相似三角形的应用
【A层 基础夯实】
知识点1 利用相似三角形测量物体的高度
1.(2024·天津期末)操场上有一根竖直的旗杆AB,它的一部分影子(BC)落在水平地面上,另一部分影子(CD)落在操场的墙壁上,经测量,墙壁上的影高为1.2 m,地面上的影长为2.6 m,同时测得一根高为2 m的竹竿OM的影长是ON=1.6 m,根据以上信息,旗杆的高度是( )
A.3.25 m B.4.25 m C.4.45 m D.4.75 m
2.(2024·济南期中)如图1是用杠杆撬石头的示意图,当用力压杠杆时,杠杆绕着支点转动,另一端会向上撬起,石头就被撬动了.在图2中,杠杆的D端被向上撬起的距离BD=8 cm,动力臂OA与阻力臂OB满足OA=3OB(AB与CD相交于点O),要把这块石头撬起,至少要将杠杆的C点向下压 cm.
3.(与物理结合)(2024·杭州期中)凸透镜成像的原理如图所示,AD∥l∥BC.在凸透镜左侧,若物体到焦点F1的距离与焦点F1到凸透镜中心线DB的距离之比为5∶4,则物体AH的高与缩小的实像CG的高之比为 .
4.(2024·西安期中)为了测量学校旗杆上旗帜的宽度MN,如图,点P,G,C,A在同一水平直线上,MG⊥PA,小红在C处竖立一根标杆BC(BC⊥PA),地面上的点A、标杆顶端B和点N在一条直线上(N在MG上),BC=1.5米,AC=1米,AG=8米;小明手持自制直角三角纸板DEF(DF⊥EF),其中EF=0.1米,DF=0.2米,使长直角边DF与水平地面平行,调整位置,恰好站在P点时点D,E,M在一条直线上,DP⊥PA,DP=1.5米,PG=23.6米,请你根据上述信息求出旗帜的宽度MN.
知识点2 利用相似三角形测量物体的宽度
5.如图所示为某种型号的台灯的横截面图,已知台灯灯柱AB的长为30 cm,且与水平桌面垂直,灯臂AC的长为10 cm,灯头的横截面△CEF为直角三角形,当灯臂AC与灯柱AB垂直时,沿CE边射出的光线刚好射到底座B点.若不考虑其他因素,则该台灯在桌面可照亮的宽度BD的长为( )
A.90 cm B.100 cm
C.50 cm D.30 cm
6. (2024·舟山期中)如图,为了测量河宽,小明先站在河岸的点A处,在他的正对岸有一棵树B,接着小明沿着河岸走了40步,到达树C处,继续朝前走了20步到达点D处,然后小明又沿垂直河岸的方向走了16步到达树E处,此时发现树B,C,E在同一条直线上,则河宽AB大约为 米(小明步长约为0.5米).
7.如图,M,N为山两侧的两个村庄,为了两村交通方便,政府决定打一直线涵洞.工程人员为了计算工程量,必须计算M,N两点之间的直线距离,选择测量点A,B,C,点B,C分别在AM,AN上,现测得AM=1千米,AN=1.8千米,AB=54米,BC=45米,AC=30米,求M,N两点之间的直线距离.
【B层 能力进阶】
8.一种燕尾夹如图1所示,图2是在闭合状态下的示意图,图3是在打开状态下的示意图(数据如图,单位:mm),从图2闭合状态到图3打开状态,点B,D之间的距离减少了( )
A.25 mm B.20 mm C.15 mm D.8 mm
9.如图,图1是装满了液体的高脚杯(数据如图),用去部分液体后,放在水平的桌面上如图2所示,此时液面距离杯口的距离h=( )
A. cm B.2 cm C. cm D.3 cm
10. (2024·徐州期中)如图,在某小区内拐角处的一段道路上,有一儿童在C处玩耍,一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来(CM⊥DM,BD⊥DM,BC与DM相交于点O),已知OM=4米,CO=5米,DO=3米,AO=米,则汽车从A处前行的距离AB= 米时,才能发现C处的儿童.
【C层 创新挑战(选做)】
11.(模型观念、推理能力、运算能力)(2024·上海期中)某社区两条平行的小道之间有一块三角形空地.如图,这两条小道m,n之间的距离为9米,△ABC表示这块空地,BC=36米.现要在空地内划出一个矩形DGHE区域建造花坛,使它的一边在BC上,其余两个顶点分别在边AB,AC上.
(1)如果矩形花坛的边DG∶DE=1∶2,求出这时矩形花坛的两条邻边的长;
(2)矩形花坛的面积能否占空地面积的 请作出判断并说明理由. 相似三角形的应用
【A层 基础夯实】
知识点1 利用相似三角形测量物体的高度
1.(2024·天津期末)操场上有一根竖直的旗杆AB,它的一部分影子(BC)落在水平地面上,另一部分影子(CD)落在操场的墙壁上,经测量,墙壁上的影高为1.2 m,地面上的影长为2.6 m,同时测得一根高为2 m的竹竿OM的影长是ON=1.6 m,根据以上信息,旗杆的高度是(C)
A.3.25 m B.4.25 m C.4.45 m D.4.75 m
2.(2024·济南期中)如图1是用杠杆撬石头的示意图,当用力压杠杆时,杠杆绕着支点转动,另一端会向上撬起,石头就被撬动了.在图2中,杠杆的D端被向上撬起的距离BD=8 cm,动力臂OA与阻力臂OB满足OA=3OB(AB与CD相交于点O),要把这块石头撬起,至少要将杠杆的C点向下压 24 cm.
3.(与物理结合)(2024·杭州期中)凸透镜成像的原理如图所示,AD∥l∥BC.在凸透镜左侧,若物体到焦点F1的距离与焦点F1到凸透镜中心线DB的距离之比为5∶4,则物体AH的高与缩小的实像CG的高之比为 5∶4 .
4.(2024·西安期中)为了测量学校旗杆上旗帜的宽度MN,如图,点P,G,C,A在同一水平直线上,MG⊥PA,小红在C处竖立一根标杆BC(BC⊥PA),地面上的点A、标杆顶端B和点N在一条直线上(N在MG上),BC=1.5米,AC=1米,AG=8米;小明手持自制直角三角纸板DEF(DF⊥EF),其中EF=0.1米,DF=0.2米,使长直角边DF与水平地面平行,调整位置,恰好站在P点时点D,E,M在一条直线上,DP⊥PA,DP=1.5米,PG=23.6米,请你根据上述信息求出旗帜的宽度MN.
【解析】如图,延长DF交MG于Q,则DQ⊥MG,DQ=PG=23.6,
∵BC⊥AP,MG⊥AP,
∴BC∥MG,
∴△ABC∽△ANG,
∴=,即=,
∴NG=12米,
同理得:△DEF∽△DMQ,
∴=,
∵EF=0.1米,DF=0.2米,
∴DF=2EF,
∴MQ=DQ=×23.6=11.8米,
∴MN=MQ+QG-GN=11.8+1.5-12=1.3米.
答:旗帜的宽度MN是1.3米.
知识点2 利用相似三角形测量物体的宽度
5.如图所示为某种型号的台灯的横截面图,已知台灯灯柱AB的长为30 cm,且与水平桌面垂直,灯臂AC的长为10 cm,灯头的横截面△CEF为直角三角形,当灯臂AC与灯柱AB垂直时,沿CE边射出的光线刚好射到底座B点.若不考虑其他因素,则该台灯在桌面可照亮的宽度BD的长为(B)
A.90 cm B.100 cm
C.50 cm D.30 cm
6. (2024·舟山期中)如图,为了测量河宽,小明先站在河岸的点A处,在他的正对岸有一棵树B,接着小明沿着河岸走了40步,到达树C处,继续朝前走了20步到达点D处,然后小明又沿垂直河岸的方向走了16步到达树E处,此时发现树B,C,E在同一条直线上,则河宽AB大约为 16 米(小明步长约为0.5米).
7.如图,M,N为山两侧的两个村庄,为了两村交通方便,政府决定打一直线涵洞.工程人员为了计算工程量,必须计算M,N两点之间的直线距离,选择测量点A,B,C,点B,C分别在AM,AN上,现测得AM=1千米,AN=1.8千米,AB=54米,BC=45米,AC=30米,求M,N两点之间的直线距离.
【解析】在△ABC与△ANM中,∠A=∠A,==,==,
∴△ABC∽△ANM,∴=,即=,解得MN=1 500米=1.5千米.
答:M,N两点之间的直线距离是1.5千米.
【B层 能力进阶】
8.一种燕尾夹如图1所示,图2是在闭合状态下的示意图,图3是在打开状态下的示意图(数据如图,单位:mm),从图2闭合状态到图3打开状态,点B,D之间的距离减少了(A)
A.25 mm B.20 mm C.15 mm D.8 mm
9.如图,图1是装满了液体的高脚杯(数据如图),用去部分液体后,放在水平的桌面上如图2所示,此时液面距离杯口的距离h=(A)
A. cm B.2 cm C. cm D.3 cm
10. (2024·徐州期中)如图,在某小区内拐角处的一段道路上,有一儿童在C处玩耍,一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来(CM⊥DM,BD⊥DM,BC与DM相交于点O),已知OM=4米,CO=5米,DO=3米,AO=米,则汽车从A处前行的距离AB= 5.75 米时,才能发现C处的儿童.
【C层 创新挑战(选做)】
11.(模型观念、推理能力、运算能力)(2024·上海期中)某社区两条平行的小道之间有一块三角形空地.如图,这两条小道m,n之间的距离为9米,△ABC表示这块空地,BC=36米.现要在空地内划出一个矩形DGHE区域建造花坛,使它的一边在BC上,其余两个顶点分别在边AB,AC上.
(1)如果矩形花坛的边DG∶DE=1∶2,求出这时矩形花坛的两条邻边的长;
(2)矩形花坛的面积能否占空地面积的 请作出判断并说明理由.
【解析】(1)过点A作AM⊥DE,垂足为M,延长AM交BC于点N,
由题意得:AN=9米,DG=MN,AN⊥BC,
∵四边形DGHE是矩形,
∴DE∥BC,
∵DG∶DE=1∶2,
∴DE=2DG,
∵DE∥BC,
∴∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB,
∴△ADE∽△ABC,
∴=,
∴=,
解得:DG=6,
∴DE=2DG=12,
∴这时矩形花坛的两条邻边的长分别为6和12;
(2)矩形花坛的面积不能占空地面积的,
理由:设DG=x米,
由(1)可得:△ADE∽△ABC,
∴=,
∴=,
∴DE=36-4DG=(36-4x)米,
∴矩形花坛的面积=DE·DG=x(36-4x)=(36x-4x2)平方米,
由题意得:36x-4x2=×BC·AN,
36x-4x2=××36×9,
整理得:2x2-18x+45=0,
∵Δ=(-18)2-4×2×45=324-360=-36<0,
∴此方程没有实数根,
∴矩形花坛的面积不能占空地面积的.
