一元二次方程根的判别式
【A层 基础夯实】
知识点1 不解方程判断一元二次方程根的情况
1.下列方程中,没有实数根的是 ( )
A.2x2-x=3 B.x2+x=0
C.3x2+4x+5=0 D.2x2-4x-5=0.
2.(2023·泸州中考)关于x的一元二次方程x2+2ax+a2-1=0的根的情况是 ( )
A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.实数根的个数与实数a的取值有关
3.(2023·内江中考)对于实数a,b定义运算“”为ab=b2-ab,例如:32=22-3×2=-2,则关于x的方程(k-3)x=k-1的根的情况,下列说法正确的是 ( )
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
4.(2024·徐州期中)已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2-9=0.
(1)不解方程,判断方程根的情况;
(2)若x=0,求m的值.
知识点2 由根的情况求字母的值或取值范围
5.已知一元二次方程(k-3)x2+2x+1=0有两个实数根,则k的取值范围是 ( )
A.k<4 B.k≤4
C.k<4且k≠3 D.k≤4且k≠3
6.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)若关于x的方程kx2-6x+3=0有实数根,则k的取值范围是( )
A.k<3 B.k≤3
C.k<3且k≠0 D.k≤3且k≠0
7.若一元二次方程kx2-3x+1=0有两个相等的实数根,则k的值是 .
8.(2024·南京期中)若方程x2+(2+2a)x+a2+b+1=0有两个相等的实数根,则= .
9.(2023·荆州中考)已知关于x的一元二次方程kx2-(2k+4)x+k-6=0有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)当k=1时,用配方法解方程.
【B层 能力进阶】
10.(2024·潍坊期中)已知点A(a,b)在第四象限,则关于x的一元二次方程ax2+2x+b=0的根的情况是 ( )
A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定
11.若1和-1有一个是关于x的方程x2+bx+a=0的根,则一元二次方程(a+1)x2+2bx+(a+1)=0根的情况是 ( )
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个实数根
D.没有实数根
12.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),下列说法:
①若a+b+c=0,则b2-4ac≥0;
②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根,则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根;
③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根,则一定有ac+b+1=0成立;
④存在实数m,n(m≠n),使得am2+bm+c=an2+bn+c;
其中正确的是 ( )
A.①②③ B.①②④
C.②③④ D.①③④
13.(易错警示题·隐含条件未挖掘)(2024·常州期中)已知等腰△ABC的边长分别是m,n,4,且m,n是关于x的方程x2-6x+a+1=0的两根.则a的值为 .
14.已知关于x的一元二次方程x2-(k+2)x+k-1=0.
(1)求证:无论k取何值,此方程总有两个不相等的实数根;
(2)已知是关于x的方程x2-(k+2)x+k-1=0的一个根,而这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长.
①求k的值;
②求△ABC的周长.
【C层 创新挑战(选做)】
15.(抽象能力、推理能力、运算能力)(2024·温州期中)根据以下材料,完成题目.
材料一:数学家欧拉为了解决一元二次方程x2=-1在实数范围内无解的问题,引进虚数单位i,规定i2=-1.当b≠0时,形如a+bi(a,b为实数)的数统称为虚数.比如5i,3+2i,1-i.当b=0时,a+bi=a+0·i=a为实数.
材料二:虚数的运算与整式的运算类似,任意两个虚数a+bi,c+di(其中a,b,c,d为实数,且b≠0,d≠0)有如下运算法则:
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;
(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;
(a+bi)·(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i;
材料三:关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c为实数)如果没有实数根,那么它有两个虚数根,求根公式为x=.
解答以下问题:
(1)填空:化简i4=______,(1+i)2=______;
(2)关于x的一元二次方程x2+mx+n=0有一个根是1+i,其中m,n是实数,求m+n的值;
(3)已知关于x的一元二次方程x2-3x-k+4=0无实数根,且k为正整数,求该方程的虚数根. 一元二次方程根的判别式
【A层 基础夯实】
知识点1 不解方程判断一元二次方程根的情况
1.下列方程中,没有实数根的是 (C)
A.2x2-x=3 B.x2+x=0
C.3x2+4x+5=0 D.2x2-4x-5=0.
2.(2023·泸州中考)关于x的一元二次方程x2+2ax+a2-1=0的根的情况是 (C)
A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.实数根的个数与实数a的取值有关
3.(2023·内江中考)对于实数a,b定义运算“”为ab=b2-ab,例如:32=22-3×2=-2,则关于x的方程(k-3)x=k-1的根的情况,下列说法正确的是 (A)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
4.(2024·徐州期中)已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2-9=0.
(1)不解方程,判断方程根的情况;
(2)若x=0,求m的值.
【解析】(1)∵a=1,b=2m,c=m2-9,
Δ=(2m)2-4(m2-9)=4m2-4m2+36=36>0,
∴方程有两个不相等的实数根;
(2)当x=0时,m2-9=0,解得m=±3.
即m的值为3或-3.
知识点2 由根的情况求字母的值或取值范围
5.已知一元二次方程(k-3)x2+2x+1=0有两个实数根,则k的取值范围是 (D)
A.k<4 B.k≤4
C.k<4且k≠3 D.k≤4且k≠3
6.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)若关于x的方程kx2-6x+3=0有实数根,则k的取值范围是(B)
A.k<3 B.k≤3
C.k<3且k≠0 D.k≤3且k≠0
7.若一元二次方程kx2-3x+1=0有两个相等的实数根,则k的值是 .
8.(2024·南京期中)若方程x2+(2+2a)x+a2+b+1=0有两个相等的实数根,则= 2 .
9.(2023·荆州中考)已知关于x的一元二次方程kx2-(2k+4)x+k-6=0有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)当k=1时,用配方法解方程.
【解析】 (1)∵关于x的一元二次方程kx2-(2k+4)x+k-6=0有两个不相等的实数根,
∴Δ=(2k+4)2-4k(k-6)>0,且k≠0,
解得:k>-且k≠0;
(2)当k=1时,
原方程为x2-(2×1+4)x+1-6=0,
即x2-6x-5=0,
移项得:x2-6x=5,
配方得:x2-6x+9=5+9,
即(x-3)2=14,
直接开平方得:x-3=±,
解得:x1=3+,x2=3-.
【B层 能力进阶】
10.(2024·潍坊期中)已知点A(a,b)在第四象限,则关于x的一元二次方程ax2+2x+b=0的根的情况是 (C)
A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定
11.若1和-1有一个是关于x的方程x2+bx+a=0的根,则一元二次方程(a+1)x2+2bx+(a+1)=0根的情况是 (B)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个实数根
D.没有实数根
12.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),下列说法:
①若a+b+c=0,则b2-4ac≥0;
②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根,则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根;
③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根,则一定有ac+b+1=0成立;
④存在实数m,n(m≠n),使得am2+bm+c=an2+bn+c;
其中正确的是 (B)
A.①②③ B.①②④
C.②③④ D.①③④
13.(易错警示题·隐含条件未挖掘)(2024·常州期中)已知等腰△ABC的边长分别是m,n,4,且m,n是关于x的方程x2-6x+a+1=0的两根.则a的值为 7或8 .
14.已知关于x的一元二次方程x2-(k+2)x+k-1=0.
(1)求证:无论k取何值,此方程总有两个不相等的实数根;
(2)已知是关于x的方程x2-(k+2)x+k-1=0的一个根,而这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长.
①求k的值;
②求△ABC的周长.
【解析】(1)∵a=1,b=-(k+2),c=k-1,
∴Δ=b2-4ac=[-(k+2)]2-4×1×(k-1)=k2+8>0,∴无论k取何值,此方程总有两个不相等的实数根.
(2)①把x=代入方程x2-(k+2)x+k-1=0得:-(k+2)+k-1=0,解得k=;
②方程为x2-x+=0,
解得x1=,x2=5,因为这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长,
而+<5,
所以这个等腰三角形的三边长分别为,5,5,
所以△ABC的周长为.
【C层 创新挑战(选做)】
15.(抽象能力、推理能力、运算能力)(2024·温州期中)根据以下材料,完成题目.
材料一:数学家欧拉为了解决一元二次方程x2=-1在实数范围内无解的问题,引进虚数单位i,规定i2=-1.当b≠0时,形如a+bi(a,b为实数)的数统称为虚数.比如5i,3+2i,1-i.当b=0时,a+bi=a+0·i=a为实数.
材料二:虚数的运算与整式的运算类似,任意两个虚数a+bi,c+di(其中a,b,c,d为实数,且b≠0,d≠0)有如下运算法则:
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;
(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;
(a+bi)·(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i;
材料三:关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c为实数)如果没有实数根,那么它有两个虚数根,求根公式为x=.
解答以下问题:
(1)填空:化简i4=______,(1+i)2=______;
(2)关于x的一元二次方程x2+mx+n=0有一个根是1+i,其中m,n是实数,求m+n的值;
(3)已知关于x的一元二次方程x2-3x-k+4=0无实数根,且k为正整数,求该方程的虚数根.
【解析】(1)∵i2=-1,
∴i4=(i2)2=(-1)2=1,
∵(a+bi)·(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i,
∴(1+i)2=2i,
答案:1 2i
(2)∵一元二次方程x2+mx+n=0有一个根是1+i,
∴2i+m+mi+n=0,
即m+n=-2i-mi,
∵m,n是实数,
∴-2-m=0,
解得:m=-2,n=2,
∴m+n=0;
(3)∵方程x2-3x-k+4=0无实数根,
∴(-3)2-4×1×(4-k)<0,
解得:k<,
∵k为正整数,
∴k=1,
即x2-3x+3=0,
∵一元二次方程有两个虚数根,求根公式为x=,
∴x==,
∴方程的虚数根为x1=,x2=.
