勾股定理的应用(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 求立体图形表面最短路径问题
1.(2022·金华中考)如图,圆柱的底面直径为AB,高为AC,一只蚂蚁在C处,沿圆柱的侧面爬到B处,现将圆柱侧面沿AC剪开,在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线,正确的是 ( )
2.如图,动点P从点A出发,沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S,若BC=8,点P移动的最短距离为5,则圆柱的底面周长为 ( )
A.6 B.4π C.8 D.10
3.(2024·攀枝花期末)如图,在一个长方形草坪ABCD上,放着一根长方体的木块.已知AD=6米,AB=4米,该木块的较长边与AD平行,横截面是边长为2米的正方形,一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是 米.
知识点2 用勾股定理解决其他实际问题
4.在两条垂直相交的道路上,一辆自行车和一辆摩托车相遇后又分别向北、向东驶去,若自行车与摩托车每秒分别行驶2.5米、6米,则10秒后两车相距 ( )
A.55米 B.65米 C.75米 D.85米
5.如图,已知钓鱼竿AC的长为10 m,露在水面上的鱼线BC长为6 m,某钓鱼者想看看鱼钩上的情况,把鱼竿AC转动到AC'的位置,此时露在水面上的鱼线B'C'为8 m,则BB'的长为 ( )
A.1 m B.2 m C.3 m D.4 m
6.《算法统宗》记载古人丈量田地的诗:“昨日丈量地回,记得长步整三十.广斜相并五十步,不知几亩及分厘.”其大意是:昨天丈量了田地回到家,记得长方形田的长为30步,宽和对角线之和为50步.不知该田有几亩 请你帮他算一算,该田有 亩(1亩=240平方步).
7.在一棵树的10米高的B处有两只猴子,一只猴子爬下树爬到离树20米的池塘的A处,另一只爬到树顶D后直接跃到A处.距离以直线计算.如果两只猴子所经过的距离相等,则这棵树高多少米
【B层 能力进阶】
8.(2024·宜宾质检)如图,正方体的棱长为4 cm,A是正方体的一个顶点,B是侧面正方形对角线的交点.一只蚂蚁在正方体的表面上爬行,从点A爬到点B的最短路径约是 ( )
A.6.3 cm B.4.8 cm
C.4.5 cm D.6 cm
9.(2024·南京期末)如图,一根长为15 cm的铅笔放在长方体笔筒中,已知笔筒的三边长度依次为3 cm,4 cm,12 cm(笔筒厚度忽略不计),那么这根铅笔露在笔筒外的部分长度x的取值范围是( )
A.2 cm≤x≤5 cm B.2 cm≤x≤3 cm
C.4 cm≤x≤5 cm D.9 cm≤x≤12 cm
10.如图,货车车高AC=4 m,卸货时后面挡板AB折落在地面A1处,已知点A,B,C在一条直线上,AC⊥A1C,经过测量A1C=2 m,则BC= .
11.已知在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=CA=2,AA1=9,一只蚂蚁从A点出发绕三棱柱侧面两周到达点A1,则蚂蚁爬行的最短距离为 .
12.某款笔记本电脑如图,当张角为∠BAF时,顶部边缘B处离桌面的高度BC为7 cm,此时底部边缘A处与C处间的距离AC为24 cm;调整张角的大小,当张角为∠DAF时(D是B的对应点),顶部边缘D处到桌面的距离DE为20 cm.
(1)求AB的长;
(2)求CE的长.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(应用意识、运算能力)(2024·重庆期末)如图,A,B,C是我国南部的三个岛屿,已知岛屿C在岛屿A的东北方向,岛屿B在岛屿A的正东方向,A,C两岛的距离为20 km,A,B两岛的距离为68 km.
(1)求出B,C两岛的距离;
(2)在岛屿B产生了台风,风力影响半径为25 km(即以台风中心B为圆心,25 km为半径的圆形区域都会受到台风影响),台风中心以20 km/h的速度由B向A移动,请判断岛屿C是否会受到台风的影响,若不会受到影响,请说明理由;若会受到影响,请求出台风影响岛屿C持续时间有多长. 勾股定理的应用(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 求立体图形表面最短路径问题
1.(2022·金华中考)如图,圆柱的底面直径为AB,高为AC,一只蚂蚁在C处,沿圆柱的侧面爬到B处,现将圆柱侧面沿AC剪开,在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线,正确的是 (C)
2.如图,动点P从点A出发,沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S,若BC=8,点P移动的最短距离为5,则圆柱的底面周长为 (A)
A.6 B.4π C.8 D.10
3.(2024·攀枝花期末)如图,在一个长方形草坪ABCD上,放着一根长方体的木块.已知AD=6米,AB=4米,该木块的较长边与AD平行,横截面是边长为2米的正方形,一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是 10 米.
知识点2 用勾股定理解决其他实际问题
4.在两条垂直相交的道路上,一辆自行车和一辆摩托车相遇后又分别向北、向东驶去,若自行车与摩托车每秒分别行驶2.5米、6米,则10秒后两车相距 (B)
A.55米 B.65米 C.75米 D.85米
5.如图,已知钓鱼竿AC的长为10 m,露在水面上的鱼线BC长为6 m,某钓鱼者想看看鱼钩上的情况,把鱼竿AC转动到AC'的位置,此时露在水面上的鱼线B'C'为8 m,则BB'的长为 (B)
A.1 m B.2 m C.3 m D.4 m
6.《算法统宗》记载古人丈量田地的诗:“昨日丈量地回,记得长步整三十.广斜相并五十步,不知几亩及分厘.”其大意是:昨天丈量了田地回到家,记得长方形田的长为30步,宽和对角线之和为50步.不知该田有几亩 请你帮他算一算,该田有 2 亩(1亩=240平方步).
7.在一棵树的10米高的B处有两只猴子,一只猴子爬下树爬到离树20米的池塘的A处,另一只爬到树顶D后直接跃到A处.距离以直线计算.如果两只猴子所经过的距离相等,则这棵树高多少米
【解析】设树的高度为x米,因两只猴子所经过的距离相等都为30米,
由勾股定理得x2+202=[30-(x-10)]2,
解得x=15.
故这棵树高15米.
【B层 能力进阶】
8.(2024·宜宾质检)如图,正方体的棱长为4 cm,A是正方体的一个顶点,B是侧面正方形对角线的交点.一只蚂蚁在正方体的表面上爬行,从点A爬到点B的最短路径约是 (A)
A.6.3 cm B.4.8 cm
C.4.5 cm D.6 cm
9.(2024·南京期末)如图,一根长为15 cm的铅笔放在长方体笔筒中,已知笔筒的三边长度依次为3 cm,4 cm,12 cm(笔筒厚度忽略不计),那么这根铅笔露在笔筒外的部分长度x的取值范围是(B)
A.2 cm≤x≤5 cm B.2 cm≤x≤3 cm
C.4 cm≤x≤5 cm D.9 cm≤x≤12 cm
10.如图,货车车高AC=4 m,卸货时后面挡板AB折落在地面A1处,已知点A,B,C在一条直线上,AC⊥A1C,经过测量A1C=2 m,则BC= 1.5 m .
11.已知在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=CA=2,AA1=9,一只蚂蚁从A点出发绕三棱柱侧面两周到达点A1,则蚂蚁爬行的最短距离为 15 .
12.某款笔记本电脑如图,当张角为∠BAF时,顶部边缘B处离桌面的高度BC为7 cm,此时底部边缘A处与C处间的距离AC为24 cm;调整张角的大小,当张角为∠DAF时(D是B的对应点),顶部边缘D处到桌面的距离DE为20 cm.
(1)求AB的长;
(2)求CE的长.
【解析】(1)由题意可知,∠ACB=∠AED=90°,AC=24 cm,BC=7 cm,在Rt△ABC中,由勾股定理得AB===25(cm),
即AB的长为25 cm;
(2)由题意可知,AB=AD=25 cm,DE=20 cm,
在Rt△ADE中,由勾股定理得AE===15(cm),
∴CE=AC-AE=24-15=9(cm),
即CE的长为9 cm.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(应用意识、运算能力)(2024·重庆期末)如图,A,B,C是我国南部的三个岛屿,已知岛屿C在岛屿A的东北方向,岛屿B在岛屿A的正东方向,A,C两岛的距离为20 km,A,B两岛的距离为68 km.
(1)求出B,C两岛的距离;
(2)在岛屿B产生了台风,风力影响半径为25 km(即以台风中心B为圆心,25 km为半径的圆形区域都会受到台风影响),台风中心以20 km/h的速度由B向A移动,请判断岛屿C是否会受到台风的影响,若不会受到影响,请说明理由;若会受到影响,请求出台风影响岛屿C持续时间有多长.
【解析】(1)过点C作CD⊥AB于点D,
由题意知,∠A=45°,
∴∠A=∠ACD=45°,
∴CD=AD,
在Rt△ACD中,AC=20 km,
由勾股定理,得AD2+CD2=AC2,
∴2AD2=(20)2,
解得AD=20 km(负值舍去),
∴CD=20 km,
在Rt△BCD中,
BD=AB-AD=68-20=48(km),
由勾股定理,得BC===52(km),
答:B,C两岛的距离为52 km;
(2)以点C为圆心,25 km长为半径画弧与AB交于点E,F,
则EF=2DE,
在Rt△CDE中,
由勾股定理,得DE===15(km),
∴EF=30 km,
30÷20=1.5(h),
答:会受影响,台风影响岛屿C持续时间为1.5 h.
