中位线
【A层 基础夯实】
知识点1 三角形的中位线
1.(2023·云南中考)如图,A,B两点被池塘隔开,A,B,C三点不共线.设AC,BC的中点分别为M,N.若MN=3米,则AB=( )
A.4米 B.6米 C.8米 D.10米
2.(2024·德州期中)如图,在四边形ABCD中,E,F分别是DC,AD的中点,EF⊥AB,若BC=13,AB=5,则EF的长度为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
3.如图,在△ABC中,点E,F分别是AB,AC的中点,点D是线段EF上一点,连结BD,并延长至点G,使得GD=BD.连结AG.若BC-AG=1 cm.则DF的长为 cm.
4.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6.若DE是△ABC的中位线,延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F,则线段DF的长为 .
5.(2024·南京期中)如图,BD,CE分别为△ABC的中线,BD,CE交于点G,点M,N分别是BG,CG的中点.求证:
(1)EM∥DN;
(2)CG=2EG.
知识点2 三角形的重心
6.如图,已知在△ABC中,点F是三角形的重心,过点F作DE∥BC,交AB于点D,交AC于点E,若DE=7,则BC的值为( )
A.9 B.10.5 C.12 D.14
7.两个三角形重心之间的距离称为两个三角形的“重心距”,如图,在菱形ABCD中,边AB=10,对角线AC=12,那么△ABC与△ADC的“重心距”为 .
【B层 能力进阶】
8.如图所示,在△ABC中,AB=7,点M是BC的中点,AD是∠BAC的平分线,作MF∥AD交AC于点F,已知CF=11,则AC的长为( )
A.15 B.14 C.13 D.12
9. (2024·大连期中)如图,在△ABC中,AB=BC=10,AC=12,点D,E分别是AB,BC边上的动点,连结DE,F,M分别是AD,DE的中点,则FM的最小值为( )
A.12 B.10 C.9.6 D.4.8
10.如图,D是△ABC内部一点,AC⊥BD,且AC=4,BD=6,依次取AB,BC,CD,AD的中点,并顺次连结得到四边形MNPQ,则四边形MNPQ的面积是 .
11.(2024·上海期末)如图,△ABC的周长是24,点D,E在边BC上,∠ABC的平分线垂直于AE,垂足为点Q,∠ACB的平分线垂直于AD,垂足为点P,若BC=10,则PQ的长为 .
12.如图所示,E,F,G,H分别是四边形ABCD的边AB,BC,CD,AD的中点.
(1)四边形EFGH是平行四边形吗,为什么
(2)若使四边形ABCD对角线相等,那么四边形EFGH为菱形吗
(3)当四边形EFGH为矩形、正方形时,四边形ABCD各应满足什么条件
(4)请补上你所认为四边形ABCD应满足的条件,证明四边形EFGH为矩形.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(模型观念、推理能力、运算能力)阅读材料:三角形的三条中线必交于一点,这个交点称为三角形的重心.
(1)特例感知:如图1,已知边长为3的等边△ABC的重心为点O,求△OBC与△ABC的面积;
(2)性质探究:如图2,已知△ABC的重心为点O,请判断,是否都为定值 如果是,分别求出这两个定值;如果不是,请说明理由;
(3)性质应用:如图3,在正方形ABCD中,点E是CD的中点,连结BE交对角线AC于点M.
①若正方形ABCD的边长为4,求EM的长度;
②若S△CME=2,求正方形ABCD的面积. 中位线
【A层 基础夯实】
知识点1 三角形的中位线
1.(2023·云南中考)如图,A,B两点被池塘隔开,A,B,C三点不共线.设AC,BC的中点分别为M,N.若MN=3米,则AB=(B)
A.4米 B.6米 C.8米 D.10米
2.(2024·德州期中)如图,在四边形ABCD中,E,F分别是DC,AD的中点,EF⊥AB,若BC=13,AB=5,则EF的长度为(D)
A.3 B.4 C.5 D.6
3.如图,在△ABC中,点E,F分别是AB,AC的中点,点D是线段EF上一点,连结BD,并延长至点G,使得GD=BD.连结AG.若BC-AG=1 cm.则DF的长为 cm.
4.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6.若DE是△ABC的中位线,延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F,则线段DF的长为 8 .
5.(2024·南京期中)如图,BD,CE分别为△ABC的中线,BD,CE交于点G,点M,N分别是BG,CG的中点.求证:
(1)EM∥DN;
(2)CG=2EG.
【证明】(1)连结AG,
∵BD,CE分别为△ABC的中线,点M,N分别是BG,CG的中点,
∴AE=BE,BM=GM,AD=CD,CN=GN,
∴EM∥AG,DN∥AG,
∴EM∥DN;
(2)由(1)知AE=BE,BM=GM,AD=CD,CN=GN,
∴EM=AG,DN=AG,
∴EM=DN,
∵EM∥DN,
∴∠MEG=∠DNG,∠EMG=∠NDG,
∴△EMG≌△NDG(A.S.A.),
∴EG=GN,
∴CG=2EG.
知识点2 三角形的重心
6.如图,已知在△ABC中,点F是三角形的重心,过点F作DE∥BC,交AB于点D,交AC于点E,若DE=7,则BC的值为(B)
A.9 B.10.5 C.12 D.14
7.两个三角形重心之间的距离称为两个三角形的“重心距”,如图,在菱形ABCD中,边AB=10,对角线AC=12,那么△ABC与△ADC的“重心距”为 .
【B层 能力进阶】
8.如图所示,在△ABC中,AB=7,点M是BC的中点,AD是∠BAC的平分线,作MF∥AD交AC于点F,已知CF=11,则AC的长为(A)
A.15 B.14 C.13 D.12
9. (2024·大连期中)如图,在△ABC中,AB=BC=10,AC=12,点D,E分别是AB,BC边上的动点,连结DE,F,M分别是AD,DE的中点,则FM的最小值为(D)
A.12 B.10 C.9.6 D.4.8
10.如图,D是△ABC内部一点,AC⊥BD,且AC=4,BD=6,依次取AB,BC,CD,AD的中点,并顺次连结得到四边形MNPQ,则四边形MNPQ的面积是 12 .
11.(2024·上海期末)如图,△ABC的周长是24,点D,E在边BC上,∠ABC的平分线垂直于AE,垂足为点Q,∠ACB的平分线垂直于AD,垂足为点P,若BC=10,则PQ的长为 2 .
12.如图所示,E,F,G,H分别是四边形ABCD的边AB,BC,CD,AD的中点.
(1)四边形EFGH是平行四边形吗,为什么
(2)若使四边形ABCD对角线相等,那么四边形EFGH为菱形吗
(3)当四边形EFGH为矩形、正方形时,四边形ABCD各应满足什么条件
(4)请补上你所认为四边形ABCD应满足的条件,证明四边形EFGH为矩形.
【解析】 (1)四边形EFGH是平行四边形,连结AC,BD,
∵在△ABD中,E,H分别为AB,AD的中点,
∴EH平行且等于BD.
∵在△BCD中,F,G分别为BC,CD的中点,
∴GF平行且等于BD.∴EH平行且等于GF.
∴四边形EFGH是平行四边形.
(2)四边形EFGH是菱形.
(3)当四边形EFGH为矩形时,AC⊥BD(四边形ABCD为菱形、正方形或者对角线互相垂直的四边形);当四边形EFGH为正方形时,AC,BD互相垂直且相等.
(4)设AC⊥BD于O,EF,BD交于M,EH,AC交于N,根据(1)的推理可得EF∥AC,EH∥BD,∴四边形EMON为平行四边形.∵AC⊥BD,∴∠MON=90°.∴四边形EMON为矩形,∴∠HEF=90°.同理可得,∠EHG=90°,∠EFG=90°.∴四边形EFGH为矩形.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(模型观念、推理能力、运算能力)阅读材料:三角形的三条中线必交于一点,这个交点称为三角形的重心.
(1)特例感知:如图1,已知边长为3的等边△ABC的重心为点O,求△OBC与△ABC的面积;
(2)性质探究:如图2,已知△ABC的重心为点O,请判断,是否都为定值 如果是,分别求出这两个定值;如果不是,请说明理由;
(3)性质应用:如图3,在正方形ABCD中,点E是CD的中点,连结BE交对角线AC于点M.
①若正方形ABCD的边长为4,求EM的长度;
②若S△CME=2,求正方形ABCD的面积.
【解析】(1)连结DE,
∵点O是△ABC的重心,
∴AD,BE是BC,AC边上的中线,
∴D,E为BC,AC边上的中点,
∴DE为△ABC的中位线,
∴DE∥AB,DE=AB,
∴△ODE∽△OAB,
∴==,
∵AB=3,BD=,∠ADB=90°,
∴AD=,OD=,
∴S△OBC=·BC·OD=×3×=,
S△ABC=·BC·AD=×3×=;
(2)由(1)同理可得,=,是定值;
点O到BC的距离和点A到BC的距离之比为1∶3,
则△OBC和△ABC的面积之比等于点O到BC的距离和点A到BC的距离之比,
故=,是定值;
(3)①连结BD交AC于点G,
则点G为BD的中点,又∵点E为CD的中点,
∴点M是△BCD的重心,
∴=,
∵E为CD的中点,
∴CE=CD=2,
∴BE===2,
∴EM=BE=;
②∵S△CME=2,且=,
∴S△BMC=4,
∵=,
∴=()2=,
∴S△AMB=8,
∴S△ABC=S△BMC+S△ABM=4+8=12,
∴正方形ABCD的面积为24.
