平行线分线段成比例
【A层 基础夯实】
知识点1 平行线分线段成比例定理
1.如图,直线a∥b∥c,直线AC分别交a,b,c于点A,B,C,直线DF分别交a,b,c于点D,E,F,若DE=2EF,AC=9,则AB的长为(D)
A.3 B.4 C.5 D.6
2.(2024·上海期中)如图,l1∥l2∥l3,AD=4,DF=3,BE=10.则BC= .
3.如图,四条平行直线l1,l2,l3,l4被直线l5,l6所截,AB∶BC∶CD=1∶2∶3,若FG=3,则线段EF和线段GH的长度之和是 6 .
4. (2024·泰州期中)如图,a∥b∥c,直线m,n交于点O,且分别与直线a,b,c交于点A,B,C和点D,E,F,已知OA=1,OB=2,BC=4,EF=5.
(1)直接写出OE的长度为______;
(2)求DE的长度.
【解析】(1)∵b∥c,∴=,即=,
解得OE=,即OE的长度为.
答案:
(2)∵a∥b∥c,∴=,即=,
解得DE=,即DE的长度为.
知识点2 平行线分线段成比例定理的推论
5.(2024·贵港期中)如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,且DE∥BC,若AB=3BD,则的值为(B)
A. B. C. D.
6.(2024·杭州期中)如图,在△ABC中,D是△ABC的BC边上的中点,AF∶FD=1∶2,BF的延长线交AC于点E,则AE∶CE的值为(C)
A. B. C. D.
7.(2024·淄博期末)如图,在△ABC中,点M为AC边的中点,点E为AB上一点,且AB=4AE,连结EM并延长交BC的延长线于点D,求证:BC=2CD.
【证明】作CF∥DE,交AB于F,如图,
∵ME∥CF,∴=,
而M为AC边的中点,
∴AM=MC,
∴AE=EF,∵AB=4AE,
∴EF=AB,BF=AB,
∴BF=2EF,∵CF∥DE,
∴==2,∴BC=2CD.
【B层 能力进阶】
8.大自然是美的设计师,即使是一个小小的盆景,经常也会产生最具美感的黄金分割比(黄金分割比约为0.618).如图,点B为AC的黄金分割点(AB>BC),若AC=
100 cm,则BC约为(B)
A.42 cm B.38 cm C.62cm D.70cm
9.如图,五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的,同一条直线上的三个点A,B,C都在横线上.若线段BC=3 cm,则线段AC的长是(C)
A.3.5 cm B.4 cm C.4.5 cm D.5 cm
10.(2024·盐城期中)如图,点D,E,F分别在△ABC的AB,AC,BC边上,=,DE∥BC,EF∥AB,点M是EF的中点,连结BM并延长交AC于点N,则的值是(A)
A. B. C. D.
11.(2024·青岛期中)如图,在△ABC中,E在BC边上,BE∶EC=1∶3,O是BD的中点,连结BO并延长交AC于D,则AD∶AC= 1∶3 .
12. (2024·东莞期中)如图,AD∥BE,BD∥CE.
(1)试说明=;
(2)若OA=4,AC=12,求OB的长.
【解析】(1)∵AD∥BE,∴=.
∵BD∥CE,∴=,∴=;
(2)∵OA=4,AC=12,∴OC=16,
∵=,∴=,∴OB=8.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(抽象能力、推理能力)阅读与计算:请阅读以下材料,并完成相应的问题.
角平分线分线段成比例定理:如图①,在△ABC中,AD平分∠BAC,则=.
下面是这个定理的部分证明过程.
证明:如图②,过点C作CE∥DA,交BA的延长线于点E…
任务:(1)请按照上面的证明思路,写出该证明过程的剩余部分;
(2)如图③,在△ABC中,AD是角平分线,AB=5 cm,AC=4 cm,BC=7 cm.求BD的长.
【解析】(1)如题图②,过点C作CE∥DA,交BA的延长线于点E,∵CE∥DA,∴=,
∠CAD=∠ACE,∠BAD=∠E,
∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,
∴∠ACE=∠E,∴AE=AC,∴=;
(2)∵AD是∠CAB的平分线,∴=,
∵AB=5 cm,AC=4 cm,BC=7 cm,
∴=,解得BD=cm. 平行线分线段成比例
【A层 基础夯实】
知识点1 平行线分线段成比例定理
1.如图,直线a∥b∥c,直线AC分别交a,b,c于点A,B,C,直线DF分别交a,b,c于点D,E,F,若DE=2EF,AC=9,则AB的长为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
2.(2024·上海期中)如图,l1∥l2∥l3,AD=4,DF=3,BE=10.则BC= .
3.如图,四条平行直线l1,l2,l3,l4被直线l5,l6所截,AB∶BC∶CD=1∶2∶3,若FG=3,则线段EF和线段GH的长度之和是 .
4. (2024·泰州期中)如图,a∥b∥c,直线m,n交于点O,且分别与直线a,b,c交于点A,B,C和点D,E,F,已知OA=1,OB=2,BC=4,EF=5.
(1)直接写出OE的长度为______;
(2)求DE的长度.
知识点2 平行线分线段成比例定理的推论
5.(2024·贵港期中)如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,且DE∥BC,若AB=3BD,则的值为( )
A. B. C. D.
6.(2024·杭州期中)如图,在△ABC中,D是△ABC的BC边上的中点,AF∶FD=1∶2,BF的延长线交AC于点E,则AE∶CE的值为( )
A. B. C. D.
7.(2024·淄博期末)如图,在△ABC中,点M为AC边的中点,点E为AB上一点,且AB=4AE,连结EM并延长交BC的延长线于点D,求证:BC=2CD.
【B层 能力进阶】
8.大自然是美的设计师,即使是一个小小的盆景,经常也会产生最具美感的黄金分割比(黄金分割比约为0.618).如图,点B为AC的黄金分割点(AB>BC),若AC=
100 cm,则BC约为( )
A.42 cm B.38 cm C.62cm D.70cm
9.如图,五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的,同一条直线上的三个点A,B,C都在横线上.若线段BC=3 cm,则线段AC的长是( )
A.3.5 cm B.4 cm C.4.5 cm D.5 cm
10.(2024·盐城期中)如图,点D,E,F分别在△ABC的AB,AC,BC边上,=,DE∥BC,EF∥AB,点M是EF的中点,连结BM并延长交AC于点N,则的值是( )
A. B. C. D.
11.(2024·青岛期中)如图,在△ABC中,E在BC边上,BE∶EC=1∶3,O是BD的中点,连结BO并延长交AC于D,则AD∶AC= .
12. (2024·东莞期中)如图,AD∥BE,BD∥CE.
(1)试说明=;
(2)若OA=4,AC=12,求OB的长.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(抽象能力、推理能力)阅读与计算:请阅读以下材料,并完成相应的问题.
角平分线分线段成比例定理:如图①,在△ABC中,AD平分∠BAC,则=.
下面是这个定理的部分证明过程.
证明:如图②,过点C作CE∥DA,交BA的延长线于点E…
任务:(1)请按照上面的证明思路,写出该证明过程的剩余部分;
(2)如图③,在△ABC中,AD是角平分线,AB=5 cm,AC=4 cm,BC=7 cm.求BD的长.
