相似三角形的判定(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 相似三角形的判定定理1的应用
1.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,E是AD上一点,且BE=BD.求证:△ABE∽
△ACD.
【证明】∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD.
∵BE=BD,∴∠BED=∠BDE,
∴∠AEB=∠ADC,∴△ABE∽△ACD.
2.(2024·烟台期中)如图,在平行四边形ABCD中,E为AB边上一点,连结CE,F为CE上一点,且∠DFE=∠A.求证:△DCF∽△CEB.
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,DC∥AB,
∴∠A+∠B=180°,∠DCF=∠BEC.
∵∠DFC+∠DFE=180°,∠DFE=∠A,
∴∠DFC=∠B,
∴△DCF∽△CEB.
3.(2024·北京期中)如图,∠MAN=30°,点B,C分别在AM,AN上,且∠ABC=40°.
(1)尺规作图:作∠CBM的平分线BD,BD与AN相交于点D;(保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)所作的图中,求证:△ABC∽△ADB.
【解析】(1)如图所示,线段BD即为所求;
(2)∵∠ABC=40°,
∴∠MBC=140°,
∵BD平分∠MBC,
∴∠MBD=×∠MBC=70°,
∵∠MBD是△ADB的一个外角,
∴∠ADB=∠MBD-∠A=70°-30°=40°,
∴∠ABC=∠ADB.
∵∠A=∠A,
∴△ABC∽△ADB.
知识点2 相似三角形的判定与性质的综合应用
4.如图所示,在边长为1的小正方形组成的网格中,A,B,C,E,F五个点均在格点上,AB∥DE,AC∥DF,则的值为(C)
A. B. C. D.
5.(2024·温州期中)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,E是CB上一点,ED⊥AB于点D,若BC=10,AC=6,DE=4,则图中阴影部分的面积为 .
6. (2024·上海期中)如图,D在△ABC的边BC上,若∠DAC=∠B,且BD=5,AC=6,则CD= 4 .
7.(2023·邵阳中考)如图,CA⊥AD,ED⊥AD,点B是线段AD上的一点,且CB⊥BE.已知AB=8,AC=6,DE=4.
(1)证明:△ABC∽△DEB.
(2)求线段BD的长.
【解析】(1)∵CA⊥AD,ED⊥AD,CB⊥BE,
∴∠A=∠CBE=∠D=90°,
∴∠C+∠CBA=90°,∠CBA+∠DBE=90°,
∴∠C=∠DBE,∴△ABC∽△DEB.
(2)∵△ABC∽△DEB,∴=,
∴=,∴BD=3.
【B层 能力进阶】
8.(2024·大连期中)如图所示,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,下列四个结论中:
①∠B+∠DAC=90°;
②∠B=∠DAC;
③CD∶AD=AC∶AB;
④AB2=BD·BC.
其中正确的有 ②③④ .
9. (2024·福州期中)如图,△ABC为等边三角形,点D,E分别在边BC,AB上,
∠ADE=60°,如果BD=4DC,DE=4,那么AD= 5 .
10.如图,在菱形ABCD中,E为BC边上一点,∠AED=∠B.
(1)求证:△ABE∽△DEA;
(2)若AE=4,DE=6,求菱形ABCD的边长.
【解析】(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴AD∥BC,∴∠DAE=∠AEB,
又∵∠B=∠AED,∴△ABE∽△DEA;
(2)∵△ABE∽△DEA,
∴=,
∴AE·DE=AB·DA.
∵四边形ABCD是菱形,AB=AD,
∴AB2=AE·DE=24,
∴AB=2或-2(舍去).
∴菱形ABCD的边长为2.
11.(2024·广州期末)如图,AB⊥BC,DC⊥BC,E是BC上一点,使得AE⊥DE;
(1)求证:△ABE∽△ECD;
(2)若AB=4,AE=BC=5,求CD的长;
(3)当△AED∽△ECD时,请写出线段AD,AB,CD之间的数量关系,并说明理由.
【解析】(1)∵AB⊥BC,DC⊥BC,
∴∠B=∠C=90°,∠BAE+∠AEB=90°,
∵AE⊥DE,∴∠AED=90°,
∴∠AEB+∠DEC=90°,∴∠DEC=∠BAE,
∴△ABE∽△ECD;
(2)Rt△ABE中,∵AB=4,AE=5,
∴BE=3,∵BC=5,∴EC=5-3=2,
由(1)得:△ABE∽△ECD,∴=,
∴=,∴CD=;
(3)线段AD,AB,CD之间的数量关系:AD=AB+CD;
理由:过E作EF⊥AD于F(图略),
∵△AED∽△ECD,∴∠EAD=∠DEC,
∵∠AED=∠C,∴∠ADE=∠EDC,
∵DC⊥BC,∴EF=EC,∵DE=DE,
∴Rt△DFE≌Rt△DCE(H.L.),
∴DF=DC,同理可得:△ABE≌△AFE,
∴AF=AB,∴AD=AF+DF=AB+CD.
【C层 创新挑战(选做)】
12.(几何直观、推理能力、运算能力)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是高,BE平分∠ABC.BE分别与AC,CD相交于点E,F.
(1)求证:△AEB∽△CFB;
(2)求证:=;
(3)若CE=5,EF=2,BD=6.求AD的长.
【解析】(1)∵∠ACB=90°,
∴∠ACD+∠BCD=90°,
∵CD为AB边上的高,
∴∠ADC=90°,
∴∠A+∠ACD=90°,
∴∠A=∠BCD,
∵BE是∠ABC的平分线,
∴∠ABE=∠CBE,
∴△AEB∽△CFB.
(2)∵∠ABE=∠CBE,∠A=∠BCD,
∴∠CFE=∠BCD+∠CBE=∠A+∠ABE,
∵∠CEF=∠A+∠ABE,
∴∠CEF=∠CFE,
∴CE=CF,
∵由(1)知,△AEB∽△CFB,
∴=,
∴=.
(3)如图,作CH⊥EF于H.
∵CE=CF,CH⊥EF,
∴EH=FH=,
∴CH===2,
由题意得△BFD∽△CFH,
∴=,
∴=,
∴DF=3,CD=CF+DF=8,
由题意得△ACD∽△CBD,
∴=,
∴=,
∴AD=. 相似三角形的判定(第3课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 相似三角形的判定定理3的应用
1.如图,在下列四个三角形中,与△ABC相似的是(A)
2.如图,在四边形ABCD和四边形A'B'C'D'中,∠A=∠A',===,证明:△BCD∽△B'C'D'.
【证明】∵∠A=∠A',=,
∴△ABD∽△A'B'D',
∴=,
∵===,
∴==,
∴△BCD∽△B'C'D'.
知识点2 相似三角形的判定方法的灵活运用
3.(2024·无锡期中)△ABC和△A'B'C'符合下列条件,其中使△ABC和△A'B'C'不相似的是(D)
A.∠A=∠A'=45°,∠B=26°,∠B'=109°
B.AB=1,AC=1.5,BC=2,A'B'=4,A'C'=2,B'C'=3
C.∠A=∠B',AB=2,AC=2.4,A'B'=3.6,B'C'=3
D.AB=3,AC=5,BC=7,A'B'=,A'C'=,B'C'=
4.(2024·青岛期中)如图,在△ABC中,点D在线段BC上,请添加一个条件使△BCD∽△BAC,则下列条件中不正确的是(A)
A.AC2=AD·AB
B.BC2=BD·BA
C.∠A=∠BCD
D.∠ADC+∠BCA=180°
5.(2024·天津期中)如图,在△ABC中,点D是边AB的中点,AB=AC,BC=4,则CD= 2 .
6.(2024·福州期中)已知,点D,E分别在△ABC的AB,AC边上,且DE∥BC,CD与BE相交于点F.如果=,那么的值是 .
7.(2024·济南期中)如图,点B,D,E在一条直线上,BE与AC相交于点F,==.
(1)求证:∠BAD=∠CAE;
(2)若∠BAD=21°,求∠EBC的度数;
(3)若连结EC,求证:△ABD∽△ACE.
【解析】(1)∵==,
∴△ABC∽△ADE;
∴∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC-∠DAF=∠DAE-∠DAF,
即∠BAD=∠CAE;
(2)∵△ABC∽△ADE,
∴∠ABC=∠ADE,
∵∠ABC=∠ABE+∠EBC,∠ADE=∠ABE+∠BAD,
∴∠EBC=∠BAD=21°;
(3)如图,连结CE,
由(1)知∠BAD=∠CAE,
∵=,
∴△ABD∽△ACE.
【B层 能力进阶】
8.在△ABC和△A1B1C1中,有下列条件:①=,②=,③∠A=∠A1,④∠B=∠B1,⑤∠C=∠C1,如果从中任取两个条件组成一组,那么能判断△ABC∽△A1B1C1的有(C)
A.4组 B.5组 C.6组 D.7组
9. (2024·上海期中)如图,△ABC是等边三角形,在△ABC中,点D在AB边上,以CD为边作等边△CDE,DE与BC交于点F,如果=,AC=6,那么BF= .
10.(2024·杭州期中)已知,在菱形ABCD中,CE⊥AB,垂足为点E,CE与BD相交于点F.
(1)求证:=;
(2)求证:DF·DB=2BC2.
【证明】(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴DC∥AB,DC=AB,∴DC∥BE,
∴△DCF∽△BEF,
∴=,
∴=;
(2)如图,连结AC交BD于点H,则AC⊥BD,
∴∠DHC=90°,
∵CE⊥AB,垂足为点E,
∴∠DCF=∠BEC=90°,
∴∠DHC=∠DCF,
∵∠HDC=∠CDF,
∴△HDC∽△CDF,
∴=,
∴DF·DH=DC2,
∵DH=BH=DB,DC=BC,
∴DF·DB=BC2,
∴DF·DB=2BC2.
【C层 创新挑战(选做)】
11.(几何直观、推理能力、运算能力)【问题提出】
在判定两个三角形全等时,除根据一般三角形全等判定定理外,还有“H.L.”方法.类似地,我们对直角三角形相似的条件进行探索.
(1)【提出猜想】
除根据一般三角形相似判定的条件外,请你提出类似于“H.L.”的判定直角三角形相似的方法,并用文字描述为: ________________ .
(2)【初步思考】
其中,我们不妨将问题用符号语言表示为:如图1,在Rt△ABC和Rt△DEF中,∠C=∠F=90°,若_______,则△ABC∽△DEF,请给予证明.
(3)【深入研究】
若图2中的∠C=∠F>90°,其他条件不变,两个三角形是否相似 试利用以上探究的结论解决问题,若相似请证明;若不相似,请画出反例.
【解析】(1)斜边和一条直角边对应成比例的两直角三角形相似.
答案:斜边和一条直角边对应成比例的两直角三角形相似
(2)在Rt△ABC和Rt△DEF中,∠C=∠F=90°,若 =,则△ABC∽△DEF.
证明:如图1在BA上取一点A'使BA'=DE,过点A'作A'C'∥AC交BC于C',
∴∠A'C'B=∠C=90°=∠F,△A'C'B∽△ACB,
∴=,
∵=,
∴=,
∵BA'=DE,
∴A'C'=DF,
在Rt△A'C'B和Rt△DFE中,
∴Rt△A'C'B≌Rt△DFE(H.L.),
∵△A'C'B∽△ACB,
∴△DFE∽△ACB.
答案:=(答案不唯一)
(3)相似,如图2,
过点A作AG⊥BC交BC的延长线于G,
过点D作DH⊥EF交EF的延长线于H,
∴∠G=∠H=90°,
∵∠ACB=∠DFE,
∴∠ACG=∠DFH,
∴△AGC∽△DHF,
∴∠CAG=∠FDH,
用(2)的结论得,△ABG∽△DEH,
∴∠B=∠E,∠BAG=∠EDH,
∴∠BAC=∠EDF,
∵∠B=∠E,
∴△ABC∽△DEF. 相似三角形的判定(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 相似三角形的判定定理2的应用
1.(2024·上海期中)四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,下列条件中,不一定能推得△AOB与△COD相似的是( )
A.∠DAC=∠DBC B.∠BAC=∠ACD
C.= D.=
2.(2024·威海期末)如图,下列条件能使△BPE和△CPD相似的有( )
①∠B=∠C;②=;③∠ADB=∠AEC;④=;⑤=.
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
3.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)如图,AD∥BC,∠D=90°,AD=2,BC=6,DC=8,若在边DC上有点P,使△PAD与△PBC相似,则这样的点P有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.如图,E是△ABC的边BC上的点,已知∠BAE=∠CAD,=,AB=18,AE=15.求证:△ABC∽△AED.
5.(2024·扬州期中)已知:如图AD·AB=AF·AC,求证:△DEB∽△FEC.
知识点2 相似三角形的判定与性质的综合应用
6.(2024·衡阳期末)如图,在四边形ABCD中,已知∠B=∠DAC,那么补充下列条件后不能判定△ADC和△BAC相似的是( )
A.CA平分∠BCD B.∠BAC=∠D
C.= D.=
7.(易错警示题·概念不清)如图,AB,CD交于点O,且OC=45,OD=30,OB=36,当OA= 时,△AOC与△BOD相似.
8. (2024·常州期末)如图,在△ABC中,点D,E分别在AB,AC上,且∠BCE+
∠BDE=180°.
(1)求证:△ADE∽△ACB;
(2)连结BE,CD,求证:△AEB∽△ADC.
【B层 能力进阶】
9.如图,在正三角形ABC中,D,E分别在AC,AB上,且=,AE=BE,则有( )
A.△AED∽△BED B.△AED∽△CBD
C.△AED∽△ABD D.△BAD∽△BCD
10.(2024·无锡期末)如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=12 mm,BC=24 mm,动点P从点A开始沿边AB向点B以2 mm/s的速度移动,动点Q从点B开始沿边BC向点C以4 mm/s的速度移动.如果P,Q两点分别从A,B两点同时出发,设移动时间为ts,那么当△BPQ与△ABC相似时,t的值为 s.
11.(2024·成都期中)如图,点D是△ABC外一点,∠DAE=∠BAC,∠AEC+
∠ACB=180°.求证:△DAB∽△EAC.
12.(2024·上海期中)如图,在△ABC中,点P,D分别在边BC,AC上,PA⊥AB,垂足为点A,DP⊥BC,垂足为点P,=.
(1)求证:∠APD=∠C;
(2)如果AB=4,DC=3,求AP的长.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(几何直观、推理能力、运算能力)(2024·天津期末)在△ABC中,AB=AC,
∠BAC=90°,P为BC上的动点,小慧拿含45°角的三角板,使45°角的顶点落在点P,三角板可绕P点旋转.
(1)如图a,当三角板的两边分别交AB,AC于点E,F时.求证:△BPE∽△CFP;
(2)将三角板绕点P旋转到图b情形时,三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E,F.△BPE与△CFP还相似吗 (只需写出结论)
(3)在(2)的条件下,连结EF,△BPE与△PFE是否相似 若不相似,则动点P运动到什么位置时,△BPE与△PFE相似 说明理由. 相似三角形的判定(第3课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 相似三角形的判定定理3的应用
1.如图,在下列四个三角形中,与△ABC相似的是( )
2.如图,在四边形ABCD和四边形A'B'C'D'中,∠A=∠A',===,证明:△BCD∽△B'C'D'.
知识点2 相似三角形的判定方法的灵活运用
3.(2024·无锡期中)△ABC和△A'B'C'符合下列条件,其中使△ABC和△A'B'C'不相似的是( )
A.∠A=∠A'=45°,∠B=26°,∠B'=109°
B.AB=1,AC=1.5,BC=2,A'B'=4,A'C'=2,B'C'=3
C.∠A=∠B',AB=2,AC=2.4,A'B'=3.6,B'C'=3
D.AB=3,AC=5,BC=7,A'B'=,A'C'=,B'C'=
4.(2024·青岛期中)如图,在△ABC中,点D在线段BC上,请添加一个条件使△BCD∽△BAC,则下列条件中不正确的是( )
A.AC2=AD·AB
B.BC2=BD·BA
C.∠A=∠BCD
D.∠ADC+∠BCA=180°
5.(2024·天津期中)如图,在△ABC中,点D是边AB的中点,AB=AC,BC=4,则CD= .
6.(2024·福州期中)已知,点D,E分别在△ABC的AB,AC边上,且DE∥BC,CD与BE相交于点F.如果=,那么的值是 .
7.(2024·济南期中)如图,点B,D,E在一条直线上,BE与AC相交于点F,==.
(1)求证:∠BAD=∠CAE;
(2)若∠BAD=21°,求∠EBC的度数;
(3)若连结EC,求证:△ABD∽△ACE.
【B层 能力进阶】
8.在△ABC和△A1B1C1中,有下列条件:①=,②=,③∠A=∠A1,④∠B=∠B1,⑤∠C=∠C1,如果从中任取两个条件组成一组,那么能判断△ABC∽△A1B1C1的有( )
A.4组 B.5组 C.6组 D.7组
9. (2024·上海期中)如图,△ABC是等边三角形,在△ABC中,点D在AB边上,以CD为边作等边△CDE,DE与BC交于点F,如果=,AC=6,那么BF= .
10.(2024·杭州期中)已知,在菱形ABCD中,CE⊥AB,垂足为点E,CE与BD相交于点F.
(1)求证:=;
(2)求证:DF·DB=2BC2.
【C层 创新挑战(选做)】
11.(几何直观、推理能力、运算能力)【问题提出】
在判定两个三角形全等时,除根据一般三角形全等判定定理外,还有“H.L.”方法.类似地,我们对直角三角形相似的条件进行探索.
(1)【提出猜想】
除根据一般三角形相似判定的条件外,请你提出类似于“H.L.”的判定直角三角形相似的方法,并用文字描述为: ________________ .
(2)【初步思考】
其中,我们不妨将问题用符号语言表示为:如图1,在Rt△ABC和Rt△DEF中,∠C=∠F=90°,若_______,则△ABC∽△DEF,请给予证明.
(3)【深入研究】
若图2中的∠C=∠F>90°,其他条件不变,两个三角形是否相似 试利用以上探究的结论解决问题,若相似请证明;若不相似,请画出反例. 相似三角形的判定(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 相似三角形的判定定理1的应用
1.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,E是AD上一点,且BE=BD.求证:△ABE∽
△ACD.
2.(2024·烟台期中)如图,在平行四边形ABCD中,E为AB边上一点,连结CE,F为CE上一点,且∠DFE=∠A.求证:△DCF∽△CEB.
3.(2024·北京期中)如图,∠MAN=30°,点B,C分别在AM,AN上,且∠ABC=40°.
(1)尺规作图:作∠CBM的平分线BD,BD与AN相交于点D;(保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)所作的图中,求证:△ABC∽△ADB.
知识点2 相似三角形的判定与性质的综合应用
4.如图所示,在边长为1的小正方形组成的网格中,A,B,C,E,F五个点均在格点上,AB∥DE,AC∥DF,则的值为( )
A. B. C. D.
5.(2024·温州期中)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,E是CB上一点,ED⊥AB于点D,若BC=10,AC=6,DE=4,则图中阴影部分的面积为 .
6. (2024·上海期中)如图,D在△ABC的边BC上,若∠DAC=∠B,且BD=5,AC=6,则CD= .
7.(2023·邵阳中考)如图,CA⊥AD,ED⊥AD,点B是线段AD上的一点,且CB⊥BE.已知AB=8,AC=6,DE=4.
(1)证明:△ABC∽△DEB.
(2)求线段BD的长.
【B层 能力进阶】
8.(2024·大连期中)如图所示,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,下列四个结论中:
①∠B+∠DAC=90°;
②∠B=∠DAC;
③CD∶AD=AC∶AB;
④AB2=BD·BC.
其中正确的有 .
9. (2024·福州期中)如图,△ABC为等边三角形,点D,E分别在边BC,AB上,
∠ADE=60°,如果BD=4DC,DE=4,那么AD= .
10.如图,在菱形ABCD中,E为BC边上一点,∠AED=∠B.
(1)求证:△ABE∽△DEA;
(2)若AE=4,DE=6,求菱形ABCD的边长.
11.(2024·广州期末)如图,AB⊥BC,DC⊥BC,E是BC上一点,使得AE⊥DE;
(1)求证:△ABE∽△ECD;
(2)若AB=4,AE=BC=5,求CD的长;
(3)当△AED∽△ECD时,请写出线段AD,AB,CD之间的数量关系,并说明理由.
【C层 创新挑战(选做)】
12.(几何直观、推理能力、运算能力)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是高,BE平分∠ABC.BE分别与AC,CD相交于点E,F.
(1)求证:△AEB∽△CFB;
(2)求证:=;
(3)若CE=5,EF=2,BD=6.求AD的长. 相似三角形的判定(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 相似三角形的判定定理2的应用
1.(2024·上海期中)四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,下列条件中,不一定能推得△AOB与△COD相似的是(D)
A.∠DAC=∠DBC B.∠BAC=∠ACD
C.= D.=
2.(2024·威海期末)如图,下列条件能使△BPE和△CPD相似的有(C)
①∠B=∠C;②=;③∠ADB=∠AEC;④=;⑤=.
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
3.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)如图,AD∥BC,∠D=90°,AD=2,BC=6,DC=8,若在边DC上有点P,使△PAD与△PBC相似,则这样的点P有(B)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.如图,E是△ABC的边BC上的点,已知∠BAE=∠CAD,=,AB=18,AE=15.求证:△ABC∽△AED.
【证明】∵=,AB=18,AE=15,
∴==,∵∠BAE=∠CAD,
∴∠BAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC,
即∠BAC=∠EAD,∴△ABC∽△AED.
5.(2024·扬州期中)已知:如图AD·AB=AF·AC,求证:△DEB∽△FEC.
【证明】∵AD·AB=AF·AC,∴=,
又∵∠A=∠A,∴△ACD∽△ABF,∴∠C=∠B,又∵∠DEB=∠FEC,∴△DEB∽△FEC.
知识点2 相似三角形的判定与性质的综合应用
6.(2024·衡阳期末)如图,在四边形ABCD中,已知∠B=∠DAC,那么补充下列条件后不能判定△ADC和△BAC相似的是(C)
A.CA平分∠BCD B.∠BAC=∠D
C.= D.=
7.(易错警示题·概念不清)如图,AB,CD交于点O,且OC=45,OD=30,OB=36,当OA= 54或 时,△AOC与△BOD相似.
8. (2024·常州期末)如图,在△ABC中,点D,E分别在AB,AC上,且∠BCE+
∠BDE=180°.
(1)求证:△ADE∽△ACB;
(2)连结BE,CD,求证:△AEB∽△ADC.
【证明】(1)∵∠BCE+∠BDE=180°,∠ADE+∠BDE=180°,
∴∠ADE=∠BCE,
∵∠DAE=∠CAB,
∴△ADE∽△ACB;
(2)∵△ADE∽△ACB,
∴AD∶AE=AC∶AB,
又∵∠EAB=∠DAC,
∴△AEB∽△ADC.
【B层 能力进阶】
9.如图,在正三角形ABC中,D,E分别在AC,AB上,且=,AE=BE,则有(B)
A.△AED∽△BED B.△AED∽△CBD
C.△AED∽△ABD D.△BAD∽△BCD
10.(2024·无锡期末)如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=12 mm,BC=24 mm,动点P从点A开始沿边AB向点B以2 mm/s的速度移动,动点Q从点B开始沿边BC向点C以4 mm/s的速度移动.如果P,Q两点分别从A,B两点同时出发,设移动时间为ts,那么当△BPQ与△ABC相似时,t的值为 3或 s.
11.(2024·成都期中)如图,点D是△ABC外一点,∠DAE=∠BAC,∠AEC+
∠ACB=180°.求证:△DAB∽△EAC.
【证明】∵∠AEC+∠ACB=180°,∠AEC+∠AED=180°,∴∠AED=∠ACB,
∵∠DAE=∠BAC,∴△ADE∽△ABC,
∴=,∴=,
∵∠DAE=∠BAC,
即∠DAB+∠BAE=∠BAE+∠EAC,
∴∠DAB=∠EAC,
且=,
∴△DAB∽△EAC.
12.(2024·上海期中)如图,在△ABC中,点P,D分别在边BC,AC上,PA⊥AB,垂足为点A,DP⊥BC,垂足为点P,=.
(1)求证:∠APD=∠C;
(2)如果AB=4,DC=3,求AP的长.
【解析】(1)∵PA⊥AB,DP⊥BC,
∴∠BAP=∠DPC=90°,
∵=,
∴Rt△ABP∽Rt△PCD,
∴∠B=∠C,∠APB=∠CDP,
∵∠DPB=∠C+∠CDP=∠APB+∠APD,
∴∠APD=∠C;
(2)∵∠B=∠C,
∴AB=AC=4,
∵CD=3,
∴AD=1,
∵∠APD=∠C,∠CAP=∠PAD,
∴△APC∽△ADP,
∴=,
∴AP2=AD·AC=1×4=4,
∴AP=2.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(几何直观、推理能力、运算能力)(2024·天津期末)在△ABC中,AB=AC,
∠BAC=90°,P为BC上的动点,小慧拿含45°角的三角板,使45°角的顶点落在点P,三角板可绕P点旋转.
(1)如图a,当三角板的两边分别交AB,AC于点E,F时.求证:△BPE∽△CFP;
(2)将三角板绕点P旋转到图b情形时,三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E,F.△BPE与△CFP还相似吗 (只需写出结论)
(3)在(2)的条件下,连结EF,△BPE与△PFE是否相似 若不相似,则动点P运动到什么位置时,△BPE与△PFE相似 说明理由.
【解析】(1)∵在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠B=∠C=45°.
∵∠B+∠BPE+∠BEP=180°,
∴∠BPE+∠BEP=135°,
∵∠EPF=45°,∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°,
∴∠BPE+∠CPF=135°,
∴∠BEP=∠CPF,
又∵∠B=∠C,
∴△BPE∽△CFP(两角分别相等的两个三角形相似).
(2)△BPE∽△CFP;
理由:∵在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠B=∠C=45°.
∵∠EPC=∠EPF+∠FPC,∠EPC=∠BEP+∠B,∠B=∠EPF=45°,
∴∠BEP=∠FPC且∠B=∠C=45°,
∴△BPE∽△CFP(两角分别相等的两个三角形相似).
(3)动点P运动到BC的中点位置时,△BPE与△PFE相似,
理由如下:同(1),可证△BPE∽△CFP,
得CP∶BE=PF∶PE,
而CP=BP,
因此PB∶BE=PF∶PE.
又因为∠EBP=∠EPF,
所以△BPE∽△PFE(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似).
