相似三角形的性质
【A层 基础夯实】
知识点1 相似三角形对应线段及周长的比
1.两个相似三角形一组对应中线的长分别是2 cm和5 cm,其中较小三角形的周长是10 cm,则较大三角形的周长为( )
A.15 cm B.18 cm C.20 cm D.25 cm
2.已知△ABC∽△DEF,其对应中线的比为1∶3,若△ABC的周长为3,则△DEF的周长为( )
A.1 B.3 C.9 D.27
3. (2024·梅州期中)如图,在△ABC中,DE∥BC,=,若△ADE的周长为6,则△ABC的周长为( )
A.12 B.18 C.24 D.26
4.(2024·上海期中)如果两个相似三角形的周长之比为2∶3,那么它们的某一对对应角的平分线之比为 .
5.(2024·无锡期中)如果△ABC与△DEF相似,△ABC的三边之比为3∶4∶6,△DEF的最长边是10 cm,那么△DEF的最短边是 cm.
6.如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,EF∥BC,分别交AB,AC,AD于点E,F,G,=,AD=15,求AG的长.
知识点2 相似三角形面积的比
7.(2024·济南期中)如图,△ABC∽△ADE,
S△ABC∶S四边形BDEC=1∶2,其中BC=,则DE的长为( )
A. B.2 C.3 D.6
8.(2024·深圳期中)如图,已知△ABC∽△DBE,DB=8,AB=6,则S△ABC∶S△DBE= .
9.如图,△ABC∽△ADE,且BC=2DE,则的值为 .
10.(2024·西安期中)如图,在△ABC和△ADE中,已知∠B=∠D,∠BAD=∠CAE.
(1)求证:△ABC∽△ADE;
(2)若S△ABC∶S△ADE=4∶9,BC=6,求DE的长.
【B层 能力进阶】
11.(2024·泉州期中)如图,四边形ABCD中,AD∥BC,对角线AC,BD相交于O,若=,则的值为( )
A. B. C. D.
12.(2024·常州期中)如图,在△ABC中,点D是AC上一点,且∠ABD=∠C,若AD=2,AB=3,则△ABD与△BCD的面积比为( )
A.4∶5 B.4∶9 C.2∶3 D.2∶1
13.(2024·镇江期中)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=6,点D是AC边的中点,过点D作一条射线与△ABC的一边交于点E,若射线DE截△ABC所得的小三角形与原△ABC相似,求线段DE的所有可能的长度.
14.如图,△ABC是一张锐角三角形的硬纸片,AD是边BC上的高,BC=40 cm,AD=
30 cm.从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH,使它的一边EF在BC上,顶点G,H分别在AC,AB上,AD与HG的交点为M.
(1)求证:=;
(2)求这个矩形EFGH的宽HE的长.
【C层 创新挑战(选做)】
15.(模型观念、推理能力、运算能力)阅读理解:
从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.
(1)如图,在△ABC中,CD为角平分线,∠A=40°,∠B=60°,求证:CD为△ABC的完美分割线.
(2)在△ABC中,∠A=48°,CD为△ABC的完美分割线,且△ACD为等腰三角形,求
∠ACB的度数. 相似三角形的性质
【A层 基础夯实】
知识点1 相似三角形对应线段及周长的比
1.两个相似三角形一组对应中线的长分别是2 cm和5 cm,其中较小三角形的周长是10 cm,则较大三角形的周长为(D)
A.15 cm B.18 cm C.20 cm D.25 cm
2.已知△ABC∽△DEF,其对应中线的比为1∶3,若△ABC的周长为3,则△DEF的周长为(C)
A.1 B.3 C.9 D.27
3. (2024·梅州期中)如图,在△ABC中,DE∥BC,=,若△ADE的周长为6,则△ABC的周长为(B)
A.12 B.18 C.24 D.26
4.(2024·上海期中)如果两个相似三角形的周长之比为2∶3,那么它们的某一对对应角的平分线之比为 2∶3 .
5.(2024·无锡期中)如果△ABC与△DEF相似,△ABC的三边之比为3∶4∶6,△DEF的最长边是10 cm,那么△DEF的最短边是 5 cm.
6.如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,EF∥BC,分别交AB,AC,AD于点E,F,G,=,AD=15,求AG的长.
【解析】∵EF∥BC,∴△AEF∽△ABC,
∵AD⊥BC,∴AD⊥EF,
∴=,∵=,AD=15,
∴=,∴AG=9.
知识点2 相似三角形面积的比
7.(2024·济南期中)如图,△ABC∽△ADE,
S△ABC∶S四边形BDEC=1∶2,其中BC=,则DE的长为(A)
A. B.2 C.3 D.6
8.(2024·深圳期中)如图,已知△ABC∽△DBE,DB=8,AB=6,则S△ABC∶S△DBE= 9∶16 .
9.如图,△ABC∽△ADE,且BC=2DE,则的值为 .
10.(2024·西安期中)如图,在△ABC和△ADE中,已知∠B=∠D,∠BAD=∠CAE.
(1)求证:△ABC∽△ADE;
(2)若S△ABC∶S△ADE=4∶9,BC=6,求DE的长.
【解析】(1)∵在△ABC和△ADE中,已知∠B=∠D,∠BAD=∠CAE.
∴∠BAD+∠BAE=∠CAE+∠BAE,
∴∠DAE=∠BAC.
∴△ABC∽△ADE;
(2)∵△ABC∽△ADE,
又∵S△ABC∶S△ADE=4∶9,
∴BC∶DE=2∶3,
∵BC=6,
∴DE=9.
【B层 能力进阶】
11.(2024·泉州期中)如图,四边形ABCD中,AD∥BC,对角线AC,BD相交于O,若=,则的值为(B)
A. B. C. D.
12.(2024·常州期中)如图,在△ABC中,点D是AC上一点,且∠ABD=∠C,若AD=2,AB=3,则△ABD与△BCD的面积比为(A)
A.4∶5 B.4∶9 C.2∶3 D.2∶1
13.(2024·镇江期中)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=6,点D是AC边的中点,过点D作一条射线与△ABC的一边交于点E,若射线DE截△ABC所得的小三角形与原△ABC相似,求线段DE的所有可能的长度.
【解析】在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=6,∴BC===8,
当DE1⊥AB时,△ADE1∽△ABC,
∴=,∴=,∴DE1=.
当DE2∥CB时,△ADE2∽△ACB,此时DE2=BC=4;
当DE3∥AB时,△CDE3∽△CAB,此时DE3=AB=5;
当∠CDE4=∠B时,△CDE4∽△CBA,
∴=,∴=,∴DE4=.
综上所述,满足条件的DE的值为或4或5或.
14.如图,△ABC是一张锐角三角形的硬纸片,AD是边BC上的高,BC=40 cm,AD=
30 cm.从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH,使它的一边EF在BC上,顶点G,H分别在AC,AB上,AD与HG的交点为M.
(1)求证:=;
(2)求这个矩形EFGH的宽HE的长.
【解析】(1)∵四边形EFGH为矩形,
∴EF∥GH,
∴∠AHG=∠ABC,
又∵∠HAG=∠BAC,
∴△AHG∽△ABC,
∴=;
(2)设HE=x cm,则MD=HE=x cm,
∵AD=30 cm,
∴AM=(30-x)cm,
∵HG=2HE,
∴HG=2x cm,
由(1)=可得=,
解得x=12,
∴宽HE的长为12 cm.
【C层 创新挑战(选做)】
15.(模型观念、推理能力、运算能力)阅读理解:
从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.
(1)如图,在△ABC中,CD为角平分线,∠A=40°,∠B=60°,求证:CD为△ABC的完美分割线.
(2)在△ABC中,∠A=48°,CD为△ABC的完美分割线,且△ACD为等腰三角形,求
∠ACB的度数.
【解析】(1)∵∠A=40°,∠B=60°,
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=80°,
∵∠A≠∠B≠∠ACB,
∴△ABC不是等腰三角形.
∵CD平分∠ACB,
∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=40°,
∴∠ACD=∠A=40°,
∴△ACD为等腰三角形.
∴∠DCB=∠A=40°,
∵∠CBD=∠ABC,
∴△BCD∽△BAC,
∴CD是△ABC的完美分割线.
(2)①如图1所示,
当AD=CD时,∠ACD=∠A=48°,
根据完美分割线的定义,可得△BDC∽△BCA,
∴∠BCD=∠A=48°,则∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°.
②如图2所示,
当AD=AC时,∠ACD=∠ADC==66°,
根据完美分割线的定义,可得△BDC∽△BCA,
∴∠BCD=∠A=48°,
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°.
③如图3所示,
当AC=CD时,∠ADC=∠A=48°.
根据完美分割线的定义,可得△BDC∽△BCA,
∴∠BCD=∠A=48°,
∴这与∠ADC>∠BCD矛盾,
所以图3的情况不存在.
综上所述,∠ACB的度数为96°或114°.
