勾股定理的应用(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 网格中的相关计算
1.(2024·大连质检)如图,在单位长度为1的4×4的网格中,下列线段长为的是 ( )
A.AB B.AC C.AD D.AE
2.(2024·南宁模拟)如图,网格中每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,以A为圆心,AB为半径画弧,交最上方的网格线于点D,则CD的长为 ( )
A.-1 B.3- C. D.
3.如图所示,在△ABC中,三边a,b,c的大小关系是 ( )
A.a
C.c4.(2024·成都期末)如图,在边长为1的正方形网格中,A,B,C均在正方形格点上,则C点到AB的距离约为 .(≈3.16,精确到0.1)
知识点2 利用勾股定理及其逆定理进行计算
5.如图,以Rt△ABC的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形.若AB=5,则图中阴影部分的面积为 ( )
A.6 B. C. D.25
6.(2024·青岛期末)将面积为8π的半圆与两个正方形拼接如图所示,这两个正方形面积的和为( )
A.16 B.32 C.8π D.64
7.如图,已知∠OAB=∠OBC=∠OCD=90°,AB=BC=CD=1,OA=3,则OD≈ .(精确到0.1)
8.如图是某品牌婴儿车简化结构示意图,现测得AB=CD=6 dm,BC=3 dm,AD=9 dm,其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连结(即∠ABD=90°),根据安全标准需满足BC⊥CD,通过计算说明该车是否符合安全标准.
【B层 能力进阶】
9.如图,某自动感应门的正上方A处装着一个感应器,离地AB=2.5米,当人体进入感应器的感应范围内时,感应门就会自动打开.一个身高1.6米的学生CD正对门,缓慢走到离门1.2米的地方时(BC=1.2米),感应门自动打开,则人头顶离感应器的距离AD等于 ( )
A.1.2米 B.1.5米 C.2.0米 D.2.5米
10.如图,在由边长为1的正方形组成的网格图中标有AB,CD,EF,GH四条线段,其中能构成一个直角三角形三边的线段是 ( )
A.AB,CD,EF B.AB,CD,GH
C.AB,EF,GH D.CD,EF,GH
11.(2024·宜宾质检)如图,已知△ABC中,AB=2,AC=3,AD⊥BC于D,P为AD上任一点,则PC2-PB2等于 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
12.(2024·长沙期末)如图所示,数轴上点O,A,B分别对应数字0,2,3,过点B作PQ⊥AB,以点B为圆心,AB长为半径画弧.交PQ于点C,以原点O为圆心,OC长为半径画弧,交数轴正半轴于点M.则点M所对应的数为 .
13.在网格图中,每个小正方形的边长都为1,四边形ABCD的四个顶点都在格点上.
(1)判断AB与BC的位置关系,并说明理由;
(2)求四边形ABCD的周长(精确到0.1,≈4.123,≈2.236).
【C层 创新挑战(选做)】
14.(应用意识、几何直观、运算能力)(2024·泸州质检)为了更好地提升居民的生活水平和居住满意度,某小区进行小范围绿化,要在一块如图所示的四边形空地ABCD内进行绿化改造,测得∠A=90°,AB=12 m,AD=9 m,CD=8 m,BC=17 m.
(1)若要在B,D两点间铺一条鹅卵石路,铺设成本为120元/ m,求铺设这条鹅卵石路的最低花费;
(2)如果种植草皮的费用是200元/ m2,那么在整块空地上种植草皮共需投入多少元 勾股定理的应用(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 网格中的相关计算
1.(2024·大连质检)如图,在单位长度为1的4×4的网格中,下列线段长为的是 (D)
A.AB B.AC C.AD D.AE
2.(2024·南宁模拟)如图,网格中每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,以A为圆心,AB为半径画弧,交最上方的网格线于点D,则CD的长为 (B)
A.-1 B.3- C. D.
3.如图所示,在△ABC中,三边a,b,c的大小关系是 (B)
A.aC.c4.(2024·成都期末)如图,在边长为1的正方形网格中,A,B,C均在正方形格点上,则C点到AB的距离约为 2.5 .(≈3.16,精确到0.1)
知识点2 利用勾股定理及其逆定理进行计算
5.如图,以Rt△ABC的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形.若AB=5,则图中阴影部分的面积为 (D)
A.6 B. C. D.25
6.(2024·青岛期末)将面积为8π的半圆与两个正方形拼接如图所示,这两个正方形面积的和为(D)
A.16 B.32 C.8π D.64
7.如图,已知∠OAB=∠OBC=∠OCD=90°,AB=BC=CD=1,OA=3,则OD≈ 3.5 .(精确到0.1)
8.如图是某品牌婴儿车简化结构示意图,现测得AB=CD=6 dm,BC=3 dm,AD=9 dm,其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连结(即∠ABD=90°),根据安全标准需满足BC⊥CD,通过计算说明该车是否符合安全标准.
【解析】该车符合安全标准,证明如下:
在Rt△ABD中,BD2=AD2-AB2=92-62=45,
在△BCD中,BC2+CD2=32+62=45,
∴BC2+CD2=BD2,
∴△BCD是直角三角形,∠BCD=90°,
∴BC⊥CD,
∴该车符合安全标准.
【B层 能力进阶】
9.如图,某自动感应门的正上方A处装着一个感应器,离地AB=2.5米,当人体进入感应器的感应范围内时,感应门就会自动打开.一个身高1.6米的学生CD正对门,缓慢走到离门1.2米的地方时(BC=1.2米),感应门自动打开,则人头顶离感应器的距离AD等于 (B)
A.1.2米 B.1.5米 C.2.0米 D.2.5米
10.如图,在由边长为1的正方形组成的网格图中标有AB,CD,EF,GH四条线段,其中能构成一个直角三角形三边的线段是 (A)
A.AB,CD,EF B.AB,CD,GH
C.AB,EF,GH D.CD,EF,GH
11.(2024·宜宾质检)如图,已知△ABC中,AB=2,AC=3,AD⊥BC于D,P为AD上任一点,则PC2-PB2等于 (A)
A.5 B.6 C.7 D.8
12.(2024·长沙期末)如图所示,数轴上点O,A,B分别对应数字0,2,3,过点B作PQ⊥AB,以点B为圆心,AB长为半径画弧.交PQ于点C,以原点O为圆心,OC长为半径画弧,交数轴正半轴于点M.则点M所对应的数为 .
13.在网格图中,每个小正方形的边长都为1,四边形ABCD的四个顶点都在格点上.
(1)判断AB与BC的位置关系,并说明理由;
(2)求四边形ABCD的周长(精确到0.1,≈4.123,≈2.236).
【解析】(1)AB⊥BC,理由如下:
连结AC,
由题意得,
AB2=22+42=20,
CB2=22+12=5,
AC2=32+42=25,
∴AB2+BC2=AC2,∴△ABC是直角三角形,
∴∠ABC=90°,∴AB⊥BC;
(2)由题意得,CD=2,AD2=12+42=17,
∴AD=≈4.123,
∵AB+BC=3≈6.708,
∴四边形ABCD的周长为AB+BC+CD+AD≈6.708+2+4.123≈12.8,
∴四边形ABCD的周长约为12.8.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(应用意识、几何直观、运算能力)(2024·泸州质检)为了更好地提升居民的生活水平和居住满意度,某小区进行小范围绿化,要在一块如图所示的四边形空地ABCD内进行绿化改造,测得∠A=90°,AB=12 m,AD=9 m,CD=8 m,BC=17 m.
(1)若要在B,D两点间铺一条鹅卵石路,铺设成本为120元/ m,求铺设这条鹅卵石路的最低花费;
(2)如果种植草皮的费用是200元/ m2,那么在整块空地上种植草皮共需投入多少元
【解析】(1)如图,连接BD,
∵∠A=90°,AB=12 m,AD=9 m,
∴BD===15(m),
∵铺设成本为120元/m,
∴铺设这条鹅卵石路的最低花费为120×15=1 800(元).
(2)∵CD=8 m,BC=17 m,BD=15 m.
∴CD2+BD2=82+152=289=172=BC2,
∴∠BDC=90°,
∴整块空地的面积为S△ABD+S△BCD=×9×12+×15×8=114(m2),
∵种植草皮的费用是200元/m2,
∴整块空地上种植草皮共需投入114×200=22 800(元).