反证法
【A层 基础夯实】
知识点 反证法
1.(2024·成都期末)用反证法证明“aA.aC.a≤b D.a>b
2.用反证法证明命题“若a⊥c,b⊥c,则a∥b”时,第一步应假设( )
A.a不平行于b B.a平行于b
C.a不垂直于c D.b不垂直于c
3.用反证法证明:若abc=0,则a,b,c至少有一个为0,应该假设( )
A.a,b,c没有一个为0
B.a,b,c只有一个为0
C.a,b,c至多一个为0
D.a,b,c三个都为0
4.用反证法证明命题“若|a|<3,则a2<9”时,应假设( )
A.a>3 B.a≥3
C.a2≥9 D.a2>9
5.(2024·沧州期末)用反证法证明命题:“如图,如果AB∥CD,AB∥EF,那么CD∥EF”,证明的第一个步骤是假设 .
6.如图,两条直线m,n被直线l所截,已知∠1≠∠2.求证:m与n不平行.用反证法证明时,假设为 .
7.用反证法证明“如果|a|>a,那么a<0”是真命题时,第一步应先假设 .
8.用反证法证明命题“不相等的角不是对顶角”时,应假设 .
9.求证:任意三角形的三个外角中至多有一个直角.
【B层 能力进阶】
10.若要运用反证法证明“若a>b>0,则<”,首先应该假设( )
A.≥ B.>
C.≤ D.<
11.已知△ABC中,AB=AC,求证:∠B<90°,下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤:
①∴∠A+∠B+∠C>180°,这与三角形内角和为180°矛盾;
②因此假设不成立.∴∠B<90°;
③假设在△ABC中,∠B≥90°;
④由AB=AC,得∠B=∠C≥90°,即∠B+∠C≥180°.
这四个步骤正确的顺序应是( )
A.④③①② B.③④②①
C.①②③④ D.③④①②
12.用反证法证明“已知五个正数的和等于1,求证:这五个正数中至少有一个大于或等于”时,首先要假设 .
13.用反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°时,假设“ ”,则与“ ”矛盾,所以原命题正确.
14.用反证法证明命题:“若a,b是整数,且ab能被5整除,那么a,b中至少有一个能被5整除”时,应假设 .
15.如图,已知AB∥CD.求证:∠B+∠E+∠D=360°.(要求用反证法证明)
16.(2024·宜宾模拟)反证法证明:如果实数a,b满足a2+b2=0,那么a=0且b=0.
【C层 创新挑战(选做)】
17.(抽象能力、推理能力、运算能力)如图,在△ABC中,AB>AC,AD是内角平分线,AM是BC边上的中线,求证:点M不与点D重合.(用反证法) 反证法
【A层 基础夯实】
知识点 反证法
1.(2024·成都期末)用反证法证明“aA.aC.a≤b D.a>b
2.用反证法证明命题“若a⊥c,b⊥c,则a∥b”时,第一步应假设(A)
A.a不平行于b B.a平行于b
C.a不垂直于c D.b不垂直于c
3.用反证法证明:若abc=0,则a,b,c至少有一个为0,应该假设(A)
A.a,b,c没有一个为0
B.a,b,c只有一个为0
C.a,b,c至多一个为0
D.a,b,c三个都为0
4.用反证法证明命题“若|a|<3,则a2<9”时,应假设(C)
A.a>3 B.a≥3
C.a2≥9 D.a2>9
5.(2024·沧州期末)用反证法证明命题:“如图,如果AB∥CD,AB∥EF,那么CD∥EF”,证明的第一个步骤是假设 CD不平行于EF .
6.如图,两条直线m,n被直线l所截,已知∠1≠∠2.求证:m与n不平行.用反证法证明时,假设为 m∥n .
7.用反证法证明“如果|a|>a,那么a<0”是真命题时,第一步应先假设 a≥0 .
8.用反证法证明命题“不相等的角不是对顶角”时,应假设 不相等的角是对顶角 .
9.求证:任意三角形的三个外角中至多有一个直角.
【证明】假设任意三角形的三个外角中至少有两个直角,
因为两个外角为直角,则相邻两个内角也为90°,
再加上一个角一定大于180°,
与三角形内角和为180°矛盾,
所以任意三角形的三个外角中至多有一个直角.
【B层 能力进阶】
10.若要运用反证法证明“若a>b>0,则<”,首先应该假设(A)
A.≥ B.>
C.≤ D.<
11.已知△ABC中,AB=AC,求证:∠B<90°,下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤:
①∴∠A+∠B+∠C>180°,这与三角形内角和为180°矛盾;
②因此假设不成立.∴∠B<90°;
③假设在△ABC中,∠B≥90°;
④由AB=AC,得∠B=∠C≥90°,即∠B+∠C≥180°.
这四个步骤正确的顺序应是(D)
A.④③①② B.③④②①
C.①②③④ D.③④①②
12.用反证法证明“已知五个正数的和等于1,求证:这五个正数中至少有一个大于或等于”时,首先要假设 这五个正数都小于 .
13.用反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°时,假设“ 三角形的三个内角都小于60° ”,则与“ 三角形的内角和是180° ”矛盾,所以原命题正确.
14.用反证法证明命题:“若a,b是整数,且ab能被5整除,那么a,b中至少有一个能被5整除”时,应假设 a,b都不能被5整除 .
15.如图,已知AB∥CD.求证:∠B+∠E+∠D=360°.(要求用反证法证明)
【证明】假设∠B+∠E+∠D≠360°,如图所示,延长BE交CD的延长线于点F,G为DF延长线上的点,
∵AB∥CD,∴∠B=∠EFG,
∴∠BED+∠CDE+∠EFG≠360°,
这与“多边形的外角和等于360°”相矛盾,
∴∠B+∠BED+∠CDE=360°.
16.(2024·宜宾模拟)反证法证明:如果实数a,b满足a2+b2=0,那么a=0且b=0.
【证明】假设a≠0或b≠0,
当a≠0且b≠0时,a2>0,b2>0,∴a2+b2>0,
与a2+b2=0出现矛盾,故假设不成立,原命题正确.
同理可得:当a≠0且b=0或a=0且b≠0时,与a2+b2=0出现矛盾,故假设不成立,原命题正确.
【C层 创新挑战(选做)】
17.(抽象能力、推理能力、运算能力)如图,在△ABC中,AB>AC,AD是内角平分线,AM是BC边上的中线,求证:点M不与点D重合.(用反证法)
【证明】假设点M与点D重合.
延长AM到N,使AM=MN,连结BN;
在△AMC和△NMB中,,
∴△AMC≌△NMB(S.A.S.),
∴∠MAC=∠MNB,AC=BN,
∵AM(AD)是∠BAC的平分线,
∴∠BAM=∠MAC,
∴∠MNB=∠BAM,
∴BN=AB,即AC=AB,与AB>AC相矛盾.
因而点M与点D重合是错误的.
所以点M与点D不重合.
