第13章 全等三角形
(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.△ABC中,AB=AC=2,∠B=60°,则BC= ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
2.(2024·泉州期末)下列命题的逆命题是真命题的是 ( )
A.全等三角形的对应角相等
B.对顶角相等
C.若x>y,则x-y>0
D.若C是线段AB的中点,则AC=BC
3.(2024·南通质检)如图,已知△ABC≌△DEC,∠ACB=100°,∠D=35°,则∠E= ( )
A.35° B.45° C.55° D.无法计算
4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,要求用圆规和直尺作图,把它分成两个三角形,其中一个三角形是等腰三角形.其作法错误的是 ( )
5.(2023·台州中考)如图,锐角三角形ABC中,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,连结BE,CD.下列命题中,假命题是 ( )
A.若CD=BE,则∠DCB=∠EBC B.若∠DCB=∠EBC,则CD=BE
C.若BD=CE,则∠DCB=∠EBC D.若∠DCB=∠EBC,则BD=CE
6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12 cm,BC=6 cm,线段PQ=AB,P,Q两点分别在线段AC和AC的垂线AX上移动,若以A,B,C为顶点的三角形与以A,P,Q为顶点的三角形全等,则AP的值为 ( )
A.8 cm B.12 cm C.12 cm或6 cm D.12 cm或8 cm
7.如图,OE是∠AOB的平分线,BD⊥OA,AC⊥OB,垂足分别为D,C,BD,AC都经过点E,则图中全等的三角形共有 对 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
8.(2024·天津期中)如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连结PQ.以下五个结论:①AD=BE;②PQ∥AE;③AP=BQ;④连结OC,OC平分∠AOE;⑤∠AOB=60°.恒成立的结论有 ( )
A.①⑤ B.①②⑤
C.①②③⑤ D.①②③④⑤
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是 .
10.检测房梁是否水平,可以采用下面的方法:
在等腰直角三角尺斜边中点拴一条线绳,线绳的另一端拴一个铅锤,把这块三角尺的斜边贴在房梁上,结果线绳经过三角尺的顶点,则可以判断房梁是水平的.这样做的根据是: .
11.如图,D在BC边上,△ABC≌△ADE,∠EAC=44°,则∠B的度数为 .
12.如图,在△ABC中,∠B=30°,∠C=50°,通过观察尺规作图的痕迹,∠DEA的度数是 .
13.(2023·重庆中考A卷)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为BC上一点,连结AD.过点B作BE⊥AD于点E,过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F.若BE=4,CF=1,则EF的长度为 .
14.如图,∠BOC=60°,A是BO的延长线上一点,OA=10 cm,动点P从点A出发,沿AB以3 cm/s的速度移动,动点Q从点O出发沿OC以2 cm/s的速度移动,若点P,Q同时出发,当△OPQ是等腰三角形时,移动的时间是 .
三、解答题(共52分)
15.(6分)(2023·云南中考)如图,C是BD的中点,AB=ED,AC=EC.求证:△ABC≌△EDC.
16.(8分)(2024·北京期中)下面是“过直线上一点作已知直线的垂线”的尺规作图过程:
已知:如图,点P在直线l上.
求作:直线PQ,使PQ⊥l.
作法:①以点P为圆心,任意长为半径画弧,交直线l于A,B两点,
②分别以A,B为圆心,大于AB长为半径画弧,两弧在直线l上方交于点Q,
③作直线PQ.
直线PQ即为所求的垂线.
(1)使用直尺和圆规,补全图形(保留作图痕迹);
(2)完成下面的证明.
证明:连结AQ,BQ,
∵根据作法,有AQ=BQ,AP=BP,
∴PQ⊥AB,即PQ⊥l.( )(填推理的依据)
17.(8分)如图,在长方形纸片ABCD中,点P在BC边上,将△CDP沿DP折叠,点C落在点E处,PE,DE分别交AB于点G,F,且GF=GP.
(1)求证:△GEF≌△GBP;
(2)若PC=2,求BF的长.
18.(8分)(2023·苏州中考)如图,在△ABC中,AB=AC,AD为△ABC的角平分线.以点A为圆心,AD长为半径画弧,与AB,AC分别交于点E,F,连结DE,DF.
(1)求证:△ADE≌△ADF;
(2)若∠BAC=80°,求∠BDE的度数.
19.(10分)已知,如图,AD为△ABC的角平分线,且AD=AC,E为AD延长线上的一点,AE=AB.
(1)求证:△ABD≌△AEC;
(2)求证:BE=EC.
20.(12分)如图,△ABC是等边三角形,点D在AC上,点E在BC的延长线上,且BD=DE.
(1)若点D是AC的中点,如图1,则线段AD与CE的数量关系是 ;
(2)若点D不是AC的中点,如图2,试判断AD与CE的数量关系,并证明你的结论;(提示:过点D作DF∥BC,交AB于点F)
(3)若点D在线段AC的延长线上,(2)中的结论是否仍成立 如果成立,请给予证明;如果不成立,请说明理由.
【附加题】(10分)
(1)已知△ABC中,∠BAC=60°,以AB和BC为边向外作等边△ABD和△BCE.
①连结AE,CD,如图1,求证:∠BCD=∠AEB;
②若AB⊥BC,延长AB交DE于点M,求证:点M为DE的中点;
(2)如图3,HE⊥CE于点E,∠BEH=30°,点G在EH上运动,以BG为边作等边△BGF,当BF的长最小时,求∠FBE的度数.第13章 全等三角形
(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.△ABC中,AB=AC=2,∠B=60°,则BC= (A)
A.2 B.3 C.4 D.5
2.(2024·泉州期末)下列命题的逆命题是真命题的是 (C)
A.全等三角形的对应角相等
B.对顶角相等
C.若x>y,则x-y>0
D.若C是线段AB的中点,则AC=BC
3.(2024·南通质检)如图,已知△ABC≌△DEC,∠ACB=100°,∠D=35°,则∠E= (B)
A.35° B.45° C.55° D.无法计算
4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,要求用圆规和直尺作图,把它分成两个三角形,其中一个三角形是等腰三角形.其作法错误的是 (B)
5.(2023·台州中考)如图,锐角三角形ABC中,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,连结BE,CD.下列命题中,假命题是 (A)
A.若CD=BE,则∠DCB=∠EBC B.若∠DCB=∠EBC,则CD=BE
C.若BD=CE,则∠DCB=∠EBC D.若∠DCB=∠EBC,则BD=CE
6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12 cm,BC=6 cm,线段PQ=AB,P,Q两点分别在线段AC和AC的垂线AX上移动,若以A,B,C为顶点的三角形与以A,P,Q为顶点的三角形全等,则AP的值为 (C)
A.8 cm B.12 cm C.12 cm或6 cm D.12 cm或8 cm
7.如图,OE是∠AOB的平分线,BD⊥OA,AC⊥OB,垂足分别为D,C,BD,AC都经过点E,则图中全等的三角形共有 对 (B)
A.3 B.4 C.5 D.6
8.(2024·天津期中)如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连结PQ.以下五个结论:①AD=BE;②PQ∥AE;③AP=BQ;④连结OC,OC平分∠AOE;⑤∠AOB=60°.恒成立的结论有 (D)
A.①⑤ B.①②⑤
C.①②③⑤ D.①②③④⑤
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是 有两个角互余的三角形是直角三角形 .
10.检测房梁是否水平,可以采用下面的方法:
在等腰直角三角尺斜边中点拴一条线绳,线绳的另一端拴一个铅锤,把这块三角尺的斜边贴在房梁上,结果线绳经过三角尺的顶点,则可以判断房梁是水平的.这样做的根据是: 等腰三角形的底边上的中线、底边上的高重合 .
11.如图,D在BC边上,△ABC≌△ADE,∠EAC=44°,则∠B的度数为 68° .
12.如图,在△ABC中,∠B=30°,∠C=50°,通过观察尺规作图的痕迹,∠DEA的度数是 85° .
13.(2023·重庆中考A卷)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为BC上一点,连结AD.过点B作BE⊥AD于点E,过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F.若BE=4,CF=1,则EF的长度为 3 .
14.如图,∠BOC=60°,A是BO的延长线上一点,OA=10 cm,动点P从点A出发,沿AB以3 cm/s的速度移动,动点Q从点O出发沿OC以2 cm/s的速度移动,若点P,Q同时出发,当△OPQ是等腰三角形时,移动的时间是 2 s或10 s .
三、解答题(共52分)
15.(6分)(2023·云南中考)如图,C是BD的中点,AB=ED,AC=EC.求证:△ABC≌△EDC.
【解析】∵C是BD的中点,∴BC=DC,
在△ABC和△EDC中,,∴△ABC≌△EDC(S.S.S.).
16.(8分)(2024·北京期中)下面是“过直线上一点作已知直线的垂线”的尺规作图过程:
已知:如图,点P在直线l上.
求作:直线PQ,使PQ⊥l.
作法:①以点P为圆心,任意长为半径画弧,交直线l于A,B两点,
②分别以A,B为圆心,大于AB长为半径画弧,两弧在直线l上方交于点Q,
③作直线PQ.
直线PQ即为所求的垂线.
(1)使用直尺和圆规,补全图形(保留作图痕迹);
(2)完成下面的证明.
证明:连结AQ,BQ,
∵根据作法,有AQ=BQ,AP=BP,
∴PQ⊥AB,即PQ⊥l.( 等腰三角形底边上的中线与底边上的高重合)(填推理的依据)
【解析】(1)补全的图形如图所示:
【解析】(2)连结AQ,BQ,∵根据作法,有AQ=BQ,AP=BP,∴PQ⊥AB,即PQ⊥l.(等腰三角形底边上的中线与底边上的高重合)
17.(8分)如图,在长方形纸片ABCD中,点P在BC边上,将△CDP沿DP折叠,点C落在点E处,PE,DE分别交AB于点G,F,且GF=GP.
(1)求证:△GEF≌△GBP;
【解析】(1)∵纸片ABCD为长方形,∴∠B=∠C=90°,
由折叠的性质得,∠E=∠C,∴∠E=∠B,
在△GEF和△GBP中,,∴△GEF≌△GBP(A.A.S.);
(2)若PC=2,求BF的长.
【解析】(2)由△GEF≌△GBP得GE=GB,
∵GF=GP,∴BF=GB+GF=GE+GP=PE,由折叠的性质得,PE=PC=2,∴BF=2.
18.(8分)(2023·苏州中考)如图,在△ABC中,AB=AC,AD为△ABC的角平分线.以点A为圆心,AD长为半径画弧,与AB,AC分别交于点E,F,连结DE,DF.
(1)求证:△ADE≌△ADF;
【解析】(1)∵AD是△ABC的角平分线,∴∠BAD=∠CAD.
由作图知:AE=AF.
在△ADE和△ADF中,,∴△ADE≌△ADF(S.A.S.);
(2)若∠BAC=80°,求∠BDE的度数.
【解析】(2)∵∠BAC=80°,AD为△ABC的角平分线,∴∠EAD=∠BAC=40°,
由作图知:AE=AD,∴∠AED=∠ADE,∴∠ADE=×(180°-40°)=70°,
∵AB=AC,AD为△ABC的角平分线,∴AD⊥BC,∴∠BDE=90°-∠ADE=20°.
19.(10分)已知,如图,AD为△ABC的角平分线,且AD=AC,E为AD延长线上的一点,AE=AB.
(1)求证:△ABD≌△AEC;
【证明】(1)∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠DAC,
在△ABD与△AEC中,,
∴△ABD≌△AEC(S.A.S.);
(2)求证:BE=EC.
【证明】(2)∵AD=AC,AE=AB,
∴∠ACD=∠ADC=,∠ABE=∠AEB=,
∴∠ACD=∠ADC=∠ABE=∠AEB,
∵∠BDE=∠ADC,∴∠BDE=∠BED,∴BD=BE,
∵△ABD≌△AEC,∴BD=EC,∴BE=EC.
20.(12分)如图,△ABC是等边三角形,点D在AC上,点E在BC的延长线上,且BD=DE.
(1)若点D是AC的中点,如图1,则线段AD与CE的数量关系是AD=CE;
【解析】(1)AD=CE,理由如下:
∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°,AB=AC=BC.
∵点D为AC的中点,∴∠DBC=30°,AD=DC,
∵BD=DE,∴∠E=∠DBC=30°,
∵∠ACB=∠E+∠CDE,∴∠CDE=∠E=30°,∴CD=CE,
又∵AD=DC,∴AD=CE.
(2)若点D不是AC的中点,如图2,试判断AD与CE的数量关系,并证明你的结论;(提示:过点D作DF∥BC,交AB于点F)
【解析】(2)AD=CE,理由如下:
如图,过点D作DF∥BC,交AB于点F,
则∠ADF=∠ACB=60°,
∵∠A=60°,∴△AFD是等边三角形,
∴AD=DF=AF,∠AFD=60°,
∴∠BFD=∠DCE=180°-60°=120°,
∵DF∥BC,
∴∠FDB=∠DBE=∠E,
在△BFD和△DCE中,,
∴△BFD≌△DCE(A.A.S.),
∴DF=EC,
又∵AD=DF,
∴AD=CE;
(3)若点D在线段AC的延长线上,(2)中的结论是否仍成立 如果成立,请给予证明;如果不成立,请说明理由.
【解析】(3)结论仍成立,理由如下:
如图,过点D作DP∥BC,交AB的延长线于点P,
则∠ABC=∠APD=60°,∠ACB=∠ADP=60°,
∵∠A=60°,
∴△APD是等边三角形,
∴AP=PD=AD,
∴∠DCE=∠ACB=∠P,
∵DP∥BC,
∴∠PDB=∠CBD,
∵DB=DE,
∴∠DBC=∠DEC,
∴∠PDB=∠DEC,
在△BPD和△DCE中,,
∴△BPD≌△DCE(A.A.S.),
∴PD=CE,
又∵AD=PD,
∴AD=CE.
【附加题】(10分)
(1)已知△ABC中,∠BAC=60°,以AB和BC为边向外作等边△ABD和△BCE.
①连结AE,CD,如图1,求证:∠BCD=∠AEB;
②若AB⊥BC,延长AB交DE于点M,求证:点M为DE的中点;
【解析】(1)①∵△ABD和△BCE是等边三角形,
∴BD=BA,BC=BE,
∠DBA=∠EBC=60°,
∴∠DBA+∠ABC=∠EBC+∠ABC,
即∠DBC=∠ABE,
在△DBC和△ABE中,,
∴△DBC≌△ABE(S.A.S.),
∴∠BCD=∠AEB;
②如图,过点E作AD的平行线,交AM的延长线于点F,
∵AD∥EF,
∴∠DAM=∠AFE=60°,
∵AB⊥BC,
∴∠EBF=180°-∠ABC-∠CBE=30°,
∴∠BEF=90°,
在△ABC与△FEB中,,
∴△ABC≌△FEB(A.A.S.),
∴AB=EF=AD,
在△MAD与△MFE中,,
∴△MAD≌△MFE(A.A.S.),
∴DM=EM,即点M为DE的中点;
(2)如图3,HE⊥CE于点E,∠BEH=30°,点G在EH上运动,以BG为边作等边△BGF,当BF的长最小时,求∠FBE的度数.
【解析】(2)当BF的长最小时,即BG最小,则BG⊥HE,
当以BG为边在BG左侧作等边△BGF时,如图所示:
可得∠GBE=180°-∠BEH-∠BGE=60°,
∵△FBG为等边三角形,
∴∠FBG=60°,
∴∠FBE=∠FBG+∠GBE=120°;
当以BG为边在BG右侧作等边△BGF时,如图所示:
此时点F在BE上,
∴∠FBE=0°,
综上所述,∠FBE=0°或120°.
