角平分线
【A层 基础夯实】
知识点1 角平分线的性质
1.(2024·龙岩期中)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,若DE=5,则DF的值是( )
A.2.5 B.10 C.5 D.4
2.如图,OP平分∠AOB,PC⊥OA于点C,点D在OB上,若PC=2,OD=4,则△POD的面积为( )
A.4 B.6 C.8 D.12
3.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB,垂足为E,若BC=7,DE=3,则BD的长为 .
4.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,∠ABC的平分线交AD于点E,EF⊥AB于点F,已知EF=3,求ED的长.
知识点2 角平分线的判定
5.在正方形网格中,∠AOB的位置如图所示,到∠AOB两边距离相等的点应是( )
A.M点 B.N点 C.P点 D.Q点
6.将两把宽度相同的长方形直尺按如图所示方式摆放,两把直尺的接触点记为点P,其中一把直尺边缘和射线OA重合,另一把直尺的下边缘与射线OB重合,连结OP并延长.若∠AOB=54°,则∠AOP的度数为( )
A.54° B.36° C.27° D.26°
7.(2024·遂宁质检)如图,O是△ABC内一点,且O到三边AB,BC,CA的距离OF=OD=OE,若∠BAC=70°,则∠BOC= .
8.如图,PC⊥OA于点C,PD⊥OB于点D,PC=PD.Q是OP上一点,QE⊥OA于点E,QF⊥OB于点F.求证:QE=QF.
【B层 能力进阶】
9.(2024·徐州质检)如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,对角线BD平分∠ABC,若BC=5,AD=3,则△BCD的面积为( )
A.6 B.7.5 C.12 D.15
10.(2024·烟台期中)如图,△ABC的面积等于12,边AC=4,现将△ABC沿AB所在直线翻折,使点C落在直线AD上的C'处,点P在直线AD上,则线段BP的长不可能是( )
A.5 B.6 C.7 D.12
11.如图,BD是矩形ABCD的对角线,在BA和BD上分别截取BE,BF,使BE=BF;分别以E,F为圆心,以大于EF的长为半径作弧,两弧在∠ABD内交于点G,作射线BG交AD于点P,若AP=3,则点P到BD的距离为 .
12.如图,已知△ABC的周长是16,OB,OC分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于D,且OD=3,则△ABC的面积是 .
13.如图,∠B=∠C=90°,点E是BC的中点.DE平分∠ADC.
(1)求证:AE是∠DAB的平分线;
(2)已知AE=4,DE=3,求四边形ABCD的面积.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(几何直观、推理能力)已知:在△ABC中,作∠ABC的平分线BM,在BM上找一点D,使得DA=DC,过点D作DE⊥BC,交直线BC于点E.
(1)依题意补全图形;
(2)用等式写出AB,BC,BE之间的数量关系,并给出证明;
(3)如果把作∠ABC的平分线BM,改为作∠ABC的外角∠PBA的平分线BM,其他条件不变,直接用等式写出AB,BC,BE之间的数量关系. 角平分线
【A层 基础夯实】
知识点1 角平分线的性质
1.(2024·龙岩期中)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,若DE=5,则DF的值是(C)
A.2.5 B.10 C.5 D.4
2.如图,OP平分∠AOB,PC⊥OA于点C,点D在OB上,若PC=2,OD=4,则△POD的面积为(A)
A.4 B.6 C.8 D.12
3.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB,垂足为E,若BC=7,DE=3,则BD的长为 4 .
4.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,∠ABC的平分线交AD于点E,EF⊥AB于点F,已知EF=3,求ED的长.
【解析】∵AC=AB,AD是中线,
∴AD⊥BC,
∵BE平分∠ABC,EF⊥BA,ED⊥BC,
∴ED=EF=3.
知识点2 角平分线的判定
5.在正方形网格中,∠AOB的位置如图所示,到∠AOB两边距离相等的点应是(A)
A.M点 B.N点 C.P点 D.Q点
6.将两把宽度相同的长方形直尺按如图所示方式摆放,两把直尺的接触点记为点P,其中一把直尺边缘和射线OA重合,另一把直尺的下边缘与射线OB重合,连结OP并延长.若∠AOB=54°,则∠AOP的度数为(C)
A.54° B.36° C.27° D.26°
7.(2024·遂宁质检)如图,O是△ABC内一点,且O到三边AB,BC,CA的距离OF=OD=OE,若∠BAC=70°,则∠BOC= 125° .
8.如图,PC⊥OA于点C,PD⊥OB于点D,PC=PD.Q是OP上一点,QE⊥OA于点E,QF⊥OB于点F.求证:QE=QF.
【证明】∵PC⊥OA,PD⊥OB,PC=PD,
∴OP是∠AOB的平分线,
∵QE⊥OA,QF⊥OB,
∴QE=QF.
【B层 能力进阶】
9.(2024·徐州质检)如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,对角线BD平分∠ABC,若BC=5,AD=3,则△BCD的面积为(B)
A.6 B.7.5 C.12 D.15
10.(2024·烟台期中)如图,△ABC的面积等于12,边AC=4,现将△ABC沿AB所在直线翻折,使点C落在直线AD上的C'处,点P在直线AD上,则线段BP的长不可能是(A)
A.5 B.6 C.7 D.12
11.如图,BD是矩形ABCD的对角线,在BA和BD上分别截取BE,BF,使BE=BF;分别以E,F为圆心,以大于EF的长为半径作弧,两弧在∠ABD内交于点G,作射线BG交AD于点P,若AP=3,则点P到BD的距离为 3 .
12.如图,已知△ABC的周长是16,OB,OC分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于D,且OD=3,则△ABC的面积是 24 .
13.如图,∠B=∠C=90°,点E是BC的中点.DE平分∠ADC.
(1)求证:AE是∠DAB的平分线;
【解析】(1)过点E作EF⊥AD于点F,如图所示:
∵∠C=90°,∴EF⊥AD,
∵DE是∠ADC的平分线,∴EF=EC,
∵点E是BC的中点,∴EC=EB,∴EF=EB,
∵AE=AE,∴Rt△ABE≌Rt△AFE(H.L.),
∴∠BAE=∠FAE,∴AE是∠DAB的平分线;
(2)已知AE=4,DE=3,求四边形ABCD的面积.
【解析】(2)∵CE=EF,DE=DE,
∴Rt△DEF≌Rt△DEC,
∴∠DEF=∠DEC,S△DEF=S△DEC,
∵Rt△ABE≌Rt△AFE,
∴∠AEF=∠AEB,S△AEF=S△AEB,
∴∠DEF+∠AEF=∠DEC+∠AEB=×180°=90°,即∠AED=90°,
∵S△DEF+S△AEF=S△DEC+S△AEB,
∴S四边形ABCD=2S△ADE=2××AE×DE=4×3=12.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(几何直观、推理能力)已知:在△ABC中,作∠ABC的平分线BM,在BM上找一点D,使得DA=DC,过点D作DE⊥BC,交直线BC于点E.
(1)依题意补全图形;
【解析】(1)依题意补全图形如图:
(2)用等式写出AB,BC,BE之间的数量关系,并给出证明;
【解析】(2)AB=2BE-BC.
证明:过点D作DF⊥AB于点F,如图,
∵BM平分∠ABC,DF⊥AB,DE⊥BC,
∴DE=DF,
∵AD=CD,
∴Rt△ADF≌Rt△CDE(H.L.),
∴AF=CE,
∵DE=DF,BD=BD,
∴Rt△BDF≌Rt△BDE(H.L.),
∴BF=BE,
∴AB=BF+AF=BE+CE
=BE+BE-BC=2BE-BC.
(3)如果把作∠ABC的平分线BM,改为作∠ABC的外角∠PBA的平分线BM,其他条件不变,直接用等式写出AB,BC,BE之间的数量关系.
【解析】(3)AB=BC+2BE.
证明:过点D作DF⊥AB于点F,如图:
∵BM是∠ABC外角的角平分线,DF⊥AB,DE⊥BC,
∴DE=DF,
∵AD=CD,
∴Rt△ADF≌Rt△CDE(H.L.),
∴AF=CE,
∵DE=DF,BD=BD,
∴Rt△BDF≌Rt△BDE(H.L.),
∴BF=BE,
∴AB=BF+AF=BE+CE
=BE+BE+BC=2BE+BC.
