直接开平方法和因式分解法(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 直接应用因式分解法解一元二次方程
1.(2024·青岛期中)方程2x2=x的解为 (C)
A.x= B.x=0
C.x1=0,x2= D.x=-
2.用因式分解法解方程9x2=(x-2)2时,因式分解结果正确的是 (C)
A.4(2x-1)(x-1)=0
B.4(2x+1)(x-1)=0
C.4(2x-1)(x+1)=0
D.4(2x+1)(x+1)=0
3.(2024·武汉期中)方程(x-4)(2x+3)=0的两个根是x1= 4 ,x2= - .
4.方程x2+x=0的解是 x1=0,x2=- .
5.(2024·宿迁期中)若x2+1与x2-4x+1的值互为相反数,则x的值是 1 .
6.解方程:
(1)x2-4x+3=0;
(2)x2+x-2=0.
【解析】(1)x2-4x+3=0,
(x-3)(x-1)=0,
x-3=0或x-1=0,
所以x1=3,x2=1;
(2)x2+x-2=0,
(x+2)(x-1)=0,
x+2=0或x-1=0,
所以x1=-2,x2=1.
知识点2 结合整体思想用因式分解法解一元二次方程
7.(2024·北京期中)一元二次方程x(x+1)=3(x+1)的根是 (C)
A.x1=x2=3 B.x1=x2=-1
C.x1=3,x2=-1 D.x1=3,x2=0
8.方程(x-2)2=3x-6的解是 x1=2,x2=5 .
9.解下列方程:
(1)x(2x+4)=10+5x.
(2)(2x-3)2=5(2x-3).
【解析】(1)2x(x+2)-5(x+2)=0,
(x+2)(2x-5)=0,
x+2=0或2x-5=0,
x1=-2,x2=2.5.
(2)(2x-3)2-5(2x-3)=0,
(2x-3)(2x-3-5)=0,
2x-3=0或2x-3-5=0,
所以x1=,x2=4.
10.解下列方程:
(1)2(x-3)=x2-9.
(2)(2x+3)2=4(2x+3).
【解析】(1)2(x-3)=x2-9,
2(x-3)=(x+3)(x-3),
(x+3)(x-3)-2(x-3)=0,
(x+1)(x-3)=0,
∴x1=-1,x2=3.
(2)(2x+3)2=4(2x+3),
(2x+3)2-4(2x+3)=0,
(2x+3)(2x+3-4)=0,
2x+3=0或2x+3-4=0,
所以x1=-,x2=.
【B层 能力进阶】
11.(新定义)(2024·西安期中)对于实数a,b定义运算“※”为a×b=a+b2,例如3※2=3+22=7,则关于x的方程x※(x+1)=5的解是(D)
A.x=-4 B.x=-1
C.x1=-1,x2=4 D.x1=1,x2=-4
12.三角形两边的长分别是7和11,如果第三边的长是一元二次方程x2-25=2(x-5)2的一个实数根,那么该三角形的周长是 (B)
A.23 B.23或33 C.24 D.24或30
13.若代数式x(x-1)和3(1-x)的值互为相反数,则x的值为 x=3或x=1 .
14.(易错警示题·隐含条件未挖掘)(2024·天津期中)一个三角形的两边长分别为3和6,第三边的长是方程(x-2)(x-4)=0的根,这个三角形的周长是 13 .
15.下面是马虎同学在一次测验中解答的填空题:①若x2=a2,则x=a;②方程2x(x-1)=x-1的解为x=1;③若x4-2x2-3=0,令x2=a,则a=3或-1;④经计算整式x+1与x-4的积为x2-3x-4,则一元二次方程x2-3x-4=0的所有根是x1=-1,x2=4.则其中答案完全正确的题目为 ④ .(将答案正确的序号填写在横线上)
16.(2024·烟台期末)如图,已知A,B,C是数轴上异于原点O的三个点,且点O为AB的中点,点B为AC的中点.若点B对应的数是x,点C对应的数是x2-3x,则x= 6 .
17.解下列方程:
(1)(2x-1)2=(2-3x)2;
(2)(y-3)2=(2y-1)(y-3).
【解析】(1)(2x-1)2=(2-3x)2,
(2x-1)2-(2-3x)2=0,
[(2x-1)+(2-3x)][(2x-1)-(2-3x)]=0,
(1-x)(5x-3)=0,
∴1-x=0或5x-3=0,∴x1=1,x2=.
(2)(y-3)2=(2y-1)(y-3),
(y-3)2-(2y-1)(y-3)=0,
(y-3)(y-3-2y+1)=0,
∴y-3=0或-2-y=0,∴y1=3,y2=-2.
【C层 创新挑战(选做)】
18.(推理能力、运算能力、应用意识)
阅读下列材料:
已知实数m,n满足(2m2+n2+1)(2m2+n2-1)=80,试求2m2+n2的值.
解:设2m2+n2=y.
则原方程可转化为(y+1)(y-1)=80,
即y2=81,
∴y=±9,
∵2m2+n2≥0,
∴2m2+n2=9.
上面这种方法称为“换元法”,换元法是数学学习中最常用的一种思想方法,在结构较复杂的数和式的运算中,若把其中某些部分看成一个整体,并用新字母代替(即换元),则能使复杂的问题简单化.
根据以上阅读材料内容,解决下列问题:
(1)已知实数x,y满足(x2+y2+3)(x2+y2-3)=27,求x2+y2的值;
(2)解方程:x2-3|x|+2=0;
(3)若四个连续正整数的积为120,直接写出这四个连续的正整数:______.
【解析】(1)∵(x2+y2+3)(x2+y2-3)=27,
∴(x2+y2)2-9=27,∴(x2+y2)2=36,
∵x2+y2≥0,∴x2+y2=6;
(2)x2-3|x|+2=0,|x|2-3|x|+2=0,
设|x|=t,则t≥0,
∴t2-3t+2=(t-1)(t-2)=0,
∴t-1=0或t-2=0,
∴t1=1,t2=2,
∴|x|=1或|x|=2,
∴x1=-1,x2=1,x3=-2,x4=2;
(3)设最小数为x,则x(x+1)(x+2)(x+3)=120,
即(x2+3x)(x2+3x+2)=120,
设x2+3x=y,则y2+2y-120=0,
∴y1=-12,y2=10,
∵x为正整数,
∴y=x2+3x=10,
∴x1=2,x2=-5<0(舍去),
∴这四个正整数为2,3,4,5.
答案:2,3,4,5 直接开平方法和因式分解法(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 形如x2=a(a≥0)的一元二次方程的解法
1.方程x2=12的解是 ( )
A.x=3 B.x=
C.x=2 D.x=±2
2.方程x2-=0的两根为 .
3.(2024·福州期中)方程x2-8=0的解是 .
4.解下列方程:
(1)4x2-121=0;
(2)3x2-6=21.
知识点2 形如(mx+n)2=a(a≥0)的一元二次方程的解法
5.一元二次方程(x+3)2=0的解是 ( )
A.x1=x2=3 B.x1=x2=-3
C.x1=x2=0 D.x1=3,x2=-3
6.(2024·舟山期中)下列解方程的过程中,正确的是 ( )
A.x2=-2,解方程,得x=±
B.(x-2)2=4,解方程,得x-2=2,x=4
C.4(x-1)2=9,解方程,得4(x-1)=±3,x1=,x2=
D.(2x+3)2=25,解方程,得2x+3=±5,x1=1,x2=-4
7.(2024·天津期中)如果多项式(2x-1)2的值为9,则x的值为 ( )
A.2 B.2或-2
C.-1 D.2或-1
8.方程(x+1)2=4的解为 .
9.方程(x+1)(x-3)=-4的解为 .
10.解下列方程:(1)(3-2x)2-16=0.
(2)2(x+1)2-49=1.
【B层 能力进阶】
11.(2024·广州期中)如图,这是一个简单的数值运算程序,则输入x的值为 ( )
输入x(x-1)2×2输出8
A.x1=2,x2=-2 B.x1=3,x2=-3
C.x1=3,x2=-1 D.x1=-3,x2=1
12.(易错警示题·概念不清)若(a+b+1)(a+b-1)=15,则的值是 ( )
A.±2 B.2 C.±4 D.4
13.(2024·武汉期中)若一元二次方程ax2=b(ab>0)的两个根分别是m+2与2m-5,则= .
14.(新定义)(2024·南京期中)在实数范围内定义新运算“ ”,其法则为a b=a2-b2,则(4 3) x=24的解为 .
15.(2024·宁波期中)已知关于x的方程a(x+m)2+b=0(a,b,m均为常数,且a≠0)的解是x=3或7,则方程a(x+m+2)2+b=0的解是 .
16.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根是1,且a,b满足b=+-3,求关于y的方程y2-c=0的根.
【C层 创新挑战(选做)】
17.(模型观念、应用意识、运算能力)
在解一元二次方程时,发现有这样一种解法:
例如:解方程x(x+8)=4.
解:原方程可变形,
得[(x+4)-4][(x+4)+4]=4,
(x+4)2-42=4,
(x+4)2=20,
直接开平方,得x1=-4+2,x2=-4-2.
我们称这种解法为“平均数法”.
(1)下面是小明用“平均数法”解方程(x+2)(x+8)=40时的解题过程:
解:原方程可变形,
得[(x+a)-b][(x+a)+b]=40,
(x+a)2-b2=40,
(x+a)2=40+b2,
直接开平方并整理,得x1=c,x2=d.
上述解题过程中的a,b,c,d所表示的数分别是______,______,______,______.
(2)请用“平均数法”解方程:(x-2)(x+6)=4. 直接开平方法和因式分解法(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 直接应用因式分解法解一元二次方程
1.(2024·青岛期中)方程2x2=x的解为 ( )
A.x= B.x=0
C.x1=0,x2= D.x=-
2.用因式分解法解方程9x2=(x-2)2时,因式分解结果正确的是 ( )
A.4(2x-1)(x-1)=0
B.4(2x+1)(x-1)=0
C.4(2x-1)(x+1)=0
D.4(2x+1)(x+1)=0
3.(2024·武汉期中)方程(x-4)(2x+3)=0的两个根是x1= ,x2= .
4.方程x2+x=0的解是 .
5.(2024·宿迁期中)若x2+1与x2-4x+1的值互为相反数,则x的值是 .
6.解方程:
(1)x2-4x+3=0;
(2)x2+x-2=0.
知识点2 结合整体思想用因式分解法解一元二次方程
7.(2024·北京期中)一元二次方程x(x+1)=3(x+1)的根是 ( )
A.x1=x2=3 B.x1=x2=-1
C.x1=3,x2=-1 D.x1=3,x2=0
8.方程(x-2)2=3x-6的解是 .
9.解下列方程:
(1)x(2x+4)=10+5x.
(2)(2x-3)2=5(2x-3).
10.解下列方程:
(1)2(x-3)=x2-9.
(2)(2x+3)2=4(2x+3).
【B层 能力进阶】
11.(新定义)(2024·西安期中)对于实数a,b定义运算“※”为a×b=a+b2,例如3※2=3+22=7,则关于x的方程x※(x+1)=5的解是( )
A.x=-4 B.x=-1
C.x1=-1,x2=4 D.x1=1,x2=-4
12.三角形两边的长分别是7和11,如果第三边的长是一元二次方程x2-25=2(x-5)2的一个实数根,那么该三角形的周长是 ( )
A.23 B.23或33 C.24 D.24或30
13.若代数式x(x-1)和3(1-x)的值互为相反数,则x的值为 .
14.(易错警示题·隐含条件未挖掘)(2024·天津期中)一个三角形的两边长分别为3和6,第三边的长是方程(x-2)(x-4)=0的根,这个三角形的周长是 .
15.下面是马虎同学在一次测验中解答的填空题:①若x2=a2,则x= ;②方程2x(x-1)=x-1的解为 ;③若x4-2x2-3=0,令x2=a,则a= ;④经计算整式x+1与x-4的积为x2-3x-4,则一元二次方程x2-3x-4=0的所有根是 .则其中答案完全正确的题目为 .(将答案正确的序号填写在横线上)
16.(2024·烟台期末)如图,已知A,B,C是数轴上异于原点O的三个点,且点O为AB的中点,点B为AC的中点.若点B对应的数是x,点C对应的数是x2-3x,则x= .
17.解下列方程:
(1)(2x-1)2=(2-3x)2;
(2)(y-3)2=(2y-1)(y-3).
【C层 创新挑战(选做)】
18.(推理能力、运算能力、应用意识)
阅读下列材料:
已知实数m,n满足(2m2+n2+1)(2m2+n2-1)=80,试求2m2+n2的值.
解:设2m2+n2=y.
则原方程可转化为(y+1)(y-1)=80,
即y2=81,
∴y=±9,
∵2m2+n2≥0,
∴2m2+n2=9.
上面这种方法称为“换元法”,换元法是数学学习中最常用的一种思想方法,在结构较复杂的数和式的运算中,若把其中某些部分看成一个整体,并用新字母代替(即换元),则能使复杂的问题简单化.
根据以上阅读材料内容,解决下列问题:
(1)已知实数x,y满足(x2+y2+3)(x2+y2-3)=27,求x2+y2的值;
(2)解方程:x2-3|x|+2=0;
(3)若四个连续正整数的积为120,直接写出这四个连续的正整数:______. 直接开平方法和因式分解法(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 形如x2=a(a≥0)的一元二次方程的解法
1.方程x2=12的解是 (D)
A.x=3 B.x=
C.x=2 D.x=±2
2.方程x2-=0的两根为 x1=2,x2=-2 .
3.(2024·福州期中)方程x2-8=0的解是 x1=4,x2=-4 .
4.解下列方程:
(1)4x2-121=0;
(2)3x2-6=21.
【解析】(1)4x2-121=0,
x2=,x=±,
所以x1=-,x2=.
(2)3x2-6=21,
3x2=27,x2=9,
x1=3,x2=-3.
知识点2 形如(mx+n)2=a(a≥0)的一元二次方程的解法
5.一元二次方程(x+3)2=0的解是 (B)
A.x1=x2=3 B.x1=x2=-3
C.x1=x2=0 D.x1=3,x2=-3
6.(2024·舟山期中)下列解方程的过程中,正确的是 (D)
A.x2=-2,解方程,得x=±
B.(x-2)2=4,解方程,得x-2=2,x=4
C.4(x-1)2=9,解方程,得4(x-1)=±3,x1=,x2=
D.(2x+3)2=25,解方程,得2x+3=±5,x1=1,x2=-4
7.(2024·天津期中)如果多项式(2x-1)2的值为9,则x的值为 (D)
A.2 B.2或-2
C.-1 D.2或-1
8.方程(x+1)2=4的解为 x1=1,x2=-3 .
9.方程(x+1)(x-3)=-4的解为 x1=x2=1 .
10.解下列方程:(1)(3-2x)2-16=0.
(2)2(x+1)2-49=1.
【解析】(1)∵(3-2x)2-16=0,
∴(3-2x)2=16,
∴3-2x=±4,
∴x1=-,x2=.
(2)∵2(x+1)2-49=1,
∴2(x+1)2=50,
∴(x+1)2=25,
∴x+1=±5,
∴x1=4,x2=-6.
【B层 能力进阶】
11.(2024·广州期中)如图,这是一个简单的数值运算程序,则输入x的值为 (C)
输入x(x-1)2×2输出8
A.x1=2,x2=-2 B.x1=3,x2=-3
C.x1=3,x2=-1 D.x1=-3,x2=1
12.(易错警示题·概念不清)若(a+b+1)(a+b-1)=15,则的值是 (B)
A.±2 B.2 C.±4 D.4
13.(2024·武汉期中)若一元二次方程ax2=b(ab>0)的两个根分别是m+2与2m-5,则= 9 .
14.(新定义)(2024·南京期中)在实数范围内定义新运算“ ”,其法则为a b=a2-b2,则(4 3) x=24的解为 x1=5,x2=-5 .
15.(2024·宁波期中)已知关于x的方程a(x+m)2+b=0(a,b,m均为常数,且a≠0)的解是x=3或7,则方程a(x+m+2)2+b=0的解是 x1=1,x2=5(x=1或x=5也可) .
16.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根是1,且a,b满足b=+-3,求关于y的方程y2-c=0的根.
【解析】由题意得a-2≥0,4-2a≥0,
解得a=2,∴b=-3,
∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根是1,
∴a+b+c=0,∴c=1,
则关于y的方程为y2-1=0,
整理得y2=4,
∴y1=2,y2=-2.
【C层 创新挑战(选做)】
17.(模型观念、应用意识、运算能力)
在解一元二次方程时,发现有这样一种解法:
例如:解方程x(x+8)=4.
解:原方程可变形,
得[(x+4)-4][(x+4)+4]=4,
(x+4)2-42=4,
(x+4)2=20,
直接开平方,得x1=-4+2,x2=-4-2.
我们称这种解法为“平均数法”.
(1)下面是小明用“平均数法”解方程(x+2)(x+8)=40时的解题过程:
解:原方程可变形,
得[(x+a)-b][(x+a)+b]=40,
(x+a)2-b2=40,
(x+a)2=40+b2,
直接开平方并整理,得x1=c,x2=d.
上述解题过程中的a,b,c,d所表示的数分别是______,______,______,______.
(2)请用“平均数法”解方程:(x-2)(x+6)=4.
【解析】(1)原方程可变形,得[(x+5)-3][(x+5)+3]=40.
(x+5)2-32=40,
(x+5)2=40+32.
直接开平方并整理,得x1=2,x2=-12.
a,b,c,d表示的数分别为5,3,2,-12.
答案:5 3 2 -12
(2)原方程可变形,得[(x+2)-4][(x+2)+4]=4,
(x+2)2-42=4,(x+2)2=4+42,
∴x=-2±2,
∴x1=-2+2,x2=-2-2.
