二次根式
【A层 基础夯实】
知识点1 二次根式的概念
1.下列式子一定是二次根式的是
A. B.- C. D.
2.下列式子中,是二次根式的有 ( )
①;②;③;④.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
知识点2 二次根式有意义的条件
3.若是二次根式,则x的取值范围是 ( )
A.x为非负数 B.x≠1 C.x≥1 D.x>1
4.(2023·通辽中考)二次根式在实数范围内有意义,则实数x的取值范围在数轴上表示为 ( )
5.若|x+2|+=0,则的值为 ( )
A.5 B.-6 C.6 D.36
6.当实数x取何值时,下列各式有意义.
(1);(2);(3);(4).
知识点3 二次根式的性质
7.若=-m,则实数m在数轴上的对应点一定在 ( )
A.原点左侧 B.原点右侧
C.原点或原点左侧 D.原点或原点右侧
8.已知a,b分别为直角三角形的两条直角边,且a,b满足b=4++,则a=
,该三角形的周长为 .
9.计算:
(1);(2);
(3);(4).
10.(易错警示题·忽视隐含条件)(2024·长治期中)若x<3,化简+|5-x|,小明的解答过程如下:
解:原式=+(5-x)……第一步
=x-3+5-x……第二步
=2……第三步
(1)小明的解答从第______步开始出现错误.
(2)请写出正确的解答过程.
【B层 能力进阶】
11.(易错警示题·忽视隐含条件)要使式子有意义,x的取值范围是 ( )
A.x≥-3 B.x≥-3且x≠2
C.x≤-3 D.x>-3且x≠2
12.如果a+=3成立,则实数a的取值范围是 .
13.若实数x,y满足y=+3,则xy= .
14.若x<2,化简+3|-x|的结果是 .
15.已知△ABC的三边长分别为a,b,c .
(1)化简:;
(2)若a,b满足b=++13,且c=12,判断此三角形的形状,并说明理由.
【C层 创新挑战(选做)】
16.(推理能力、应用意识、运算能力)先阅读,后回答问题:x为何值时,有意义
解:要使该二次根式有意义,需x(x-3)≥0,由乘法法则得或,
解得x≥3或x≤0.
∴当x≥3或x≤0时,有意义.
体会解题思想后,请你解答:x为何值时,有意义
2 二次根式
【A层 基础夯实】
知识点1 二次根式的概念
1.下列式子一定是二次根式的是 (A)
A. B.- C. D.
2.下列式子中,是二次根式的有 (B)
①;②;③;④.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
知识点2 二次根式有意义的条件
3.若是二次根式,则x的取值范围是 (D)
A.x为非负数 B.x≠1 C.x≥1 D.x>1
4.(2023·通辽中考)二次根式在实数范围内有意义,则实数x的取值范围在数轴上表示为 (C)
5.若|x+2|+=0,则的值为 (C)
A.5 B.-6 C.6 D.36
6.当实数x取何值时,下列各式有意义.
(1);(2);(3);(4).
【解析】(1)∵x是实数,∴x2≥0,∴x2+4>0,
∴当x取任何实数时都有意义;
(2)要使有意义,
则≥0,解得x≤-;
(3)∵x是实数,∴x2≥0,∴-x2≤0,
要使有意义,x只能等于0,∴x=0;
(4)根据题意得:,
解得:0≤x<1.
知识点3 二次根式的性质
7.若=-m,则实数m在数轴上的对应点一定在 (C)
A.原点左侧 B.原点右侧
C.原点或原点左侧 D.原点或原点右侧
8.已知a,b分别为直角三角形的两条直角边,且a,b满足b=4++,则a=
2 ,该三角形的周长为 6+2 .
9.计算:
(1);(2);
(3);(4).
【解析】(1)原式==0.3;
(2)原式=52×()2=125;
(3)原式==;
(4)原式==.
10.(易错警示题·忽视隐含条件)(2024·长治期中)若x<3,化简+|5-x|,小明的解答过程如下:
解:原式=+(5-x)……第一步
=x-3+5-x……第二步
=2……第三步
(1)小明的解答从第______步开始出现错误.
(2)请写出正确的解答过程.
【解析】(1)∵x<3,∴x-3<0,
∴=-(x-3),
∴小明的解答从第二步开始出现错误.
答案:二
(2)∵x<3,∴x-3<0,5-x>0,
∴原式=+(5-x)=-(x-3)+5-x=-x+3+5-x=8-2x.
【B层 能力进阶】
11.(易错警示题·忽视隐含条件)要使式子有意义,x的取值范围是 (B)
A.x≥-3 B.x≥-3且x≠2
C.x≤-3 D.x>-3且x≠2
12.如果a+=3成立,则实数a的取值范围是 a≤3 .
13.若实数x,y满足y=+3,则xy= -8 .
14.若x<2,化简+3|-x|的结果是 2x+2或-4x+2 .
15.已知△ABC的三边长分别为a,b,c.
(1)化简:;
(2)若a,b满足b=++13,且c=12,判断此三角形的形状,并说明理由.
【解析】(1)∵a,b,c是△ABC的三边长,∴b+c>a,∴a-b-c<0,
∴=|a-b-c|=-a+b+c.
(2)∵b=++13,∴a=5,b=13.
∵52+122=169=132,即a2+c2=b2,∴△ABC是直角三角形.
【C层 创新挑战(选做)】
16.(推理能力、应用意识、运算能力)先阅读,后回答问题:x为何值时,有意义
解:要使该二次根式有意义,需x(x-3)≥0,由乘法法则得或,
解得x≥3或x≤0.
∴当x≥3或x≤0时,有意义.
体会解题思想后,请你解答:x为何值时,有意义
【解析】要使该二次根式有意义,需≥0,
即或,
解得x≥1或x<-2,
∴当x≥1或x<-2时,有意义.
2
