一元二次方程的根与系数的关系
【A层 基础夯实】
知识点1 利用根与系数的关系求代数式的值
1.若x1和x2为一元二次方程x2+2x-1=0的两个根.则x2+x1的值为 (B)
A.4 B.2 C.4 D.3
2.(2024·杭州期中)若x1,x2是方程x2+x-2=0的两个实数根,则-x2+2的值为 (A)
A.5 B.6 C.7 D.8
3.(2023·眉山中考)已知方程x2-3x-4=0的根为x1,x2,则(x1+2)·(x2+2)的值为 6 .
4.(2024·苏州期中)设x1,x2是方程x2-3x+1=0的两个根,则+3x2+3= 11 .
5.(2023·鄂州中考)若实数a,b分别满足a2-3a+2=0,b2-3b+2=0,且a≠b,则+= .
6.设x1,x2是方程2x2+5x-7=0的两个根,不解方程,求下列式子的值.
(1)+;
(2)+.
【解析】∵x1,x2是方程2x2+5x-7=0的两个实数根,
∴x1+x2=-,x1x2=-,
(1)原式=(x1+x2)2-2x1x2=+7=;
(2)原式===-.
知识点2 利用根与系数的关系求字母的值
7.已知x1,x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根,且x1+x2=3,x1x2=1,则a,b的值分别是(D)
A.a=3,b=1 B.a=3,b=-1
C.a=-,b=-1 D.a=-,b=1
8.(2024·广州期中)已知关于x的一元二次方程x2-2(1-m)x+m2=0的两个实数根为x1,x2,若x1·x2=1,则m的值为 (A)
A.-1 B.1
C.1或-1 D.
9.若关于x的二次方程x2-3x+n=0的两根x1和x2满足x1+x2-2=x1x2,则n的值是 1 .
10.已知关于x的方程x2-2(k+1)x+k2-3=0有两个不相等的实数根x1和x2.
(1)求k的取值范围;
(2)用含k的代数式直接写出x1+x2=______,x1·x2=______;
(3)若+=x1·x2+6,求实数k的值.
【解析】(1)由题意得:Δ=b2-4ac=4(k+1)2-4(k2-3)=8k+16,
∴8k+16>0,解得:k>-2;
(2)由根与系数的关系可得:x1+x2=2k+2,x1·x2=k2-3;
答案:2k+2 k2-3
(3)∵x1+x2=2k+2,
又∵+=x1·x2+6,
∴-2x1x2=x1x2+6,
即=3x1x2+6,
由(2)可得:(2k+2)2=3(k2-3)+6,
整理得:k2+8k+7=0,
∴k1=-1,k2=-7,∵k>-2,∴k=-1.
11.已知关于x的一元二次方程x2-(m-3)x-m=0.
(1)求证:方程有两个不相等的实数根;
(2)如果方程的两个实根为x1,x2,且+-x1x2=27,求m的值.
【解析】 (1)x2-(m-3)x-m=0,
∵Δ=(m-3)2-4×(-m)
=m2-6m+9+4m
=m2-2m+1+8
=(m-1)2+8>0,
∴方程有两个不相等的实数根;
(2)由根与系数的关系可得:x1+x2=m-3,x1x2=-m,
∵+-x1x2=27,
∴(x1+x2)2-3x1x2=27,即(m-3)2+3m=27,
解得:m=-3或m=6.
故m的值是-3或6.
12.B ∵x1+x2=m+3,x1x2=m2,x1+x2=2x1x2,
∴m+3=2m2,
解得m=-1或m=,
∵方程x2-(m+3)x+m2=0有两个相等的实数根,
∴Δ=b2-4ac=(m+3)2-4m2=-3m2+6m+9=0,
解得m=3或m=-1,
∴m=-1.
【B层 能力进阶】
12.关于x的方程x2-(m+3)x+m2=0有两个相等的实数根,且满足x1+x2=2x1x2,则m的值为 (B)
A.-1或3 B.-1
C.3 D.-3或1
13.(2024·南京期中)若关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根之和是m,两根之积是n,则关于t的方程a(t+1)2+b(t+1)+c=0的两根之积是 (C)
A.n+m-1 B.n+m+1
C.n-m+1 D.n-m-1
14.(2023·宜宾中考)若关于x的方程x2-2(m+1)x+m+4=0两根的倒数和为1,则m的值为 2 .
15.已知关于x的方程ax2+(3-2a)x+a-3=0.如果方程有两个实数根x1,x2,当|x1-x2|=时,求出a的值.
【解析】方程的两个实数根为x1,x2,
则x1+x2=,x1·x2=,
∵|x1-x2|=,
∴==,
解得a=±2.
【C层 创新挑战（选做）】
16.(应用意识、推理能力、运算能力)
著名数学家高斯曾说过:“如果别人思考数学的真理像我一样深入持久,他也会找到我的发现”,我们向伟人看齐,将这种勤思善学、砺能笃行的精神运用于日常的数学学习中来,尝试发现新的惊喜.
【提出问题】
我们曾探究过一元二次方程根与系数的关系,如果一元二次方程的系数按照某种规律发生变化,原方程的根与新方程的根是否也会产生某种联系
【构造关系】
将一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项按照n∶1∶的比例放大或缩小,其中n≠0,我们称新方程为原方程的“系变方程”,系变倍数为n.
(1)当系变倍数为3时,求解一元二次方程
x2+2x-3=0的“系变方程”.
【自能探究】
(2)已知某一元二次方程有两个实数根x1,x2,当n=2时,其“系变方程”也有两个实数根p,q,且x1x2=1,求+-++17的最小值.
(3)已知关于x的方程(3x2+tx-2)2+(-2x2-tx+3)2=(x2+1)2有四个实数根x1,x2,x3,x4,问是否存在定值k,对于任意实数t,都满足==k,若存在,请求出k的值;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)当系变倍数为3时,系变方程为3x2+2x-1=0,
解得:x1=-1,x2=.
(2)设原方程为ax2+bx+c=0(a≠0),
当n=2时,系变方程为2ax2+bx+=0.
∵x1x2=1,
∴p·q==x1·x2=.
∴原式=-+17
=4(p2+q2)-(16q+p)+17
=(2p-)2+(2q-4)2+≥.
∴当p=,q=2时,原式取到最小值,为.
(3)存在.由题意,令m=3x2+tx-2,n=-2x2-tx+3,
∵(3x2+tx-2)2+(-2x2-tx+3)2=(x2+1)2,
∴m2+n2=(m+n)2.
∴mn=0,即(3x2+tx-2)(-2x2-tx+3)=0.
∴(3x2+tx-2)(2x2+tx-3)=0.
∴3x2+tx-2=0或2x2+tx-3=0.
设方程:ax2+bx+c=0(a≠0)①,
则系变方程为:nax2+bx+=0②,
系变方程两边同时乘n,
变形得:a(nx)2+b(nx)+c=0.
∴若原方程有解,则系变方程必有解,且解存在倍数关系.
∵3x2+tx-2=0和2x2+tx-3=0互为系变方程,且无论t取何实数,两个方程都有实数解,
∴==k,k=或. 一元二次方程的根与系数的关系
【A层 基础夯实】
知识点1 利用根与系数的关系求代数式的值
1.若x1和x2为一元二次方程x2+2x-1=0的两个根.则x2+x1的值为 ( )
A.4 B.2 C.4 D.3
2.(2024·杭州期中)若x1,x2是方程x2+x-2=0的两个实数根,则-x2+2的值为 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
3.(2023·眉山中考)已知方程x2-3x-4=0的根为x1,x2,则(x1+2)·(x2+2)的值为 .
4.(2024·苏州期中)设x1,x2是方程x2-3x+1=0的两个根,则+3x2+3= .
5.(2023·鄂州中考)若实数a,b分别满足a2-3a+2=0,b2-3b+2=0,且a≠b,则+= .
6.设x1,x2是方程2x2+5x-7=0的两个根,不解方程,求下列式子的值.
(1)+;
(2)+.
知识点2 利用根与系数的关系求字母的值
7.已知x1,x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根,且x1+x2=3,x1x2=1,则a,b的值分别是( )
A.a=3,b=1 B.a=3,b=-1
C.a=-,b=-1 D.a=-,b=1
8.(2024·广州期中)已知关于x的一元二次方程x2-2(1-m)x+m2=0的两个实数根为x1,x2,若x1·x2=1,则m的值为 ( )
A.-1 B.1
C.1或-1 D.
9.若关于x的二次方程x2-3x+n=0的两根x1和x2满足x1+x2-2=x1x2,则n的值是 .
10.已知关于x的方程x2-2(k+1)x+k2-3=0有两个不相等的实数根x1和x2.
(1)求k的取值范围;
(2)用含k的代数式直接写出x1+x2=______,x1·x2=______;
(3)若+=x1·x2+6,求实数k的值.
11.已知关于x的一元二次方程x2-(m-3)x-m=0.
(1)求证:方程有两个不相等的实数根;
(2)如果方程的两个实根为x1,x2,且+-x1x2=27,求m的值.
【B层 能力进阶】
12.关于x的方程x2-(m+3)x+m2=0有两个相等的实数根,且满足x1+x2=2x1x2,则m的值为 ( )
A.-1或3 B.-1
C.3 D.-3或1
13.(2024·南京期中)若关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根之和是m,两根之积是n,则关于t的方程a(t+1)2+b(t+1)+c=0的两根之积是 ( )
A.n+m-1 B.n+m+1
C.n-m+1 D.n-m-1
14.(2023·宜宾中考)若关于x的方程x2-2(m+1)x+m+4=0两根的倒数和为1,则m的值为 .
15.已知关于x的方程ax2+(3-2a)x+a-3=0.如果方程有两个实数根x1,x2,当|x1-x2|=时,求出a的值.
【C层 创新挑战（选做）】
16.(应用意识、推理能力、运算能力)
著名数学家高斯曾说过:“如果别人思考数学的真理像我一样深入持久,他也会找到我的发现”,我们向伟人看齐,将这种勤思善学、砺能笃行的精神运用于日常的数学学习中来,尝试发现新的惊喜.
【提出问题】
我们曾探究过一元二次方程根与系数的关系,如果一元二次方程的系数按照某种规律发生变化,原方程的根与新方程的根是否也会产生某种联系
【构造关系】
将一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项按照n∶1∶的比例放大或缩小,其中n≠0,我们称新方程为原方程的“系变方程”,系变倍数为n.
(1)当系变倍数为3时,求解一元二次方程
x2+2x-3=0的“系变方程”.
【自能探究】
(2)已知某一元二次方程有两个实数根x1,x2,当n=2时,其“系变方程”也有两个实数根p,q,且x1x2=1,求+-++17的最小值.
(3)已知关于x的方程(3x2+tx-2)2+(-2x2-tx+3)2=(x2+1)2有四个实数根x1,x2,x3,x4,问是否存在定值k,对于任意实数t,都满足==k,若存在,请求出k的值;若不存在,请说明理由.
