公式法
【A层 基础夯实】
知识点1 用公式法解一元二次方程
1.用公式法解方程4x2+12x+3=0,得 ( )
A.x= B.x=
C.x= D.x=
2.一元二次方程3x2-4x-2=0的解是 .
3.方程x2-3x=1的解是 .
4.(2024·兰州期末)用公式法解下列方程:
(1)2x2=3-7x.
(2)5x2-3x=x+1.
知识点2 用适当的方法解一元二次方程
5.(2024·武汉期中)方程(x+)(x-)=5(x-1)的根是 ( )
A.5 B.0 C.0,-5 D.0,5
6.(2024·深圳期中)若代数式2x2-3x与x2-7x的值相等,则x的值为 ( )
A.0 B.-4 C.0或-4 D.0或4
7.(2024·西安期中)方程x2+4=4x的解为 .
8.一元二次方程x(x-)=-x的根是 .
9.用适当的方法解下列方程:
(1)(x+1)2=25.
(2)(x+4)2=5(x+4).
(3)2x2-2x-1=0.
(4)3x2-5x-1=0.
【B层 能力进阶】
10.若方程(m-2)x|m|-2x+1=0是一元二次方程,则方程的根是 ( )
A.x1=,x2=
B.x1=,x2=
C.x1=,x2=
D.以上答案都不对
11.一元二次方程(x+) (x-1)=的解为 .
12.(新定义)(2024·厦门期中)在实数范围内定义运算“☆”和“★”,其规则为:
a☆b=a2+b2,a★b=,则方程3☆x=x★12的解为 .
13.如图,点A在数轴的负半轴,点B在数轴的正半轴,且点A对应的数是2x-1,点B对应的数是x2+x,已知AB=5,则x的值为 .
14.(2024·惠州期中)阅读第(1)题的解题过程,再解答第(2)题:
(1)例:解方程x2-|x|-2=0.
解:当x≥0时,原方程可化为x2-x-2=0.
解得:x1=2,x2=-1(不符合题意,舍去);
当x<0时,原方程可化为x2+x-2=0.
解得:x1=-2,x2=1(不符合题意,舍去),
∴原方程的解是x1=2,x2=-2.
(2)请参照第(1)题的解法,解方程x2-x-|x-1|-1=0.
【C层 创新挑战(选做)】
15.(推理能力、运算能力、应用意识)下面是某同学对多项式(x2-4x+2)(x2-4x+6)+4进行因式分解的过程.
解:设x2-4x=y
原式=(y+2)(y+6)+4(第一步)=y2+8y+16(第二步)=(y+4)2(第三步)=(x2-4x+4)2(第四步)
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______.
A.提取公因式 B.平方差公式
C.两数和的完全平方公式 D.两数差的完全平方公式
(2)该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换,这个结果是否分解到最后
______(填“是”或“否”).如果否,请直接写出最后的结果______.
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2-2x)(x2-2x+2)+1进行因式分解.
(4)请你模仿以上方法解关于x的方程(x2-1)2-2(x2-1)=8. 公式法
【A层 基础夯实】
知识点1 用公式法解一元二次方程
1.用公式法解方程4x2+12x+3=0,得 (A)
A.x= B.x=
C.x= D.x=
2.一元二次方程3x2-4x-2=0的解是 x= .
3.方程x2-3x=1的解是 x1=,x2= .
4.(2024·兰州期末)用公式法解下列方程:
(1)2x2=3-7x.
(2)5x2-3x=x+1.
【解析】(1)整理,得:2x2+7x-3=0,a=2,b=7,c=-3,b2-4ac=72-4×2×(-3)=73>0,
所以x==,
即x1=,x2=.
(2)整理,得:5x2-4x-1=0,a=5,b=-4,c=-1,b2-4ac=(-4)2-4×5×(-1)=36,
所以x==,即x1=1,x2=-.
知识点2 用适当的方法解一元二次方程
5.(2024·武汉期中)方程(x+)(x-)=5(x-1)的根是 (D)
A.5 B.0 C.0,-5 D.0,5
6.(2024·深圳期中)若代数式2x2-3x与x2-7x的值相等,则x的值为 (C)
A.0 B.-4 C.0或-4 D.0或4
7.(2024·西安期中)方程x2+4=4x的解为 x1=x2=2 .
8.一元二次方程x(x-)=-x的根是 x1=,x2=-1 .
9.用适当的方法解下列方程:
(1)(x+1)2=25.
(2)(x+4)2=5(x+4).
(3)2x2-2x-1=0.
(4)3x2-5x-1=0.
【解析】(1)(x+1)2=25,(x+1)2=100,x+1=±10,x=-1±10,∴x1=9,x2=-11;
(2)∵(x+4)2-5(x+4)=0,∴(x+4)(x+4-5)=0,∴x+4=0或x-1=0,∴x1=-4,x2=1.
(3)2x2-2x-1=0,x2-x-=0,x2-x=,x2-x+()2=+()2,(x-)2=,x-=±,
x-=或x-=-,x1=+,x2=-.
(4)a=3,b=-5,c=-1,b2-4ac=(-5)2-4×3×(-1)=37>0,所以x==,即x1=,x2=.
【B层 能力进阶】
10.若方程(m-2)x|m|-2x+1=0是一元二次方程,则方程的根是 (B)
A.x1=,x2=
B.x1=,x2=
C.x1=,x2=
D.以上答案都不对
11.一元二次方程(x+) (x-1)=的解为 x1=,x2= .
12.(新定义)(2024·厦门期中)在实数范围内定义运算“☆”和“★”,其规则为:
a☆b=a2+b2,a★b=,则方程3☆x=x★12的解为 x1=x2=3 .
13.如图,点A在数轴的负半轴,点B在数轴的正半轴,且点A对应的数是2x-1,点B对应的数是x2+x,已知AB=5,则x的值为 .
14.(2024·惠州期中)阅读第(1)题的解题过程,再解答第(2)题:
(1)例:解方程x2-|x|-2=0.
解:当x≥0时,原方程可化为x2-x-2=0.
解得:x1=2,x2=-1(不符合题意,舍去);
当x<0时,原方程可化为x2+x-2=0.
解得:x1=-2,x2=1(不符合题意,舍去),
∴原方程的解是x1=2,x2=-2.
(2)请参照第(1)题的解法,解方程x2-x-|x-1|-1=0.
【解析】当x-1≥0,即x≥1时,
原方程可化为:x2-x-(x-1)-1=0,
整理得:x2-2x=0,
解得:x1=0(不合题意,舍去),x2=2;
当x-1<0,即x<1时,
原方程可化为:x2-x+(x-1)-1=0,
整理得:x2-2=0,
解得:x1=(不符合题意,舍去),x2=-;
∴原方程的解是x1=2,x2=-.
【C层 创新挑战(选做)】
15.(推理能力、运算能力、应用意识)下面是某同学对多项式(x2-4x+2)(x2-4x+6)+4进行因式分解的过程.
解:设x2-4x=y
原式=(y+2)(y+6)+4(第一步)=y2+8y+16(第二步)=(y+4)2(第三步)=(x2-4x+4)2(第四步)
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______.
A.提取公因式 B.平方差公式
C.两数和的完全平方公式 D.两数差的完全平方公式
(2)该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换,这个结果是否分解到最后
______(填“是”或“否”).如果否,请直接写出最后的结果______.
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2-2x)(x2-2x+2)+1进行因式分解.
(4)请你模仿以上方法解关于x的方程(x2-1)2-2(x2-1)=8.
【解析】(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式;
答案:C
(2)否,最终结果为:(x-2)4,
答案:否 (x-2)4
(3)设y=x2-2x,原式=y(y+2)+1=y2+2y+1=(y+1)2=(x2-2x+1)2=(x-1)4;
(4)设y=x2-1,则原式化为y2-2y=8,
∴y2-2y-8=0,∴(y-4)(y+2)=0,
∴y-4=0或y+2=0,解得y=4或-2,
当y=4时,x2-1=4,即x2=5,
解得x1=,x2=-,
当y=-2时,x2-1=-2,此方程无解,
∴原方程的解为:x1=,x2=-.
