S四边形ABEC=BC·AE.其中正确的结论是 .(填写所有正确结论的序号)
12.如图,在△ABC中,AB边的垂直平分线l1交BC于点D,AC边的垂直平分线l2交BC于点E,l1与l2相交于点O,连结OB,OC,若△ADE的周长为6 cm,△OBC的周长为14 cm.
(1)求线段BC的长;
(2)连结OA,求线段OA的长;
(3)若∠BAC=100°,求∠DAE的度数.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(几何直观、推理能力)(2024·哈尔滨期末)已知,AD是△ABC的高,且∠BAD=
∠CAD.
(1)如图1,求证:AB=AC;
(2)如图2,点M为AC边上一点,线段CM的垂直平分线交线段CD于点P,点E在线段MP上,连结DE,且∠PDE=∠CAD,求证:PD=PE;
(3)如图3,在(2)的条件下,作MF⊥AC交线段BD于点F,FH⊥MP于点H,连结BM,若△BMF的面积为6,且FH=4,求线段PE的长.
