直角三角形的判定
【A层 基础夯实】
知识点1 勾股定理的逆定理
1.(2024·宜宾质检)如图,小亮家的木门左下角有一点受潮,他想检测门是否变形,准备采用如下方法:先测量门的边AB和BC的长,再测量点A和点C间的距离,由此可推断∠B是否为直角,这样做的依据是(C)
A.勾股定理
B.三角形内角和定理
C.勾股定理的逆定理
D.直角三角形的两锐角互余
2.(2024·成都期末)下列各组数中,不能构成直角三角形三边的是(C)
A.7,24,25 B.9,12,15
C.1,,3 D.0.3,0.4,0.5
3.如图,以△ABC的三边向外作正方形,依次得到的正方形的面积为36,64,100,则△ABC的面积是 24 .
4.如图,AD是△ABC的中线,若AB=13,BC=10,AD=12,则AC= 13 .
5.一个三角形三边长分别为15,20,25,则三角形的面积为 150 .
6.(2024·西宁期末)如图,在△ABC中,D是BC上的一点,AC=4,CD=3,AD=5,AB2=80.
(1)求证:∠C=90°;
【解析】(1)∵AC2+CD2=42+32=25,AD2=52=25,
∴AC2+CD2=AD2,
∴△ACD是直角三角形,且∠C=90°;
(2)求BD的长.
【解析】(2)∵在Rt△ABC中,∠C=90°,
∴BC==8,
∴BD=BC-CD=8-3=5.
7.如图是一块四边形木板,其中AB=16 cm,BC=24 cm,CD=9 cm,AD=25 cm,∠B=∠C=90°.李师傅找到BC边的中点P,连结AP,DP,发现△APD是直角三角形,请你通过计算说明理由.
【解析】∵点P为BC的中点,
∴BP=CP=BC=12 cm,∵∠B=90°,
在直角△ABP中,根据勾股定理可得,AB2+BP2=AP2,即162+122=AP2,
解得AP=20 cm,同理可得DP=15 cm,
∵152+202=252,∴DP2+AP2=AD2,
∴△APD是直角三角形,∠APD=90°.
知识点2 勾股数
8.下列数中,能组成一组勾股数的是 (B)
A.0.5,1.2,1.3 B.9,12,15
C.,, D.32,42,52
9.(2023·十堰期末)古希腊哲学家柏拉图曾指出,如果m表示大于1的整数,a=2m,b=m2-1,c=m2+1,那么a,b,c为勾股数.你认为正确吗 如果正确,你能利用这个结论得出一些勾股数吗
【解析】正确.理由:
∵m表示大于1的整数,
∴a,b,c都是正整数,且c是最大的数,
∵(2m)2+(m2-1)2=(m2+1)2,
∴a2+b2=c2,即a,b,c为勾股数.
当m=2时,可得一组勾股数3,4,5(答案不唯一).
【B层 能力进阶】
10.若△ABC的三边长分别为a,b,c,则下列条件中能判定△ABC是直角三角形的
有(C)
①∠A=∠B-∠C;②∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5;
③a2=(b+c)(b-c);④a∶b∶c=5∶12∶13.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
11.(易错警示题·忽略分类讨论遗漏情况)已知两条线段的长分别为3 cm、4 cm,那么能与它们组成直角三角形的第三条线段的长为(D)
A.1 cm B. cm
C.5 cm D.5 cm或 cm
12.如图,小正方形的边长均为1,A,B,C是小正方形的顶点,则∠ACB的度数是(B)
A.30° B.45° C.60° D.90°
13.如图所示,在四边形ABCD中,AB=5,BC=3,DE⊥AC于E,DE=3,S△DAC=6,
则∠ACB的度数为 90° .
14.已知a,b,c是△ABC的三边长,且满足关系(a2-c2+b2)2+|a-b|=0,则△ABC的形状为 等腰直角三角形 .
15.观察下列各组勾股数的组成特点,
第1组:3=2×1+1,4=2×1×(1+1),5=2×1×(1+1)+1;
第2组:5=2×2+1,12=2×2×(2+1),13=2×2×(2+1)+1;
第3组:7=2×3+1,24=2×3×(3+1),25=2×3×(3+1)+1;
第4组:9=2×4+1,40=2×4×(4+1),41=2×4×(4+1)+1;
…;
第7组:a,b,c.
(1)写出第7组勾股数a,b,c各是多少.
【解析】(1)∵第1组:3=2×1+1,4=2×1×(1+1),5=2×1×(1+1)+1,
第2组:5=2×2+1,12=2×2×(2+1),
13=2×2×(2+1)+1,
第3组:7=2×3+1,24=2×3×(3+1),
25=2×3×(3+1)+1,
第4组:9=2×4+1,40=2×4×(4+1),
41=2×4×(4+1)+1,∴第7组勾股数是a=2×7+1=15,b=2×7×(7+1)=112,
c=2×7×(7+1)+1=113,即15,112,113;
(2)写出第n组勾股数,并证明.
【解析】(2)由(1)的规律可知,第n组勾股数是2n+1,2n(n+1),2n(n+1)+1.
证明:∵(2n+1)2=4n2+4n+1,
[2n(n+1)]2=(2n2+2n)2=4n4+4n2+8n3,
[2n(n+1)+1]2=[2n(n+1)]2+4n(n+1)+1=(4n4+4n2+8n3)+(4n2+4n+1),
∴(2n+1)2+[2n(n+1)]2=[2n(n+1)+1]2.
∴第n组勾股数是2n+1,2n(n+1),2n(n+1)+1.
【C层 创新挑战(选做)】
16.(抽象能力、推理能力、运算能力)(新定义问题)定义:在△ABC中,若BC=a,AC=b,AB=c,a,b,c满足ac+a2=b2,则称这个三角形为“类勾股三角形”.请根据以上定义解决下列问题:
(1)如图1所示,若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”,其中AB=BC,AC>AB,请求
∠A的度数.
【解析】(1)∵AB=BC,AC>AB,∴a=c,b>c,
∵△ABC是“类勾股三角形”,
∴ac+a2=b2,∴c2+a2=b2,
∴△ABC是等腰直角三角形,∴∠A=45°.
(2)如图2所示,在△ABC中,∠B=2∠A,且∠C>∠A.请证明△ABC为“类勾股三角形”.
【解析】(2)如图,在AB边上取点D,连结CD,使∠ACD=∠A,作CG⊥AB于G,
∵∠CDB+∠CBD+∠BCD=180°,∠A+∠ACD+∠CBD+∠BCD=180°,
∴∠CDB=∠ACD+∠A=2∠A,
∵∠B=2∠A,∴∠CDB=∠B,
∴CD=CB=a,
∵∠ACD=∠A,∴AD=CD=a,
∴DB=AB-AD=c-a,
∵CG⊥AB,∴DG=BG=(c-a),
∴AG=AD+DG=a+(c-a)=(a+c),
在Rt△ACG中,CG2=AC2-AG2
=b2-[(a+c) ]2,
在Rt△BCG中,CG2=BC2-BG2
=a2-[(c-a) ]2,
∴b2-[(a+c) ]2=a2-[(c-a) ]2,
∴b2=ac+a2,
∴△ABC是“类勾股三角形”. 直角三角形的判定
【A层 基础夯实】
知识点1 勾股定理的逆定理
1.(2024·宜宾质检)如图,小亮家的木门左下角有一点受潮,他想检测门是否变形,准备采用如下方法:先测量门的边AB和BC的长,再测量点A和点C间的距离,由此可推断∠B是否为直角,这样做的依据是( )
A.勾股定理
B.三角形内角和定理
C.勾股定理的逆定理
D.直角三角形的两锐角互余
2.(2024·成都期末)下列各组数中,不能构成直角三角形三边的是( )
A.7,24,25 B.9,12,15
C.1,,3 D.0.3,0.4,0.5
3.如图,以△ABC的三边向外作正方形,依次得到的正方形的面积为36,64,100,则△ABC的面积是 .
4.如图,AD是△ABC的中线,若AB=13,BC=10,AD=12,则AC= .
5.一个三角形三边长分别为15,20,25,则三角形的面积为 .
6.(2024·西宁期末)如图,在△ABC中,D是BC上的一点,AC=4,CD=3,AD=5,AB2=80.
(1)求证:∠C=90°;
(2)求BD的长.
7.如图是一块四边形木板,其中AB=16 cm,BC=24 cm,CD=9 cm,AD=25 cm,∠B=∠C=90°.李师傅找到BC边的中点P,连结AP,DP,发现△APD是直角三角形,请你通过计算说明理由.
知识点2 勾股数
8.下列数中,能组成一组勾股数的是 ( )
A.0.5,1.2,1.3 B.9,12,15
C.,, D.32,42,52
9.(2023·十堰期末)古希腊哲学家柏拉图曾指出,如果m表示大于1的整数,a=2m,b=m2-1,c=m2+1,那么a,b,c为勾股数.你认为正确吗 如果正确,你能利用这个结论得出一些勾股数吗
【B层 能力进阶】
10.若△ABC的三边长分别为a,b,c,则下列条件中能判定△ABC是直角三角形的
有( )
①∠A=∠B-∠C;②∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5;
③a2=(b+c)(b-c);④a∶b∶c=5∶12∶13.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
11.(易错警示题·忽略分类讨论遗漏情况)已知两条线段的长分别为3 cm、4 cm,那么能与它们组成直角三角形的第三条线段的长为( )
A.1 cm B. cm
C.5 cm D.5 cm或 cm
12.如图,小正方形的边长均为1,A,B,C是小正方形的顶点,则∠ACB的度数是( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
13.如图所示,在四边形ABCD中,AB=5,BC=3,DE⊥AC于E,DE=3,S△DAC=6,
则∠ACB的度数为 .
14.已知a,b,c是△ABC的三边长,且满足关系(a2-c2+b2)2+|a-b|=0,则△ABC的形状为 .
15.观察下列各组勾股数的组成特点,
第1组:3=2×1+1,4=2×1×(1+1),5=2×1×(1+1)+1;
第2组:5=2×2+1,12=2×2×(2+1),13=2×2×(2+1)+1;
第3组:7=2×3+1,24=2×3×(3+1),25=2×3×(3+1)+1;
第4组:9=2×4+1,40=2×4×(4+1),41=2×4×(4+1)+1;
…;
第7组:a,b,c.
(1)写出第7组勾股数a,b,c各是多少.
(2)写出第n组勾股数,并证明.
【C层 创新挑战(选做)】
16.(抽象能力、推理能力、运算能力)(新定义问题)定义:在△ABC中,若BC=a,AC=b,AB=c,a,b,c满足ac+a2=b2,则称这个三角形为“类勾股三角形”.请根据以上定义解决下列问题:
(1)如图1所示,若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”,其中AB=BC,AC>AB,请求
∠A的度数.
(2)如图2所示,在△ABC中,∠B=2∠A,且∠C>∠A.请证明△ABC为“类勾股三角形”.
