实践与探索(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 几何图形面积问题
1.(2024·舟山期末)如图,在一幅长为60 cm,宽为40 cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的纸边,制成一幅矩形挂图.若要使整个挂图的面积是3 500 cm2,设纸边的宽为x cm,则x满足的方程是 ( )
A.(60+x)(40+x)=3 500
B.(60+2x)(40+2x)=3 500
C.(60-x)(40-x)=3 500
D.(60-2x)(40-2x)=3 500
2.如图,在一块长为15 m,宽为10 m的矩形花圃内修建三条宽度相等的小路,其余部分种植花草.若花草的种植面积为104 m2,则小路宽为 m
.
3.(2024·厦门期中)随着劳动教育的开展,官渡区某学校率先行动,在校园内开辟了一块劳动教育基地:一面利用学校的墙(墙的最大可用长度为22米),用长为34米的篱笆,围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地,在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门,供同学们进行劳动实践,若设菜地的宽AB为x米.
(1)BC=_______米(用含x的代数式表示);
(2)若围成的菜地面积为96平方米,求此时的宽AB.
知识点2 几何图形变换问题
4.(2024·福州期中)如图,一张长方形纸板长40 cm,宽30 cm,剪掉2个小正方形和2个小长方形(阴影部分即剪掉部分),剩余的部分可折成一个有盖的长方体纸盒,若纸盒底面ABCD的面积等于300 cm2.设剪掉的小正方形边长为x cm,则根据题意可得方程 .
5.如图是一张长20 cm,宽12 cm的矩形纸板,将纸板四个角各剪去一个边长为x cm的正方形,然后将四周突出部分折起,可制成一个无盖纸盒.若要制成一个底面积是180 cm2的无盖长方体纸盒,求x的值.
6.(2024·武汉期中)如图,一个长为30厘米,宽为20厘米的长方形礼品盒表面镶有宽度相同的两条丝带,若盒子上表面没有被丝带覆盖的面积为375平方厘米,则丝带的宽度为多少厘米
【B层 能力进阶】
7.在学校的劳动教育基地里,九(1)班分到如图所示一块长为9 m,宽为7 m的矩形空地,计划在其中两块完全相同的矩形地种植蔬菜,它们的面积之和为30 m2,若人行道的宽度都为x,则可以列出关于x的方程 ( )
A.(9-x)(7-x)=30
B.(9-x)(7-2x)=30
C.(9-3x)(7-2x)=33
D.(9-3x)(7-2x)=30
8.(2023·无锡中考)《九章算术》中提出了如下问题:今有户不知高、广,竿不知长短,横之不出四尺,从之不出二尺,邪之适出,问户高、广、袤各几何 这段话的意思是:今有门不知其高宽;有竿,不知其长短,横放,竿比门宽长出4尺;竖放,竿比门高长出2尺;斜放,竿与门对角线恰好相等.问门高、宽和对角线的长各是多少 则该问题中的门高是 尺.
9.(2024·大连期中)某社区在开展“美化社区,幸福家园”活动中,计划利用如图所示的直角墙角(阴影部分,两边足够长),用50米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,AD两边).若在直角墙角内点P处有一棵桂花树,且与墙BC,CD的距离分别是10米,30米,要将这棵树围在矩形花园内(含边界,不考虑树的粗细),则花园的面积 (填“能”或“不能”)为625平方米.
【C层 创新挑战（选做）】
10.(模型观念、推理能力、运算能力)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=30 cm,BC=21 cm,动点P从点C出发,沿CA方向运动,动点Q从点B出发,沿BC方向运动,如果点P,Q同时出发,P,Q的运动速度均为1 cm/s.
(1)那么运动几秒时,它们相距15 cm
(2)△PCQ的面积能等于60 cm2吗 为什么 实践与探索(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 平均变化率问题
1.(2024·南昌期中)4月23日是世界读书日,有关部门统计,某市2021年人均纸质阅读量约为4本,2023年人均纸质阅读量约为4.84本,设人均纸质阅读量年平均增长率为x,则根据题意可列方程为 ( )
A.4(1+2x)=4.84
B.4(1+x2)=4.84
C.4(1+x)2=4.84
D.4+4(1+x)+4(1+x)2=4.84
2.(2023·邵阳中考)某校截止到2022年底,校园绿化面积为1 000平方米.为美化环境,该校计划2024年底绿化面积达到1 440平方米.利用方程想想,设这两年绿化面积的年平均增长率为x,则依题意列方程为 .
3.(2024·徐州期中)某商品原价每件为200元,连续两次降价m%后,售价为162元,则m的值为 .
4.某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品.当商品售价为40元时,一月份销售256件,二、三月该商品十分畅销,销售量持续走高.在售价不变的基础上,三月底的销售量达到400件.设二、三这两个月的月平均增长率不变.
(1)求二、三这两个月的月平均增长率;
(2)从四月份起,商场决定采用降价促销的方式回馈顾客,经调查发现,该商品每降价1元,销售量增加5件,当商品降价多少元时,商场获利4 250元
知识点2 其他问题
5.某白酒专卖店销售一种白酒,这种白酒每瓶的进价为60元,若以每瓶100元的价格出售,每天可售出40瓶.为了促进销售,店长决定采取适当的降价措施.经市场调查发现,当这种白酒每瓶每降价1元时,每天可多售出2瓶.若为了让利于消费者,且日销售利润要达到1 600元,则这种白酒的销售单价为 元.
6.参加某商品交易会的每两家公司之间都签订两份合同,所有公司共签订了20份合同,则共有 家公司参加了该商品交易会.
7.为了营造人与自然和谐共处的生态环境,某市近年加快实施城乡绿化一体化工程,创建国家城市绿化一体化城市.某校甲、乙两班师生前往郊区参加植树活动.已知甲班每天比乙班少种10棵树,甲班种150棵树所用的天数比乙班种120棵树所用的天数多2天.求甲、乙两班每天各植树多少棵.
【B层 能力进阶】
8.(2024·佛山期中)某农机厂四月份生产零件50万个,第二季度共生产零件182万个.设该厂五、六月份平均每月的增长率为x,那么x满足的方程是( )
A.50(1+x)2=182
B.50(1+x)+50(1+x)2=182
C.50+50(1+x)=182
D.50+50(1+x)+50(1+x)2=182
9.某商店销售某种商品,平均每天可售出20件,每件盈利40元.经调查发现,商品销售单价每降1元,平均每天可多售出2件.在每件盈利不少于25元的前提下,要获利1 200元,每件商品应降价( )
A.10元 B.20元
C.10元或20元 D.13元
10.(2024·烟台期中)某校“研学”活动小组在一次野外实践时,发现一种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出相同数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是43,则这种植物每个支干长出的小分支个数是 .
11.(易错警示题·忽视分情况讨论)以下是龙湾风景区旅游信息:
旅游人数 收费标准
不超过30人 人均收费80元
超过30人 每增加1人,人均收费降低1元,但人均收费不低于50元
根据以上信息,某公司组织一批员工到该风景区旅游,支付给旅行社2 800元.从中可以推算出该公司参加旅游的人数为 .
12.(2024·泉州期中)新能源汽车因为节能、环保,越来越受消费者的喜爱,各种品牌的新能源汽车相继投放市场.已知2023年7月~9月某国产品牌新能源汽车的销售量数据如表所示:
月份 7月 8月 9月
新能源汽车销售量/万辆 16.00 17.6 19.36
(1)求2023年7月~9月该国产品牌新能源汽车销售量的月平均增长率.
(2)假设该国产品牌新能源汽车销售量的月平均增长率保持不变,试通过计算说明2023年7月~10月该国产品牌新能源汽车销售总量能否达到75万辆
【C层 创新挑战（选做）】
13.(模型观念、推理能力、运算能力)(2024·苏州期中)为扎实推进乡村振兴战略,苏州市某村举办了中国传统文化主题灯会.据统计,灯会开幕后第一周的游客人数为1.2万人,第三周的游客人数为2.7万人.
(1)若从第一周到第三周,每周游客人数的平均增长率都相同,求这个平均增长率.
(2)村里的猕猴桃成本为3元/个,平时按5元/个出售,每天可售出1 000个.灯会期间为了保证猕猴桃的供应,村里决定采取提高售价减少销售量的办法销售.若这种猕猴桃的售价每提高0.5元其销售量就减少50个,且每个猕猴桃的售价不超过10元,问每个售价定为多少元时,才能使每天利润为3 200元 实践与探索(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 几何图形面积问题
1.(2024·舟山期末)如图,在一幅长为60 cm,宽为40 cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的纸边,制成一幅矩形挂图.若要使整个挂图的面积是3 500 cm2,设纸边的宽为x cm,则x满足的方程是 (B)
A.(60+x)(40+x)=3 500
B.(60+2x)(40+2x)=3 500
C.(60-x)(40-x)=3 500
D.(60-2x)(40-2x)=3 500
2.如图,在一块长为15 m,宽为10 m的矩形花圃内修建三条宽度相等的小路,其余部分种植花草.若花草的种植面积为104 m2,则小路宽为 2 m
.
3.(2024·厦门期中)随着劳动教育的开展,官渡区某学校率先行动,在校园内开辟了一块劳动教育基地:一面利用学校的墙(墙的最大可用长度为22米),用长为34米的篱笆,围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地,在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门,供同学们进行劳动实践,若设菜地的宽AB为x米.
(1)BC=_______米(用含x的代数式表示);
(2)若围成的菜地面积为96平方米,求此时的宽AB.
【解析】(1)∵篱笆的总长为34米,菜地的前端各设计了两个宽1米的小门,且菜地的宽AB为x米,
∴长BC为34+2-3x=(36-3x)米.
答案:(36-3x)
(2)根据题意得:x(36-3x)=96,
整理得:x2-12x+32=0,
解得:x1=4,x2=8.
当x=4时,36-3x=36-3×4=24>22,不符合题意,舍去;
当x=8时,36-3x=36-3×8=12<22,符合题意.
答:当围成的菜地面积为96平方米时,宽AB为8米.
知识点2 几何图形变换问题
4.(2024·福州期中)如图,一张长方形纸板长40 cm,宽30 cm,剪掉2个小正方形和2个小长方形(阴影部分即剪掉部分),剩余的部分可折成一个有盖的长方体纸盒,若纸盒底面ABCD的面积等于300 cm2.设剪掉的小正方形边长为x cm,则根据题意可得方程 (20-x)(30-2x)=300 .
5.如图是一张长20 cm,宽12 cm的矩形纸板,将纸板四个角各剪去一个边长为x cm的正方形,然后将四周突出部分折起,可制成一个无盖纸盒.若要制成一个底面积是180 cm2的无盖长方体纸盒,求x的值.
【解析】依题意,得(20-2x)(12-2x)=180,
整理,得x2-16x+15=0,
解得:x1=1,x2=15(不合题意,舍去).
答:x的值为1.
6.(2024·武汉期中)如图,一个长为30厘米,宽为20厘米的长方形礼品盒表面镶有宽度相同的两条丝带,若盒子上表面没有被丝带覆盖的面积为375平方厘米,则丝带的宽度为多少厘米
【解析】设丝带的宽度为x厘米,
则盒子上表面未被丝带覆盖的部分可合成长为(30-x)厘米,宽为(20-x)厘米的长方形,
依题意得:(30-x)(20-x)=375,
整理得:x2-50x+225=0,
解得:x1=5,x2=45.
当x=5时,20-x=20-5=15>0,符合题意;
当x=45时,20-x=20-45=-25<0,不符合题意,舍去.
答:丝带的宽度为5厘米.
【B层 能力进阶】
7.在学校的劳动教育基地里,九(1)班分到如图所示一块长为9 m,宽为7 m的矩形空地,计划在其中两块完全相同的矩形地种植蔬菜,它们的面积之和为30 m2,若人行道的宽度都为x,则可以列出关于x的方程 (D)
A.(9-x)(7-x)=30
B.(9-x)(7-2x)=30
C.(9-3x)(7-2x)=33
D.(9-3x)(7-2x)=30
8.(2023·无锡中考)《九章算术》中提出了如下问题:今有户不知高、广,竿不知长短,横之不出四尺,从之不出二尺,邪之适出,问户高、广、袤各几何 这段话的意思是:今有门不知其高宽;有竿,不知其长短,横放,竿比门宽长出4尺;竖放,竿比门高长出2尺;斜放,竿与门对角线恰好相等.问门高、宽和对角线的长各是多少 则该问题中的门高是 8 尺.
9.(2024·大连期中)某社区在开展“美化社区,幸福家园”活动中,计划利用如图所示的直角墙角(阴影部分,两边足够长),用50米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,AD两边).若在直角墙角内点P处有一棵桂花树,且与墙BC,CD的距离分别是10米,30米,要将这棵树围在矩形花园内(含边界,不考虑树的粗细),则花园的面积 不能 (填“能”或“不能”)为625平方米.
【C层 创新挑战（选做）】
10.(模型观念、推理能力、运算能力)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=30 cm,BC=21 cm,动点P从点C出发,沿CA方向运动,动点Q从点B出发,沿BC方向运动,如果点P,Q同时出发,P,Q的运动速度均为1 cm/s.
(1)那么运动几秒时,它们相距15 cm
(2)△PCQ的面积能等于60 cm2吗 为什么
【解析】(1)设运动t s时,P,Q两点相距15 cm,
依题意,得t2+(21-t)2=152,
解得t1=9,t2=12,
∴运动9 s或12 s时,P,Q两点相距15 cm;
(2)△PCQ的面积不能等于60 cm2,理由如下:
设运动x s时,△PCQ的面积等于60 cm2,
依题意,得x(21-x)=60,
整理,得x2-21x+120=0,
∵Δ=(-21)2-4×1×120=-39<0,
∴原方程无解,即△PCQ的面积不能等于60 cm2. 实践与探索(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 平均变化率问题
1.(2024·南昌期中)4月23日是世界读书日,有关部门统计,某市2021年人均纸质阅读量约为4本,2023年人均纸质阅读量约为4.84本,设人均纸质阅读量年平均增长率为x,则根据题意可列方程为 (C)
A.4(1+2x)=4.84
B.4(1+x2)=4.84
C.4(1+x)2=4.84
D.4+4(1+x)+4(1+x)2=4.84
2.(2023·邵阳中考)某校截止到2022年底,校园绿化面积为1 000平方米.为美化环境,该校计划2024年底绿化面积达到1 440平方米.利用方程想想,设这两年绿化面积的年平均增长率为x,则依题意列方程为 1 000(1+x)2=1 440 .
3.(2024·徐州期中)某商品原价每件为200元,连续两次降价m%后,售价为162元,则m的值为 10 .
4.某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品.当商品售价为40元时,一月份销售256件,二、三月该商品十分畅销,销售量持续走高.在售价不变的基础上,三月底的销售量达到400件.设二、三这两个月的月平均增长率不变.
(1)求二、三这两个月的月平均增长率;
(2)从四月份起,商场决定采用降价促销的方式回馈顾客,经调查发现,该商品每降价1元,销售量增加5件,当商品降价多少元时,商场获利4 250元
【解析】(1)设二、三这两个月的月平均增长率为x,根据题意可得:256(1+x)2=400,
解得:x1=,x2=-(不合题意,舍去).
答:二、三这两个月的月平均增长率为25%.
(2)设当商品降价m元时,商场获利4 250元,根据题意可得:(40-25-m)(400+5m)=4 250,
解得:m1=5,m2=-70(不合题意舍去).
答:当商品降价5元时,商场获利4 250元.
知识点2 其他问题
5.某白酒专卖店销售一种白酒,这种白酒每瓶的进价为60元,若以每瓶100元的价格出售,每天可售出40瓶.为了促进销售,店长决定采取适当的降价措施.经市场调查发现,当这种白酒每瓶每降价1元时,每天可多售出2瓶.若为了让利于消费者,且日销售利润要达到1 600元,则这种白酒的销售单价为 80 元.
6.参加某商品交易会的每两家公司之间都签订两份合同,所有公司共签订了20份合同,则共有 5 家公司参加了该商品交易会.
7.为了营造人与自然和谐共处的生态环境,某市近年加快实施城乡绿化一体化工程,创建国家城市绿化一体化城市.某校甲、乙两班师生前往郊区参加植树活动.已知甲班每天比乙班少种10棵树,甲班种150棵树所用的天数比乙班种120棵树所用的天数多2天.求甲、乙两班每天各植树多少棵.
【解析】设甲班每天植树x棵,那么乙班每天植树(x+10)棵,
依题意,得=+2,
整理,得x2-5x-750=0,
解得x1=30,x2=-25,
经检验,x1=30,x2=-25都是原方程的解,
但x2=-25不符合题意,舍去,
∴x=30,x+10=40,
答:甲班每天植树30棵,乙班每天植树40棵.
【B层 能力进阶】
8.(2024·佛山期中)某农机厂四月份生产零件50万个,第二季度共生产零件182万个.设该厂五、六月份平均每月的增长率为x,那么x满足的方程是(D)
A.50(1+x)2=182
B.50(1+x)+50(1+x)2=182
C.50+50(1+x)=182
D.50+50(1+x)+50(1+x)2=182
9.某商店销售某种商品,平均每天可售出20件,每件盈利40元.经调查发现,商品销售单价每降1元,平均每天可多售出2件.在每件盈利不少于25元的前提下,要获利1 200元,每件商品应降价(A)
A.10元 B.20元
C.10元或20元 D.13元
10.(2024·烟台期中)某校“研学”活动小组在一次野外实践时,发现一种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出相同数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是43,则这种植物每个支干长出的小分支个数是 6 .
11.(易错警示题·忽视分情况讨论)以下是龙湾风景区旅游信息:
旅游人数 收费标准
不超过30人 人均收费80元
超过30人 每增加1人,人均收费降低1元,但人均收费不低于50元
根据以上信息,某公司组织一批员工到该风景区旅游,支付给旅行社2 800元.从中可以推算出该公司参加旅游的人数为 40 .
12.(2024·泉州期中)新能源汽车因为节能、环保,越来越受消费者的喜爱,各种品牌的新能源汽车相继投放市场.已知2023年7月~9月某国产品牌新能源汽车的销售量数据如表所示:
月份 7月 8月 9月
新能源汽车销售量/万辆 16.00 17.6 19.36
(1)求2023年7月~9月该国产品牌新能源汽车销售量的月平均增长率.
(2)假设该国产品牌新能源汽车销售量的月平均增长率保持不变,试通过计算说明2023年7月~10月该国产品牌新能源汽车销售总量能否达到75万辆
【解析】(1)设2023年7月~9月该国产品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x,
由题意得:16(1+x)2=19.36,解得:x1=0.1=10%,x2=-2.1(不符合题意,舍去),
答:2023年7月~9月该国产品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为10%;
(2)由题意可知,19.36×(1+10%)=21.296(万辆),
∵16+17.6+19.36+21.296=74.256<75,
∴2023年7月~10月该国产品牌新能源汽车销售总量不能达到75万辆.
【C层 创新挑战（选做）】
13.(模型观念、推理能力、运算能力)(2024·苏州期中)为扎实推进乡村振兴战略,苏州市某村举办了中国传统文化主题灯会.据统计,灯会开幕后第一周的游客人数为1.2万人,第三周的游客人数为2.7万人.
(1)若从第一周到第三周,每周游客人数的平均增长率都相同,求这个平均增长率.
(2)村里的猕猴桃成本为3元/个,平时按5元/个出售,每天可售出1 000个.灯会期间为了保证猕猴桃的供应,村里决定采取提高售价减少销售量的办法销售.若这种猕猴桃的售价每提高0.5元其销售量就减少50个,且每个猕猴桃的售价不超过10元,问每个售价定为多少元时,才能使每天利润为3 200元
【解析】(1)设每周游客人数的平均增长率为x,
根据题意得:1.2(1+x)2=2.7,
解得:x1=0.5=50%,x2=-2.5(不符合题意,舍去).
答:每周游客人数的平均增长率为50%.
(2)设每个售价定为y元,则每个的销售利润为(y-3)元,每天可售出1 000-50×=(1 500-100y)个,
根据题意得:(y-3)(1 500-100y)=3 200,
整理得:y2-18y+77=0,
解得:y1=7,y2=11(不符合题意,舍去).
答:每个售价应定为7元.
