第14章 勾股定理
(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.用下列各组线段为边,能构成直角三角形的是 ( )
A.1 cm,2 cm,3 cm B. cm, cm, cm
C.9 cm,12 cm,15 cm D.2 cm,3 cm,4 cm
2.(2024·南昌期末)用反证法证明“m为正数”时,应先假设 ( )
A.m为负数 B.m为整数 C.m为负数或零 D.m为非负数
3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为边在△ABC外作正方形,其面积为9,以BC为斜边在△ABC外作等腰直角三角形,其面积为4,则AB= ( )
A.5 B.7 C. D.
4.如图,在3×4的正方形网格(每个小正方形的边长都是1)中,标记格点A,B,C,D,则下列线段长度为的是 ( )
A.线段AB B.线段BC C.线段AC D.线段BD
5.(2024·广州质检)如图,在△ABC中,AB=AC=13,BC=10,点D为BC的中点,DE⊥AB,垂足为点E,则DE等于 ( )
A. B. C. D.
6.(2023·菏泽中考)△ABC的三边长a,b,c满足(a-b)2++|c-3|=0,则△ABC是 ( )
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等腰直角三角形
7.一艘轮船以16海里/时的速度离开港口O(如图),向北偏东40°方向航行,另一艘轮船同时以12海里/时的速度向北偏西某一角度的航向行驶,已知它们离港口一个半小时后相距30海里(即BA=30海里),则另一艘轮船航行的方向是北偏西 ( )
A.40° B.45° C.50° D.55°
8.(中国古代数学文化)(2023·泸州中考)《九章算术》是中国古代重要的数学著作,该著作中给出了勾股数a,b,c的计算公式:a=(m2-n2),b=mn,c=(m2+n2),其中m>n>0,m,n是互质的奇数.下列四组勾股数中,不能由该勾股数计算公式直接得出的是 ( )
A.3,4,5 B.5,12,13 C.6,8,10 D.7,24,25
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.你听说过亡羊补牢的故事吗 如图,为了防止羊的再次丢失,小明爸爸要在高
0.9 m,宽1.2 m的栅栏门的相对角顶点间加一个加固木板,这条木板的长度为 m.
10.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,P为直线AB上一动点,连结PC,则线段PC长度的最小值是 .
11.如图,将长为12 cm的弹性绳放置在直线l上,固定端点A和B,然后把中点C竖直向上拉升4.5 cm至点D,则拉长后弹性绳的长为 .
12.如图,△ABC中,AB=AC=5,BC=6,点D是AB边上的一个动点,则线段CD的最小值为 .
13.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形.现有如图所示的“垂美”四边形ABCD,对角线AC,BD交于O,若AB=6,CD=8,则AD2+BC2= .
14.如图是放在地面上的一个长方体盒子,其中AB=9,BC=6,BF=5,点M在棱AB上,且AM=3,点N是FG的中点,一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N,它需要爬行的最短路程为 .
三、解答题(共52分)
15.(8分)(2024·青岛期末)如图,在△ABC中,点D在边BC上,连结AD,过点D作DE⊥AC于点E,CE=2,DE=4,AE=8.试说明∠ADC=90°.
16.(8分)用反证法证明:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
已知:如图,∠1是△ABC的一个外角.
求证:∠1=∠A+∠B.
17.(8分)(2024·广州期末)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=∠ACD=90°,
BE⊥AC于E.
(1)求证:BE=AC;
(2)若AB=10,CD=6,求四边形ABCD的面积.
18.(8分)如图,一只小鸟旋停在空中A点,A点到地面的高度AB=20米,A点到地面C点(B,C两点处于同一水平面)的距离AC=25米.
(1)求出BC的长度;
(2)若小鸟竖直下降到达D点(D点在线段AB上),此时小鸟到地面C点的直线距离与下降的距离相同,求小鸟下降的距离.
19.(10分)如图,每个小正方形的边长都为1.
(1)填空:BC= ,AB=;
(2)∠BCD是直角吗 如果是,请证明,如果不是,请说明理由;
(3)直接写出点D到AB的距离.(精确到0.1)
20.(10分)一座浮桥位于黄河之上,大观楼耸立在黄河北边,与浮桥相互映衬,形成美丽的文化风景带.在浮桥旁边有一艘游船,如图所示,在离水面高度为5 m的岸上,有人用绳子拉船靠岸,开始时绳子BC的长为13 m,此人以0.5 m/s的速度收绳,10 s后船移动到点D的位置,问船向岸边移动了多少米 (假设绳子是直的,结果保留根号)
【附加题】(10分)
如图,经过A村和B村(将A,B村看成直线l上的点)的笔直公路l旁有一块山地正在开发,现需要在C处进行爆破.已知C处与A村的距离为300米,C处与B村的距离为400米,且AC⊥BC.
(1)求A,B两村之间的距离;
(2)为了安全起见,爆破点C周围半径250米范围内不得进入,在进行爆破时,公路AB段是否有危险而需要封锁 如果需要,请计算需要封锁的路段长度;如果不需要,请说明理由.第14章 勾股定理
(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.用下列各组线段为边,能构成直角三角形的是 (C)
A.1 cm,2 cm,3 cm B. cm, cm, cm
C.9 cm,12 cm,15 cm D.2 cm,3 cm,4 cm
2.(2024·南昌期末)用反证法证明“m为正数”时,应先假设 (C)
A.m为负数 B.m为整数 C.m为负数或零 D.m为非负数
3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为边在△ABC外作正方形,其面积为9,以BC为斜边在△ABC外作等腰直角三角形,其面积为4,则AB= (A)
A.5 B.7 C. D.
4.如图,在3×4的正方形网格(每个小正方形的边长都是1)中,标记格点A,B,C,D,则下列线段长度为的是 (B)
A.线段AB B.线段BC C.线段AC D.线段BD
5.(2024·广州质检)如图,在△ABC中,AB=AC=13,BC=10,点D为BC的中点,DE⊥AB,垂足为点E,则DE等于 (D)
A. B. C. D.
6.(2023·菏泽中考)△ABC的三边长a,b,c满足(a-b)2++|c-3|=0,则△ABC是 (D)
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等腰直角三角形
7.一艘轮船以16海里/时的速度离开港口O(如图),向北偏东40°方向航行,另一艘轮船同时以12海里/时的速度向北偏西某一角度的航向行驶,已知它们离港口一个半小时后相距30海里(即BA=30海里),则另一艘轮船航行的方向是北偏西 (C)
A.40° B.45° C.50° D.55°
8.(中国古代数学文化)(2023·泸州中考)《九章算术》是中国古代重要的数学著作,该著作中给出了勾股数a,b,c的计算公式:a=(m2-n2),b=mn,c=(m2+n2),其中m>n>0,m,n是互质的奇数.下列四组勾股数中,不能由该勾股数计算公式直接得出的是 (C)
A.3,4,5 B.5,12,13 C.6,8,10 D.7,24,25
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.你听说过亡羊补牢的故事吗 如图,为了防止羊的再次丢失,小明爸爸要在高
0.9 m,宽1.2 m的栅栏门的相对角顶点间加一个加固木板,这条木板的长度为 1.5 m.
10.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,P为直线AB上一动点,连结PC,则线段PC长度的最小值是 .
11.如图,将长为12 cm的弹性绳放置在直线l上,固定端点A和B,然后把中点C竖直向上拉升4.5 cm至点D,则拉长后弹性绳的长为 15 cm .
12.如图,△ABC中,AB=AC=5,BC=6,点D是AB边上的一个动点,则线段CD的最小值为 .
13.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形.现有如图所示的“垂美”四边形ABCD,对角线AC,BD交于O,若AB=6,CD=8,则AD2+BC2= 100 .
14.如图是放在地面上的一个长方体盒子,其中AB=9,BC=6,BF=5,点M在棱AB上,且AM=3,点N是FG的中点,一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N,它需要爬行的最短路程为 10 .
三、解答题(共52分)
15.(8分)(2024·青岛期末)如图,在△ABC中,点D在边BC上,连结AD,过点D作DE⊥AC于点E,CE=2,DE=4,AE=8.试说明∠ADC=90°.
【解析】∵DE⊥AC,∴∠AED=∠CED=90°,
在Rt△ADE中,∠AED=90°,∴AD2=AE2+DE2=82+42=80,
同理:CD2=20,∴AD2+CD2=80+20=100,
∵AC=AE+CE=8+2=10,∴AC2=100,
∴AD2+CD2=AC2,∴△ADC是直角三角形,即∠ADC=90°.
16.(8分)用反证法证明:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
已知:如图,∠1是△ABC的一个外角.
求证:∠1=∠A+∠B.
【证明】假设∠1≠∠A+∠B,
如图,在△ABC中,∠A+∠B+∠2=180°,∴∠A+∠B=180°-∠2,
∵∠1+∠2=180°,∴∠1=180°-∠2,∴∠1=∠A+∠B,与假设相矛盾,
∴假设不成立,∴原命题成立,即∠1=∠A+∠B.
17.(8分)(2024·广州期末)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=∠ACD=90°,
BE⊥AC于E.
(1)求证:BE=AC;
【解析】(1)∵BE⊥AC,∴∠AEB=90°,∴∠ABE+∠BAE=90°,
∵∠BAD=90°,∴∠DAE+∠BAE=90°,∴∠DAC=∠ABE,
在△AEB与△DCA中,∵∠AEB=∠DCA,∠ABE=∠DAC,AB=DA,
∴△AEB≌△DCA(A.A.S.),∴BE=AC;
(2)若AB=10,CD=6,求四边形ABCD的面积.
【解析】(2)∵AB=10,∴AD=AB=10,
在Rt△ACD中,AC===8,∴BE=AC=8,
∴S四边形ABCD=×AC×CD+×AC×BE=×8×6+×8×8=56.
18.(8分)如图,一只小鸟旋停在空中A点,A点到地面的高度AB=20米,A点到地面C点(B,C两点处于同一水平面)的距离AC=25米.
(1)求出BC的长度;
【解析】(1)由题意知∠B=90°,
∵AB=20米,AC=25米,∴BC==15(米);
(2)若小鸟竖直下降到达D点(D点在线段AB上),此时小鸟到地面C点的直线距离与下降的距离相同,求小鸟下降的距离.
【解析】(2)设AD=x,则CD=x,BD=20-x,
在Rt△BDC中,DC2=BD2+BC2,∴x2=(20-x)2+152,解得x=,
∴小鸟下降的距离为米.
19.(10分)如图,每个小正方形的边长都为1.
(1)填空:BC=2,AB=;
【解析】(1)由题意得,BC==2,AB==.
(2)∠BCD是直角吗 如果是,请证明,如果不是,请说明理由;
【解析】(2)∠BCD是直角,证明如下:
由题意得CD2=12+22=5,BD2=32+42=25,
∵CD2+BC2=5+20=25=BD2,
∴△BCD是直角三角形,即∠BCD=90°,
∴∠BCD是直角;
(3)直接写出点D到AB的距离.(精确到0.1)
【解析】(3)设点D到AB的距离为h,由题意得,
S△ABD=5×4-×1×4-×3×4-×1×5=,
∴AB·h=,∴·h=,∴h≈3.7,
∴点D到AB的距离约为3.7.
20.(10分)一座浮桥位于黄河之上,大观楼耸立在黄河北边,与浮桥相互映衬,形成美丽的文化风景带.在浮桥旁边有一艘游船,如图所示,在离水面高度为5 m的岸上,有人用绳子拉船靠岸,开始时绳子BC的长为13 m,此人以0.5 m/s的速度收绳,10 s后船移动到点D的位置,问船向岸边移动了多少米 (假设绳子是直的,结果保留根号)
【解析】在Rt△ABC中,∠CAB=90°,BC=13 m,AC=5 m,
∴AB===12(m),
∵此人以0.5 m/s的速度收绳,10 s后船移动到点D的位置,
∴CD=13-0.5×10=8(m),
在Rt△ACD中,AD===(m),
∴BD=AB-AD=(12-)(m).
答:船向岸边移动了(12-)m.
【附加题】(10分)
如图,经过A村和B村(将A,B村看成直线l上的点)的笔直公路l旁有一块山地正在开发,现需要在C处进行爆破.已知C处与A村的距离为300米,C处与B村的距离为400米,且AC⊥BC.
(1)求A,B两村之间的距离;
【解析】(1)在Rt△ABC中,AC=300米,BC=400米,
∴AB===500(米).
答:A,B两村之间的距离为500米;
(2)为了安全起见,爆破点C周围半径250米范围内不得进入,在进行爆破时,公路AB段是否有危险而需要封锁 如果需要,请计算需要封锁的路段长度;如果不需要,请说明理由.
【解析】(2)公路AB段有危险,需要封锁.理由如下:
如图,过C作CD⊥AB于D.
∵S△ABC=AB·CD=BC·AC,∴CD===240(米).
由于240米<250米,故有危险,因此AB段公路需要封锁.
以点C为圆心,250米为半径画弧,交AB于点E,F,连结CE,CF,
∴EC=FC=250米,∴ED==70(米),
故EF=140米,则需要封锁的路段长度为140米.
