二次根式的加减(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 二次根式的混合运算
1.下列运算中,结果正确的是 ( )
A.+= B.2×=3
C.÷= D.3-=3
2.计算: (2-4)×3= 12-6 .
3.(2024·重庆期中)计算×-(+1)2= -4 .
4.(2023·上海期中)计算:×= -+2 .
5.计算:(1)(+)÷-6;
(2)(-1)2-(5+2)÷;
(3)3+(-)+÷;
(4)3×-(-)÷+|-|.
【解析】(1)原式=(2+5)÷-2=2+5-2=5;
(2)原式=5-2+1--2=4-3;
(3)原式=+-2+=;
(4)原式=-+-
=-(-)+-
=-2++-
=2-2.
知识点2 与二次根式有关的求值问题
6.已知a=+2,b=-2,则的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
7.如图,矩形内有两个相邻的正方形,其面积分别为2和8,则图中阴影部分的面积为 ( )
A.2 B.2 C.4 D.6
8.一个长方形的长a=+,宽b=-.
(1)该长方形的面积为______,周长为______;
(2)求a2+b2+ab的值.
【解析】(1)S长方形=ab=(+)×(-)=6-5=1;
C长方形=2(a+b)=2×(++-)=4.
答案:1 4
(2)由(1)得a+b=2,ab=1,原式=(a+b)2-ab=-1=23.
9.(新知识)(2024·咸阳期中)【素材引入】若一个三角形的三边长分别为a,b,c,记p=(a+b+c),即p为△ABC的周长的一半,则S△ABC=(S△ABC表示△ABC的面积),这个公式称为海伦--秦九韶公式.
(1)现有一块三角形空地A,它的三边长分别为a=3 m,b=5 m,c=6 m,求这块地的面积;
(2)有一块空地B的面积为,则空地A的面积是空地B面积的几倍.
【解析】(1)∵a=3 m,b=5 m,c=6 m,
∴p=(a+b+c)=×(3+5+6)=7( ),
∴三角形空地A的面积为S=
=2(m2);
(2)2÷=.
∴空地A的面积是空地B面积的倍.
【B层 能力进阶】
10.(2024·福州期末)若a-6=(b+c)2,则bc的值为 -3 .
11.在一个正方形的内部按照如图所示的方式放置大小不同的两个小正方形,其中较小的正方形面积为10,重叠部分的面积为3,则:
(1)较小正方形的边长为 .
(2)设两处空白部分的面积分别为S1,S2.
①S1 = S2;(填>,<或=)
②若S1+S2=2-6,则正方形内部较大的正方形面积为 12 .
12.计算:(1) (3+-4)÷;
(2)4-)-÷+(+2)2;
(3)÷-2×-;
(4)(+)(-)÷(+)2.
【解析】(1)原式=(9+-2)÷4
=8÷4
=2;
(2)原式=-)-+(7+4)
=2-8-4+7+4
=5-4;
(3)原式=4-2-2-3+2=-1;
(4)原式=(3-2)÷(3+2+2)
=1÷(5+2)
=
=5-2.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(推理能力、运算能力)(2024·济南期中)阅读材料:像(+)(-)=2;·=a(a≥0);(+1)(-1)=b-1(b≥0)…两个含有二次根式的代数式相乘,积不含有二次根式,我们称这两个代数式互为有理化因式.例如与,+1与-1,+3与-3等都是互为有理化因式.
在进行二次根式计算时,利用有理化因式,可以化去分母中的根号.
例如:==;
==3+2.
解答下列问题.
(1)2+5与_______互为有理化因式,将分母有理化得_______ .
(2)①比较大小:-______ -;(填>,<,=,≥或≤中的一种)
②计算下列式子的值:+++…+.
(3)已知正整数a,b满足-=2-3,求a,b的值.
【解析】(1)2+5与2-5互为有理化因式,将分母有理化得.
答案:2-5
(2)①∵-=,-=,
又∵+>+,
∴<,
∴-<-;
答案:<
②原式=-1+-+-+…+-=-1=2-1.
(3)∵-=2-3,
∴(+1)a-b=2-3,
即(a-b+3)+a-2=0,
∴a-b+3=0,a-2=0,
解得a=2,b=10.
即a的值是2,b的值是10. 二次根式的加减(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 同类二次根式的概念
1.下列二次根式中,与是同类二次根式的是(C)
A. B. C. D.
2.若与最简二次根式是同类二次根式,则a的值为 4 .
3.(2024·衡阳期中)已知为最简二次根式,且与能够合并,则a= 8 .
知识点2 二次根式的加减运算
4.下列计算结果正确的是 (D)
A.-= B.+=
C.3-=2 D.2-4=-2
5.若+=,则x的值为 (A)
A.2 B.5 C.8 D.18
6.(2024·杭州期中)计算:1+(-)+|-|= 1 .
7.计算-(+2)的结果是 -2 .
8.计算:
(1)(-)++8.
(2)-9+|2-|.
【解析】(1)原式=3-3++8×
=3-3++4
=3-2+4.
(2)原式=2-9×+2-
=2-3+2-
=2-2.
9.已知二次根式.
(1)求使得该二次根式有意义的x的取值范围.
(2)已知是最简二次根式,且与可以合并.
①求x的值;
②求与的乘积.
【解析】(1)∵二次根式有意义,
∴x+1≥0,解得x≥-1.
(2)①=,
∵与能合并,并且是最简二次根式,
∴x+1=10,解得x=9;
②由①可得×==5.
【B层 能力进阶】
10.(2024·西安期中)若最简二次根式3与5可以合并,则合并后的结果为 (C)
A.3 B.5 C.8 D.2
11.(2024·衢州期中)把四张形状大小完全相同,宽为1 cm的小长方形卡片(如图①)不重叠地放在一个底面为长方形,长为 cm,宽为5 cm的盒子底部(如图②),盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示.则图②中两块阴影部分的周长和是 (A)
A.20 cm B.5cm
C.2(+5)cm D.5(-1)cm
12.计算+-的结果是 0 .
13.计算:(1)(-)-(-2-);
(2)2(-2)-(4-).
【解析】(1)原式=-4-++4=-;
(2)原式=2×(-)-×(-2)=--+=-.
14.若a,b都是正整数,且a【解析】存在,
理由:∵与是可以合并的二次根式,+=,∴+==5,
∴当a=3,则b=48,当a=12,则b=27.
15.嘉淇准备完成题目“计算:(■-)-(-4)”,发现系数“■”印刷不清楚.
(1)他把“■”猜成3,请你计算:(3-)-(-4);
(2)他妈妈说:“你猜错了,我看到该题标准答案的结果是0.”请你通过计算说明原题中“■”是多少
【解析】(1)原式=(3×-×3)-(-4×)=(-2)-(-2)=-2-+2=;
(2)设“■”是a,
原式=(a×-×3)-(-4×)
=(-2)-(-2)
=a-2-+2
=
=0,
则a-12=0,解得a=4,
即原题中“■”是4.
【C层 创新挑战(选做)】
16.(推理能力、运算能力)观察等式:+=,2+=,+=,….
(1)请用含n(n≥3,且n为整数)的式子表示出上述等式的规律_______________;
(2)按上述规律,若+=,则a+b=______________;
(3)仿照上面内容,当n=11时,计算出结果,验证你在(1)中得到的规律.
【解析】(1)∵+=,2+=+==,+=,….
∴+=;
答案:+=
(2)根据(1)得+=,
∴a=,b=9,
∴a+b=+9.
答案:+9
(3)当n=11时,+=+=,符合(1)中规律. 二次根式的加减(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 同类二次根式的概念
1.下列二次根式中,与是同类二次根式的是( )
A. B. C. D.
2.若与最简二次根式是同类二次根式,则a的值为 .
3.(2024·衡阳期中)已知为最简二次根式,且与能够合并,则a= .
知识点2 二次根式的加减运算
4.下列计算结果正确的是 ( )
A.-= B.+=
C.3-=2 D.2-4=-2
5.若+=,则x的值为 ( )
A.2 B.5 C.8 D.18
6.(2024·杭州期中)计算:1+(-)+|-|= .
7.计算-(+2)的结果是 .
8.计算:
(1)(-)++8.
(2)-9+|2-|.
9.已知二次根式.
(1)求使得该二次根式有意义的x的取值范围.
(2)已知是最简二次根式,且与可以合并.
①求x的值;
②求与的乘积.
【B层 能力进阶】
10.(2024·西安期中)若最简二次根式3与5可以合并,则合并后的结果为 ( )
A.3 B.5 C.8 D.2
11.(2024·衢州期中)把四张形状大小完全相同,宽为1 cm的小长方形卡片(如图①)不重叠地放在一个底面为长方形,长为 cm,宽为5 cm的盒子底部(如图②),盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示.则图②中两块阴影部分的周长和是 ( )
A.20 cm B.5cm
C.2(+5)cm D.5(-1)cm
12.计算+-的结果是 .
13.计算:(1)(-)-(-2-);
(2)2(-2)-(4-).
15.嘉淇准备完成题目“计算:(■-)-(-4)”,发现系数“■”印刷不清楚.
(1)他把“■”猜成3,请你计算:(3-)-(-4);
(2)他妈妈说:“你猜错了,我看到该题标准答案的结果是0.”请你通过计算说明原题中“■”是多少
【C层 创新挑战(选做)】
16.(推理能力、运算能力)观察等式:+=,2+=,+=,….
(1)请用含n(n≥3,且n为整数)的式子表示出上述等式的规律_______________;
(2)按上述规律,若+=,则a+b=______________;
(3)仿照上面内容,当n=11时,计算出结果,验证你在(1)中得到的规律. 二次根式的加减(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 二次根式的混合运算
1.下列运算中,结果正确的是 (C)
A.+= B.2×=3
C.÷= D.3-=3
2.计算: (2-4)×3= 12-6 .
3.(2024·重庆期中)计算×-(+1)2= -4 .
4.(2023·上海期中)计算:×= -+2 .
5.计算:(1)(+)÷-6;
(2)(-1)2-(5+2)÷;
(3)3+(-)+÷;
(4)3×-(-)÷+|-|.
【解析】(1)原式=(2+5)÷-2=2+5-2=5;
(2)原式=5-2+1--2=4-3;
(3)原式=+-2+=;
(4)原式=-+-
=-(-)+-
=-2++-
=2-2.
知识点2 与二次根式有关的求值问题
6.已知a=+2,b=-2,则的值为(A)
A.0 B.1 C.2 D.3
7.如图,矩形内有两个相邻的正方形,其面积分别为2和8,则图中阴影部分的面积为 (A)
A.2 B.2 C.4 D.6
8.一个长方形的长a=+,宽b=-.
(1)该长方形的面积为______,周长为______;
(2)求a2+b2+ab的值.
【解析】(1)S长方形=ab=(+)×(-)=6-5=1;
C长方形=2(a+b)=2×(++-)=4.
答案:1 4
(2)由(1)得a+b=2,ab=1,原式=(a+b)2-ab=-1=23.
9.(新知识)(2024·咸阳期中)【素材引入】若一个三角形的三边长分别为a,b,c,记p=(a+b+c),即p为△ABC的周长的一半,则S△ABC=(S△ABC表示△ABC的面积),这个公式称为海伦--秦九韶公式.
(1)现有一块三角形空地A,它的三边长分别为a=3 m,b=5 m,c=6 m,求这块地的面积;
(2)有一块空地B的面积为,则空地A的面积是空地B面积的几倍.
【解析】(1)∵a=3 m,b=5 m,c=6 m,
∴p=(a+b+c)=×(3+5+6)=7(m),
∴三角形空地A的面积为S=
=2(m2);
(2)2÷=.
∴空地A的面积是空地B面积的倍.
【B层 能力进阶】
10.(2024·福州期末)若a-6=(b+c)2,则bc的值为 -3 .
11.在一个正方形的内部按照如图所示的方式放置大小不同的两个小正方形,其中较小的正方形面积为10,重叠部分的面积为3,则:
(1)较小正方形的边长为 .
(2)设两处空白部分的面积分别为S1,S2.
①S1 = S2;(填>,<或=)
②若S1+S2=2-6,则正方形内部较大的正方形面积为 12 .
12.计算:(1) (3+-4)÷;
(2)4-)-÷+(+2)2;
(3)÷-2×-;
(4)(+)(-)÷(+)2.
【解析】(1)原式=(9+-2)÷4
=8÷4
=2;
(2)原式=-)-+(7+4)
=2-8-4+7+4
=5-4;
(3)原式=4-2-2-3+2=-1;
(4)原式=(3-2)÷(3+2+2)
=1÷(5+2)
=
=5-2.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(推理能力、运算能力)(2024·济南期中)阅读材料:像(+)(-)=2;·=a(a≥0);(+1)(-1)=b-1(b≥0)…两个含有二次根式的代数式相乘,积不含有二次根式,我们称这两个代数式互为有理化因式.例如与,+1与-1,+3与-3等都是互为有理化因式.
在进行二次根式计算时,利用有理化因式,可以化去分母中的根号.
例如:==;
==3+2.
解答下列问题.
(1)2+5与_______互为有理化因式,将分母有理化得_______ .
(2)①比较大小:-______ -;(填>,<,=,≥或≤中的一种)
②计算下列式子的值:+++…+.
(3)已知正整数a,b满足-=2-3,求a,b的值.
【解析】(1)2+5与2-5互为有理化因式,将分母有理化得.
答案:2-5
(2)①∵-=,-=,
又∵+>+,
∴<,
∴-<-;
答案:<
②原式=-1+-+-+…+-=-1=2-1.
(3)∵-=2-3,
∴(+1)a-b=2-3,
即(a-b+3)+a-2=0,
∴a-b+3=0,a-2=0,
解得a=2,b=10.
即a的值是2,b的值是10.
