二次根式的除法
【A层 基础夯实】
知识点1 二次根式的除法
1.(2023·福州期中)计算÷的结果是(C)
A. B. C. D.
2.化简的结果是 .
3.(2024·襄阳期中)化简:= -1 .
4.化简:(1);(2);(3).
【解析】(1)==;
(2)=====20;
(3)原式==.
知识点2 商的算术平方根
5.(2024·舟山期中)将化成最简二次根式是 (A)
A. B. C. D.
6.在将式子(m>0)化简时,
小明的方法是:===;
小亮的方法是:==;
小丽的方法是:===.
则下列说法正确的是 (C)
A.小明、小亮的方法正确,小丽的方法不正确
B.小明、小丽的方法正确,小亮的方法不正确
C.小明、小亮、小丽的方法都正确
D.小明、小丽、小亮的方法都不正确
7.若=,则x的取值范围为 -≤x<1 .
知识点3 最简二次根式
8.(2024·深圳期中)下列代数式:(1);(2)2;
(3);(4);(5)中,最简二次根式的个数是 (C)
A.4 B.3 C.2 D.1
9.(2024·烟台期中)将化为最简二次根式为 .
10.(易错警示题·概念不清)若是最简二次根式,且a为整数,则a的最小值是 2 .
【B层 能力进阶】
11.计算÷×的结果是 (D)
A.6 B. C. D.
12.已知=a,=b,则= (D)
A. B. C. D.
13.(新定义)对于任意两个和为正数的实数a,b,定义运算※如下:a※b=,例如
3※1==1.那么8※12= - .
14.计算:(1)×÷.
(2)×÷.
(3)3÷×.
(4)3÷×2.
(5)2×÷.
【解析】(1)原式=÷=÷==3.
(2)原式=×=.
(3)原式=3×××=3×××=.
(4)原式=3÷×2=3××2=3××2×=24.
(5)∵,有意义,则a>0,b>0,
∴2×÷===.
【C层 创新挑战(选做)】
15.(模型观念、运算能力)像·=2;(+1)(-1)=2;(+)(-)=3…两个含有二次根式的代数式相乘,积不含有二次根式,则称这两个代数式互为有理化因式,爱动脑筋的小明同学在进行二次根式计算时,利用有理化因式化去分母中的根号.
(1)==;
(2)===3+2.
勤奋好学的小明发现:可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数.
(3)化简:-.
解:设x=-,易知>,∴x>0.
由:x2=3++3--2=6-2=2.解得x=.
即-=.
请你解决下列问题:
(1)2-3的有理化因式是______;
(2)化简:++;
(3)化简:-.
【解析】(1)2-3的有理化因式是2+3.
答案:2+3
(2)原式=++
=++2+=+;
(3)方法一:设x=-,易知>,∴x>0.
由:x2=3+2+3-2-2=4.解得x=2.
即-=2.
方法二:
原式=-
=-
=+1-+1
=2. 二次根式的除法
【A层 基础夯实】
知识点1 二次根式的除法
1.(2023·福州期中)计算÷的结果是( )
A. B. C. D.
2.化简的结果是 .
3.(2024·襄阳期中)化简:= .
4.化简:(1);(2);(3).
知识点2 商的算术平方根
5.(2024·舟山期中)将化成最简二次根式是 ( )
A. B. C. D.
6.在将式子(m>0)化简时,
小明的方法是:===;
小亮的方法是:==;
小丽的方法是:===.
则下列说法正确的是 ( )
A.小明、小亮的方法正确,小丽的方法不正确
B.小明、小丽的方法正确,小亮的方法不正确
C.小明、小亮、小丽的方法都正确
D.小明、小丽、小亮的方法都不正确
7.若=,则x的取值范围为 .
知识点3 最简二次根式
8.(2024·深圳期中)下列代数式:(1);(2)2;
(3);(4);(5)中,最简二次根式的个数是 ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
9.(2024·烟台期中)将化为最简二次根式为 .
10.(易错警示题·概念不清)若是最简二次根式,且a为整数,则a的最小值是 .
【B层 能力进阶】
11.计算÷×的结果是 ( )
A.6 B. C. D.
12.已知=a,=b,则= ( )
A. B. C. D.
13.(新定义)对于任意两个和为正数的实数a,b,定义运算※如下:a※b=,例如
3※1==1.那么8※12= .
14.计算:(1)×÷.
(2)×÷.
(3)3÷×.
(4)3÷×2.
(5)2×÷.
【C层 创新挑战(选做)】
15.(模型观念、运算能力)像·=2;(+1)(-1)=2;(+)(-)=3…两个含有二次根式的代数式相乘,积不含有二次根式,则称这两个代数式互为有理化因式,爱动脑筋的小明同学在进行二次根式计算时,利用有理化因式化去分母中的根号.
(1)==;
(2)===3+2.
勤奋好学的小明发现:可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数.
(3)化简:-.
解:设x=-,易知>,∴x>0.
由:x2=3++3--2=6-2=2.解得x=.
即-=.
请你解决下列问题:
(1)2-3的有理化因式是______;
(2)化简:++;
(3)化简:-.
