第12章 整式的乘除
(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.计算:(-2a3)2的结果是 (B)
A.2a6 B.4a6 C.-4a6 D.4a5
2.下列式子中,分解因式结果为(3a-y)(3a+y)的多项式是 (C)
A.9a2+y2 B.-9a2+y2
C.9a2-y2 D.-9a2-y2
3.下列各式运算正确的是 (D)
A.x2·x4=x8 B.x12÷x2=x6 C.(x+y)2=x2+y2 D.(x2y)3=x6y3
4.(2023·德阳中考)已知3x=y,则= (D)
A.y B.1+y C.3+y D.3y
5.(2023·济宁中考)下列各式从左到右的变形,因式分解正确的是 (C)
A.(a+3)2=a2+6a+9
B.a2-4a+4=a(a-4)+4
C.5ax2-5ay2=5a(x+y)(x-y)
D.a2-2a-8=(a-2)(a+4)
6.(2023·赤峰中考)已知2a2-a-3=0,则(2a+3)(2a-3)+(2a-1)2的值是 (D)
A.6 B.-5 C.-3 D.4
7.课堂上老师在黑板上布置了如框所示的题目,小南马上发现了其中有一道题目错了,你知道错的是哪道题目吗 (B)
用平方差公式分解下列各式:
(1)a2-b2 (2)-x2-y2 (3)-x2+9 (4)4m2-25n2
A.第(1)道题 B.第(2)道题 C.第(3)道题 D.第(4)道题
8.观察等式:2+22=23-2;2+22+23=24-2;2+22+23+24=25-2;…;已知按一定规律排列的一组数:2100,2101,2102,…,2199,2200,若2100=S,用含S的式子表示这组数据的和是 (A)
A.2S2-S B.2S2+S C.2S2-2S D.2S2-2S-2
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.(2023·苏州中考)因式分解:a2+ab= a(a+b) .
10.(2023·江西中考)化简:(a+1)2-a2= 2a+1 .
11.若m,n满足3m-n-4=0,则8m÷2n= 16 .
12.在数学学习中,我们常把数或表示数的字母与图形结合起来,著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想,其中谈到“数缺形时少直观,形少数时难入微”.如图是由四个长为a,宽为b的长方形拼摆而成的正方形,其中a>b>0,若ab=3,a2+b2=10,则a-b的值为 2 .
13.(2023·临沂中考)观察下列式子:
1×3+1=22;
2×4+1=32;
3×5+1=42;
…;
按照上述规律, (n-1)(n+1)+1 =n2.
14.(2023·绥化中考)在求1+2+3+…+100的值时,发现:1+100=101,2+99=101,…,从而得到1+2+3+…+100=101×50=5 050.按此方法可解决下面问题.图(1)有1个三角形,记作a1=1;分别连接这个三角形三边中点得到图(2),有5个三角形,记作a2=5;再分别连接图(2)中间的小三角形三边中点得到图(3),有9个三角形,记作a3=9;按此方法继续下去,则a1+a2+a3+…+an= 2n2-n .(结果用含n的代数式表示)
三、解答题(共52分)
15.(6分)计算:
(1)(2023·重庆中考A卷)a(2-a)+(a+1)(a-1).
【解析】(1)a(2-a)+(a+1)(a-1)=2a-a2+a2-1=2a-1.
(2)x(x+6)+(x-3)2.
【解析】(2)x(x+6)+(x-3)2=x2+6x+x2-6x+9=2x2+9.
16.(8分)分解因式:
(1)2a3-12a2+18a.
【解析】(1)原式=2a(a2-6a+9)=2a(a-3)2.
(2)(2x+y)2-(x+2y)2.
【解析】(2)(2x+y)2-(x+2y)2=[2x+y+(x+2y)][2x+y-(x+2y)]=(2x+y+x+2y)(2x+y-x-2y)
=(3x+3y)(x-y)=3(x+y)(x-y).
17.(8分)先化简,再求值:(2x+y)2+(x-y)(x+y)-5x(x-y),其中x=2,y=-.
【解析】原式=4x2+4xy+y2+x2-y2-5x2+5xy=9xy,
当x=2,y=-时,原式=9×2×(-)=-6.
18.(10分)观察下列式子因式分解的方法:
①x2-1=(x-1)(x+1).
②x3-1=x3-x+x-1(第一步)
=x(x2-1)+x-1(第二步)
=x(x-1)(x+1)+(x-1)(第三步)
=(x-1)[x(x+1)+1](第四步)
=(x-1)(x2+x+1)(第五步).
③x4-1=x4-x+x-1
=x(x3-1)+x-1
=x(x-1)(x2+x+1)+(x-1)
=(x-1)[x(x2+x+1)+1]
=(x-1)(x3+x2+x+1).
(1)在②中,第三步到第四步用到的因式分解的方法是提公因式法;
【解析】(1)由题意得,第三步到第四步提取了公因式(x-1),故采用的方法是提公因式法.
(2)模仿以上方法,尝试对x5-1进行因式分解;
【解析】(2)x5-1=x5-x4+x4-1=x4(x-1)+(x-1)(x3+x2+x+1)=(x-1)(x4+x3+x2+x+1).
(3)观察以上结果,直接写出xn-1因式分解后的结果;
【解析】(3)由(1)(2)可得,xn-1=(x-1)(++…+x2+x+1).
(4)根据以上结论,试求25+24+23+22+2+1的值.
【解析】(4)由(3)可得,xn-1=(x-1)(++…+x2+x+1),
∴当n=6时,x6-1=(x-1)(x5+x4+x3+x2+x+1).
令x=2,∴26-1=(2-1)(25+24+23+22+2+1).
∴25+24+23+22+2+1=63.
19.(10分)(2023·河北中考)现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张,卡片的边长如图所示(a>1).某同学分别用6张卡片拼出了两个长方形(不重叠无缝隙),如图2和图3,其面积分别为S1,S2.
(1)请用含a的式子分别表示S1,S2,当a=2时,求S1+S2的值;
【解析】(1)由题图可知S1=(a+2)(a+1)=a2+3a+2,S2=(5a+1)×1=5a+1,
当a=2时,S1+S2=4+6+2+10+1=23;
(2)比较S1与S2的大小,并说明理由.
【解析】(2)S1>S2,
理由:∵S1-S2=a2+3a+2-5a-1=a2-2a+1=(a-1)2>0,∴S1>S2.
20.(10分)观察下列分解因式的过程:
x2+2xy-3y2.
解:原式=x2+2xy+y2-y2-3y2
=(x2+2xy+y2)-4y2
=(x+y)2-(2y)2
=(x+y+2y)(x+y-2y)
=(x+3y)(x-y).
像这种通过增减项把多项式转化成完全平方形式的方法称为配方法.
(1)请你运用上述配方法分解因式:x2-4xy-5y2;
【解析】(1)由题意,x2-4xy-5y2=x2-4xy+4y2-9y2=(x-2y)2-9y2
=(x-2y+3y)(x-2y-3y)=(x+y)(x-5y).
(2)已知△ABC的三边长a,b,c都是正整数,且满足a2+b2=8a+6b-25,求△ABC周长的最大值.
【解析】(2)由题意,a2+b2=8a+6b-25,∴a2-8a+b2-6b+25=0.
∴a2-8a+16+b2-6b+9=0.∴(a-4)2+(b-3)2=0.∴a=4,b=3.∴1又c为正整数,
∵求△ABC周长的最大值,∴c=6.∴a+b+c=4+3+6=13.
答:满足题意的△ABC周长的最大值为13.
【附加题】(10分)
我们定义:一个整数能表示成a2+b2(a,b是整数)的形式,则称这个数为“完美数”.
例如,5是“完美数”.理由:因为5=22+12,所以5是“完美数”.
[解决问题]
(1)已知29是“完美数”,请将它写成a2+b2(a,b是整数)的形式52+22;
【解析】(1)29=25+4=52+22;
(2)若x2-6x+5可配方成(x-m)2+n(m,n为常数),则mn=-12;
【解析】(2)x2-6x+5=x2-6x+9-9+5=(x-3)2-4;
∴m=3,n=-4,∴mn=3×(-4)=-12;
[探究问题]
(3)已知x2+y2-2x+4y+5=0,则x+y=-1;
【解析】(3)∵x2+y2-2x+4y+5=0,∴x2-2x+1+y2+4y+4=0,
∴(x-1)2+(y+2)2=0,∴x-1=0,y+2=0,解得x=1,y=-2,∴x+y=1-2=-1;
(4)已知S=x2+4y2+4x-12y+k(x,y是整数,k是常数),要使S为“完美数”,试求出符合条件的一个k值,并说明理由;
【解析】(4)S=x2+4y2+4x-12y+k=x2+4x+4+4y2-12y+9-13+k=(x+2)2+(2y-3)2+k-13,
当S为完美数时,∴k-13=0,解得k=13.
[拓展结论]
(5)已知实数x,y满足-x2+x+y-5=0,求x-2y的最值.
【解析】(5)∵-x2+x+y-5=0,∴y=x2-x+5,
∴x-2y=x-2(x2-x+5)=-2x2+6x-10=-2(x2-3x)-10=-2[x2-3x+-]-10
=-2-,
∵-2≤0,
∴-2-≤-;
∴x-2y的最大值为-.第12章 整式的乘除
(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.计算:(-2a3)2的结果是 ( )
A.2a6 B.4a6 C.-4a6 D.4a5
2.下列式子中,分解因式结果为(3a-y)(3a+y)的多项式是 ( )
A.9a2+y2 B.-9a2+y2
C.9a2-y2 D.-9a2-y2
3.下列各式运算正确的是 ( )
A.x2·x4=x8 B.x12÷x2=x6 C.(x+y)2=x2+y2 D.(x2y)3=x6y3
4.(2023·德阳中考)已知3x=y,则= ( )
A.y B.1+y C.3+y D.3y
5.(2023·济宁中考)下列各式从左到右的变形,因式分解正确的是 ( )
A.(a+3)2=a2+6a+9
B.a2-4a+4=a(a-4)+4
C.5ax2-5ay2=5a(x+y)(x-y)
D.a2-2a-8=(a-2)(a+4)
6.(2023·赤峰中考)已知2a2-a-3=0,则(2a+3)(2a-3)+(2a-1)2的值是 ( )
A.6 B.-5 C.-3 D.4
7.课堂上老师在黑板上布置了如框所示的题目,小南马上发现了其中有一道题目错了,你知道错的是哪道题目吗 ( )
用平方差公式分解下列各式:
(1)a2-b2 (2)-x2-y2 (3)-x2+9 (4)4m2-25n2
A.第(1)道题 B.第(2)道题 C.第(3)道题 D.第(4)道题
8.观察等式:2+22=23-2;2+22+23=24-2;2+22+23+24=25-2;…;已知按一定规律排列的一组数:2100,2101,2102,…,2199,2200,若2100=S,用含S的式子表示这组数据的和是 ( )
A.2S2-S B.2S2+S C.2S2-2S D.2S2-2S-2
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.(2023·苏州中考)因式分解:a2+ab= .
10.(2023·江西中考)化简:(a+1)2-a2= .
11.若m,n满足3m-n-4=0,则8m÷2n= .
12.在数学学习中,我们常把数或表示数的字母与图形结合起来,著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想,其中谈到“数缺形时少直观,形少数时难入微”.如图是由四个长为a,宽为b的长方形拼摆而成的正方形,其中a>b>0,若ab=3,a2+b2=10,则a-b的值为 .
13.(2023·临沂中考)观察下列式子:
1×3+1=22;
2×4+1=32;
3×5+1=42;
…;
按照上述规律, =n2.
14.(2023·绥化中考)在求1+2+3+…+100的值时,发现:1+100=101,2+99=101,…,从而得到1+2+3+…+100=101×50=5 050.按此方法可解决下面问题.图(1)有1个三角形,记作a1=1;分别连接这个三角形三边中点得到图(2),有5个三角形,记作a2=5;再分别连接图(2)中间的小三角形三边中点得到图(3),有9个三角形,记作a3=9;按此方法继续下去,则a1+a2+a3+…+an= .(结果用含n的代数式表示)
三、解答题(共52分)
15.(6分)计算:
(1)(2023·重庆中考A卷)a(2-a)+(a+1)(a-1).
(2)x(x+6)+(x-3)2.
16.(8分)分解因式:
(1)2a3-12a2+18a.
(2)(2x+y)2-(x+2y)2.
17.(8分)先化简,再求值:(2x+y)2+(x-y)(x+y)-5x(x-y),其中x=2,y=-.
18.(10分)观察下列式子因式分解的方法:
①x2-1=(x-1)(x+1).
②x3-1=x3-x+x-1(第一步)
=x(x2-1)+x-1(第二步)
=x(x-1)(x+1)+(x-1)(第三步)
=(x-1)[x(x+1)+1](第四步)
=(x-1)(x2+x+1)(第五步).
③x4-1=x4-x+x-1
=x(x3-1)+x-1
=x(x-1)(x2+x+1)+(x-1)
=(x-1)[x(x2+x+1)+1]
=(x-1)(x3+x2+x+1).
(1)在②中,第三步到第四步用到的因式分解的方法是 ;
(2)模仿以上方法,尝试对x5-1进行因式分解;
(3)观察以上结果,直接写出xn-1因式分解后的结果;
(4)根据以上结论,试求25+24+23+22+2+1的值.
19.(10分)(2023·河北中考)现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张,卡片的边长如图所示(a>1).某同学分别用6张卡片拼出了两个长方形(不重叠无缝隙),如图2和图3,其面积分别为S1,S2.
(1)请用含a的式子分别表示S1,S2,当a=2时,求S1+S2的值;
(2)比较S1与S2的大小,并说明理由.
20.(10分)观察下列分解因式的过程:
x2+2xy-3y2.
解:原式=x2+2xy+y2-y2-3y2
=(x2+2xy+y2)-4y2
=(x+y)2-(2y)2
=(x+y+2y)(x+y-2y)
=(x+3y)(x-y).
像这种通过增减项把多项式转化成完全平方形式的方法称为配方法.
(1)请你运用上述配方法分解因式:x2-4xy-5y2;
(2)已知△ABC的三边长a,b,c都是正整数,且满足a2+b2=8a+6b-25,求△ABC周长的最大值.
【附加题】(10分)
我们定义:一个整数能表示成a2+b2(a,b是整数)的形式,则称这个数为“完美数”.
例如,5是“完美数”.理由:因为5=22+12,所以5是“完美数”.
[解决问题]
(1)已知29是“完美数”,请将它写成a2+b2(a,b是整数)的形式 ;
(2)若x2-6x+5可配方成(x-m)2+n(m,n为常数),则mn= ;
[探究问题]
(3)已知x2+y2-2x+4y+5=0,则x+y= ;
(4)已知S=x2+4y2+4x-12y+k(x,y是整数,k是常数),要使S为“完美数”,试求出符合条件的一个k值,并说明理由;
[拓展结论]
(5)已知实数x,y满足-x2+x+y-5=0,求x-2y的最值.
