配方法
【A层 基础夯实】
知识点1 二次三项式的配方
1.(2024·北京期中)一元二次方程x2-4x+3=0经过配方变形为(x-2)2=k,则k的值
是 (C)
A.-3 B.-7 C.1 D.7
2.用配方法解方程x2-6x+5=0,配方后所得的方程是 (x-3)2=4 .
3.(2024·常州期中)如果一元二次方程x2-mx+6=0经配方后,得(x-3)2=3,那么
m= 6 .
4.用配方法证明:不论x为何值,代数式2x2+8x+9的值恒大于零.
【证明】2x2+8x+9=2(x2+4x+4)+1=2(x+2)2+1,
∵2(x+2)2为非负数,
∴2(x+2)2+1为正数,
∴不论x为何值,代数式2x2+8x+9的值恒大于零.
知识点2 用配方法解一元二次方程
5.(2024·沈阳期中)方程x2+2x=3的根是 (A)
A.x1=1,x2=-3
B.x1=-1,x2=3
C.x1=-1+,x2=-1-
D.x1=1+,x2=1-
6.(2024·苏州期中)已知代数式x2-2比2x+1小4,则x= 1 .
7.用配方法解下列方程:
(1)x2-2x=2x+1;
(2)2x2+6x-1=0.
【解析】(1)x2-2x=2x+1,
x2-4x=1,
x2-4x+4=1+4,
(x-2)2=5,
x-2=±,
∴x1=2+,x2=2-;
(2)∵2x2+6x=1,
∴x2+3x=,
则x2+3x+=+,
即(x+)2=,
∴x+=±,
∴x1=-+,x2=--.
【B层 能力进阶】
8.(2024·青岛期中)用配方法解下列方程时,配方有错误的是 (C)
A.x2-2x-99=0化为(x-1)2=100
B.2t2-7t-4=0化为(t-)2=
C.x2+8x+9=0化为(x+4)2=25
D.3x2-4x-2=0化为(x-)2=
9.(易错警示题·隐含条件未挖掘)等腰三角形的两边a,b满足a2+b2-6a-14b+58=0,则这个三角形的周长为 (C)
A.13 B.15 C.17 D.13或17
10.当x= 1± 时,代数式3x2-6x的值等于12.
11.已知关于x的方程x2+4x+n=0可以配方成(x+m)2=3,则(m-n)2 025= 1 .
12.(2024·天津期中)若一元二次方程x2-4 084 441=0的两根为±2 021,则一元二次方程t2-2t-4 084 440=0的解为 t1=2 022,t2=-2 020 .
13.(新情境)(2024·佛山期中)小明设计了一个魔术盒,当任意实数对(a,b)进入其中,会得到一个新的实数a2-2b+3.若将实数对(x,-2x)放入其中,得到-1,则x= -2 .
14.阅读下列材料:
关于x的方程x2-3x+1=0(x≠0),方程两边同时乘以得:x-3+=0,即x+=3,故(x+)2=x2+2·x·+=x2++2,所以x2+=(x+)2-2=32-2=7.
根据以上材料,解答下列问题:
若x2-4x+1=0(x≠0),则x+= 4 ,x2+= 14 ,x4+= 194 .
15.(2024·泰州期中)已知a,b,c是△ABC的三边长,且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,求△ABC的周长.
【解析】∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,
∴a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,
∴(a2-6a+9)+(b2-8b+16)+(c2-10c+25)=0,
∴(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0,
∴a-3=0,b-4=0,c-5=0,
∴a=3,b=4,c=5,
∴△ABC三边的周长为3+4+5=12.
【C层 创新挑战(选做)】
16.(推理能力、运算能力、应用意识)
阅读理解题:
定义:如果一个数的平方等于-1,记为i2=-1,这个数i叫做虚数单位.那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数,复数一般表示为a+bi(a,b为实数),a叫做这个复数的实部,b叫做这个复数的虚部,它的加法、减法、乘法运算与整式的加法、减法、乘法运算类似.
例如:解方程x2=-1,
解得x1=i,x2=-i.
同样我们也可以化简===2i;
读完这段文字,请你解答以下问题:
(1)填空:i3=______,i4=______, i6=______,i2 020=______;
(2)在复数范围内解方程:(x-1)2=-1;
(3)在复数范围内解方程:x2-4x+8=0.
【解析】(1)i3=i2×i=-i;
i4=i2×i2=1;
i6=(i2)3=-1;
i2 020=(i2)1 010=1;
答案:-i 1 -1 1
(2)∵(x-1)2=-1,
∴(x-1)2=i2,
∴x-1=±i,
∴x1=1+i,x2=1-i.
(3)∵x2-4x+8=0,x2-4x=-8,
得(x-2)2=4i2,
∴x-2=±2i,
解得x1=2+2i,x2=2-2i. 配方法
【A层 基础夯实】
知识点1 二次三项式的配方
1.(2024·北京期中)一元二次方程x2-4x+3=0经过配方变形为(x-2)2=k,则k的值
是 ( )
A.-3 B.-7 C.1 D.7
2.用配方法解方程x2-6x+5=0,配方后所得的方程是 .
3.(2024·常州期中)如果一元二次方程x2-mx+6=0经配方后,得(x-3)2=3,那么
m= .
4.用配方法证明:不论x为何值,代数式2x2+8x+9的值恒大于零.
【证明】2x2+8x+9=2(x2+4x+4)+1=2(x+2)2+1,
∵2(x+2)2为非负数,
∴2(x+2)2+1为正数,
∴不论x为何值,代数式2x2+8x+9的值恒大于零.
知识点2 用配方法解一元二次方程
5.(2024·沈阳期中)方程x2+2x=3的根是 ( )
A.x1=1,x2=-3
B.x1=-1,x2=3
C.x1=-1+,x2=-1-
D.x1=1+,x2=1-
6.(2024·苏州期中)已知代数式x2-2比2x+1小4,则x= .
7.用配方法解下列方程:
(1)x2-2x=2x+1;
(2)2x2+6x-1=0.
【B层 能力进阶】
8.(2024·青岛期中)用配方法解下列方程时,配方有错误的是 ( )
A.x2-2x-99=0化为(x-1)2=100
B.2t2-7t-4=0化为(t-)2=
C.x2+8x+9=0化为(x+4)2=25
D.3x2-4x-2=0化为(x-)2=
9.(易错警示题·隐含条件未挖掘)等腰三角形的两边a,b满足a2+b2-6a-14b+58=0,则这个三角形的周长为 ( )
A.13 B.15 C.17 D.13或17
10.当x= 时,代数式3x2-6x的值等于12.
11.已知关于x的方程x2+4x+n=0可以配方成(x+m)2=3,则(m-n)2 025= .
12.(2024·天津期中)若一元二次方程x2-4 084 441=0的两根为±2 021,则一元二次方程t2-2t-4 084 440=0的解为 .
13.(新情境)(2024·佛山期中)小明设计了一个魔术盒,当任意实数对(a,b)进入其中,会得到一个新的实数a2-2b+3.若将实数对(x,-2x)放入其中,得到-1,则x= .
14.阅读下列材料:
关于x的方程x2-3x+1=0(x≠0),方程两边同时乘以得:x-3+=0,即x+=3,故(x+)2=x2+2·x·+=x2++2,所以x2+=(x+)2-2=32-2=7.
根据以上材料,解答下列问题:
若x2-4x+1=0(x≠0),则x+= ,x2+= ,x4+= .
15.(2024·泰州期中)已知a,b,c是△ABC的三边长,且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,求△ABC的周长.
【C层 创新挑战(选做)】
16.(推理能力、运算能力、应用意识)
阅读理解题:
定义:如果一个数的平方等于-1,记为i2=-1,这个数i叫做虚数单位.那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数,复数一般表示为a+bi(a,b为实数),a叫做这个复数的实部,b叫做这个复数的虚部,它的加法、减法、乘法运算与整式的加法、减法、乘法运算类似.
例如:解方程x2=-1,
解得x1=i,x2=-i.
同样我们也可以化简===2i;
读完这段文字,请你解答以下问题:
(1)填空:i3=______,i4=______, i6=______,i2 020=______;
(2)在复数范围内解方程:(x-1)2=-1;
(3)在复数范围内解方程:x2-4x+8=0.
