直角三角形三边的关系
【A层 基础夯实】
知识点1 勾股定理及其简单应用
1.在Rt△ABC中,有两边的长分别为1和2,则第三边的长为( )
A. B.
C.2或 D.或
2.(2024·沈阳质检)如图,一棵大树在一次强台风中于离地面5 m处折断倒下,树干顶部在离根部12 m处,则这棵大树的高度为( )
A.13 m B.17 m
C.18 m D.25 m
3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=6,若以AC边和BC边向外作等腰直角三角形AFC和等腰直角三角形BEC.若△BEC的面积为S1,△AFC的面积为S2,则S1+S2=( )
A.4 B.9 C.18 D.36
4.如图,OP平分∠MON,PA⊥ON,垂足为A,且OP=5,OA=4,则点P到OM的距离
为 .
5.(2024·乐山期末)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC=15,AC=20,CD是高.
(1)求AB的长;
(2)求△ABC的面积;
(3)求CD的长.
知识点2 勾股定理的拼图验证
6.(2024·晋中期中)“赵爽弦图”(图1)通过对图形的切割、拼接,巧妙地利用面积关系证明了一个重要的数学定理,它表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智,是我国古代数学的骄傲,这个图案被选为2002年国际数学家大会的会徽(图2).利用这个图形证明的重要数学定理是( )
A.三角形内角和定理
B.勾股定理
C.勾股定理的逆定理
D.全等三角形的判定定理
7.在证明勾股定理时,甲、乙两位同学给出如图所示两种方案,则方案正确的是( )
A.只有甲对 B.只有乙对
C.两人都对 D.两人都不对
【B层 能力进阶】
8.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC=16 cm,以点A为圆心,AC长为半径画弧,交线段AB于点D;以点B为圆心,BD长为半径画弧,交线段BC于点E.若BD=CE,则AC的长为( )
A.12 cm B.13 cm C.14 cm D.15 cm
9.如图,在四边形ABCD中,∠DAB=∠BCD=90°,分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形,若S1+S4=135,S3=49,则S2=( )
A.184 B.86 C.119 D.81
10.如图,已知四边形ABCD,AD∥BC,P为CD上的一点,且∠DAP=10°,
∠CBP=80°,PA=3,PB=4.则AB的长为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
11.(2024·泸州质检)如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,△ABC各顶点均在网格的格点上,BD⊥AC于点D,则BD的长为 .
12.(易错警示题·忽视分类讨论遗漏情况)一直角三角形的三边长分别为5,12,x,那么以x为边长的正方形的面积为 .
13.小旭放风筝时,风筝线断了,风筝挂在了树上.他想知道风筝距地面的高度.于是他先拉住风筝线垂直到地面上,发现风筝线多出1米,然后把风筝线沿直线向后拉开5米,发现风筝线末端刚好接触地面(如图为示意图).请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(抽象能力、推理能力、运算能力)利用所学的知识计算:
(1)已知a>b,且a2+b2=13,ab=6,求a-b的值;
(2)已知a,b,c为Rt△ABC的三边长,其中∠C=90°,若a2+b2+25=6a+8b,求以Rt△ABC斜边为边长的正方形的面积. 直角三角形三边的关系
【A层 基础夯实】
知识点1 勾股定理及其简单应用
1.在Rt△ABC中,有两边的长分别为1和2,则第三边的长为(D)
A. B.
C.2或 D.或
2.(2024·沈阳质检)如图,一棵大树在一次强台风中于离地面5 m处折断倒下,树干顶部在离根部12 m处,则这棵大树的高度为(C)
A.13 m B.17 m
C.18 m D.25 m
3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=6,若以AC边和BC边向外作等腰直角三角形AFC和等腰直角三角形BEC.若△BEC的面积为S1,△AFC的面积为S2,则S1+S2=(C)
A.4 B.9 C.18 D.36
4.如图,OP平分∠MON,PA⊥ON,垂足为A,且OP=5,OA=4,则点P到OM的距离
为 3 .
5.(2024·乐山期末)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC=15,AC=20,CD是高.
(1)求AB的长;
【解析】(1)由勾股定理得,AB==25;
(2)求△ABC的面积;
【解析】(2)S△ABC=BC·AC=150;
(3)求CD的长.
【解析】(3)由三角形的面积公式可得,AB·CD=150,则CD==12.
知识点2 勾股定理的拼图验证
6.(2024·晋中期中)“赵爽弦图”(图1)通过对图形的切割、拼接,巧妙地利用面积关系证明了一个重要的数学定理,它表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智,是我国古代数学的骄傲,这个图案被选为2002年国际数学家大会的会徽(图2).利用这个图形证明的重要数学定理是(B)
A.三角形内角和定理
B.勾股定理
C.勾股定理的逆定理
D.全等三角形的判定定理
7.在证明勾股定理时,甲、乙两位同学给出如图所示两种方案,则方案正确的是(A)
A.只有甲对 B.只有乙对
C.两人都对 D.两人都不对
【B层 能力进阶】
8.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC=16 cm,以点A为圆心,AC长为半径画弧,交线段AB于点D;以点B为圆心,BD长为半径画弧,交线段BC于点E.若BD=CE,则AC的长为(A)
A.12 cm B.13 cm C.14 cm D.15 cm
9.如图,在四边形ABCD中,∠DAB=∠BCD=90°,分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形,若S1+S4=135,S3=49,则S2=(B)
A.184 B.86 C.119 D.81
10.如图,已知四边形ABCD,AD∥BC,P为CD上的一点,且∠DAP=10°,
∠CBP=80°,PA=3,PB=4.则AB的长为(A)
A.5 B.6 C.7 D.8
11.(2024·泸州质检)如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,△ABC各顶点均在网格的格点上,BD⊥AC于点D,则BD的长为 1 .
12.(易错警示题·忽视分类讨论遗漏情况)一直角三角形的三边长分别为5,12,x,那么以x为边长的正方形的面积为 169或119 .
13.小旭放风筝时,风筝线断了,风筝挂在了树上.他想知道风筝距地面的高度.于是他先拉住风筝线垂直到地面上,发现风筝线多出1米,然后把风筝线沿直线向后拉开5米,发现风筝线末端刚好接触地面(如图为示意图).请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB.
【解析】设AB=x,则AC=x+1,
由题图可得,∠ABC=90°,BC=5,
∴在Rt△ABC中,AB2+BC2=AC2,即x2+52=(x+1)2,
解得x=12,
答:风筝距离地面的高度AB为12米.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(抽象能力、推理能力、运算能力)利用所学的知识计算:
(1)已知a>b,且a2+b2=13,ab=6,求a-b的值;
【解析】(1)∵(a-b)2=a2+b2-2ab=13-2×6=1,∵a>b,即a-b>0,∴a-b=1;
(2)已知a,b,c为Rt△ABC的三边长,其中∠C=90°,若a2+b2+25=6a+8b,求以Rt△ABC斜边为边长的正方形的面积.
【解析】(2)∵a2+b2+25=6a+8b,
∴a2-6a+9+b2-8b+16=0,(a-3)2+(b-4)2=0,∴a=3,b=4,
∴在Rt△ABC中,由勾股定理得c=5,
∴以Rt△ABC斜边c为边长的正方形的面积为c2=25.
